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三角恒等变换2


山东省莱芜市第十七中学 29 级数学“三段六环激情课堂”导学案
使用时间___________班级____________ 姓名_____________ 小组编号______________

编号 14

三角恒等变换 2
编制: 审核:
一. 学习目标 1.掌握三角恒等变换的方法与技能,学会解决三角函数与平面向量综合问题; 2.体验数学的化归思想、整体思想、数形结合思想; 3.初步学会合作、表达自己的观点。 二、使用说明 了解目标要求,提前一天完成学习过程的 1 和 2 内容,初步学会三角恒等变换的技巧与方法,并把不明白的 问题用红色笔记在学案上。 三、重点:三角函数恒等变换的方法及其应用; 难点:三角函数与平面向量的综合问题。 四. 学习过程 1.我自学,我学会 (1)若 tan ? ? 3 , tan ? ? A. ?3 (2)已知 sin ? ? (A) ? B. ?

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3
C. 3

) D.

1 3

1 3

3 5

5 ,则 sin4 ? ? cos 4 ? 的值为( ) 5 1 1 (B ) ? (C) 5 5
2

(D)

3 5

(3)函数 y ? 2cos x 的一个单调增区间是( A. ( ?

) C. (

? ?

, ) 4 4

B. (0,

?
2

)

? 3?
4 , 4

)

D. (

?
2

,? )

(4)函数 y ? cos2 x ? 2 sin x cos x 的最小正周期 T=__________. 2.我合作,我会学 问题 1. 三角恒等变换------常数代换 例 1.已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角,

1 ? sin 2 B ? 2 ? 3 ,求角 B . cos 2 B ? sin 2 B

方法小结 本题中化简

1 ? sin 2 B 时, 把 1 变成 cos 2 B ? sin 2 B
或 或

,配方化简, 再用弦化切得 tan B ?

3 。 3

一般地,常数 1 可以变换成 三角函数值,如

等,而特殊数也可以变换成

1 ? ? ? sin , 3 ? tan 等。 2 6 3
1

山东省莱芜市第十七中学 29 级数学“三段六环激情课堂”导学案
变式 (请独立思考、尝试解决,展示交流) )

编号 14

设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 ( (A) 0 ? x ? ? (B)

?
4

?x?

7? 4

(C)

?
4

?x?

5? 4

(D)

?
2

?x?

3? 2

问题 2 三角恒等变换------acosx+bsinx 型函数的化归 例 2.函数 y=

1 2 sin2x+sin x,x ? R 的值域是 2
(B)[-

(A)[-

1 3 , ] 2 2

3 1 , ] 2 2

(C)[ ?

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

(D)[ ?

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

方法小结 本题是求有关三角函数的值域的一种通法, 即将函数化为 y ? A sin ??x ? ? ? ? b 或 y ? A cos??x ? ? ? ? b 的 模式。一般地,a cos x ? b sin x ? a 2 ? b2 ? ?
a
2 2

? a ?b

cos x ?

? , sin x ? ? a 2 ? b2 ? sin ? cos x ? cos ? sin x ? ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? a ?b ? b
2 2

a 其中 tan ? ? ,也可以变换如下: b
a cos x ? b sin x ? a 2 ? b 2 ? cos ? cos x ? sin ? sin x ? ? a 2 ? b 2 cos ? x ? ? ? ,其中 tan ? ?
变式 独立完成,交流修正.

b 。 a

(2007 山东理 5) 函数 y ? sin(2 x ? (A) ? ,1 (B)

?

) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期和最大值分别为 6 3

?

? , 2 (C) 2? ,1 (D) 2? , 2

问题 3 三角函数中的三角恒等变换
例 3. (2010 湖北高考)已知函数

? ? 1 1 f ( x) ? cos( ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? . 3 3 2 4

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期。 (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值,并求使 h( x) 取得最大值的 x 的集合。
2

山东省莱芜市第十七中学 29 级数学“三段六环激情课堂”导学案

编号 14

变式 求函数 f ( x) ? 2sin 2 2x ? 4sin 2x cos 2 x ? 3cos2 2 x 的最小正周期,并求 f ( x ) 的最大值,最小值。

3.我演练,我达标 A层 (1)若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? ( 3
C.



A.

15 3

B. ?

15 3

5 3

D. ?

5 3

(2)函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是( (A)2π (3)若 sin 2? ? (B)4π

) π (D) 2 )

π (C) 4

1 ? ? ,且 ? ? ( , ) ,则 cos ? ? sin ? 的值是( 4 4 2
( B ). 3 4

( A).

3 2

(C ) ? .

3 2

( D). ?

3 4


(4)若 6sin x ? 2 3 cos x ? 4 3sin( x ?? ),? ? (?? , ? ) ,则? 的值是(

( A) ?

?
6

( B)

?
6

(C )

5? 6

( D) ?

5? 6


(5)如果 tan(? ? ? ) ?

2 1 ? tan ? ?? 1 ? , tan ? ? ? ? ? ,那么 的值为( 5 1 ? tan ? 4? 4 ? (C ) 13 22 ( D) 3 16

( A)

13 16

( B)

3 22

(6)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为

B层 1.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=( (A)3-cos2x (B)3-sin2x

) (C)3+cos2x
3

(D)3+sin2x

山东省莱芜市第十七中学 29 级数学“三段六环激情课堂”导学案
2.已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R. (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

编号 14

π π 3. 已知 sin ? cos ? ? 1 ? 0 ,- <θ< . 2 2 (Ⅰ)求 θ; (Ⅱ)求 (sin ? ? 1) ? (cos ? ? 1)
2 2

的最大值.

4.已知函数

f ( x) ?

2 cos3 x ? 2 cos 2 x ? cos x ? 1 ,试画出函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?? ,3? ? 内的简图,并指出 1 ? cos x

其最小正周期。

4.我总结,我提升 公式:请把本节课你采用的公式整理一下: 方法:本节课你学会了什么三角恒等变换的方法与数学思想?
4

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