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通州市2005-2006学年(下)高二期末调研测试


高二数学试卷 1.函数 y=x -2x 在-2 处的导数是 (
2



A –2 B –4 C –6 D-8 2. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为( ) A 30° B 45° C 60° D90° 3.袋中有 3 只白球和 a 只黑球,从中任取 2 只,恰好一白一黑的概率为

4 ,则 a 的值是( ) 7

A7 B6 C5 D4 4.若 a,b 是异面直线,则以下命题正确的是( ) A 至多有一条直线与 a,b 都垂直 B 至多有一个平面分别与 a,b 平行 C 一定存在平面α与 a,b 所成的角相等 C 一定存在平面α同时垂直于 a,b 5.为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽取了 10 株苗,测得苗高如下(单位:cm): 甲:12,13,14,15,10,16,13,11,5,11; 乙:8,16,15,14,13,11,10,11,10,12; 则下列说法正确的是( ) A 甲的平均苗高比乙 B 乙的平均苗高比甲高 C 平均苗高一样,甲长势整齐 D 平均苗高一样,乙长势整齐 6.已知: Cn
f (1)
? + Cnf (2) + Cnf (3) + L + Cnf (2 ) Cnn+14 =
n

7 3 An+1 ,则正整数 n 的值为( 15



A8 B9 C10 D11 7.如图,用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的遮阳棚,可测得其中三根立柱 AA1、BB1、CC1 的长度分别为 2m、2.5cm、4cm,则立柱 DD1 的长度应该是( ) A 2m B4m C3.5m
C

D 2.5m

D j B A D1 A1 B1 C1

8.某文艺团体下基层进行宣传演出,原准备的节目表中有 6 个节目,如果保持这些节目的相 对顺序不变,在它们之间再插入 2 个小品节目,并且这 2 个小品节目在节目表中既不排头, 也不排尾,则不同的插入方法有( ) A 20 种 B 30 种 C 42 种 D 56 种 9.已知函数 f(x)= x 5 ? 5 x 4 + 10 x 3 ? 10 x 2 + 5 x ? 1, 则 f(x) A 在 ( ?∞,1) 上是增函数,在 [1, +∞ ) 上是减函数; ( )

B 在 ( ?∞,1] 上是减函数,在 [1, +∞ ) 上是增函数; C 在 R 上是减函数; D 在 R 上是增函数 10.某 4 所大学进行自主招生,同时向一所高中的已获市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁 4 位学生发出录取通知书。 若这 4 名学生都愿意进这 4 所大学的任意一所就读。 4 名学生都 则 录取,且恰好分布在 3 所大学的概率为( ) A

9 16

B

9 32

C

3 64

D

3 4

11.某校有高中生 3300 人,初中生 900 人,老师 120 人,现用分层抽样的方法从所有师生 中抽取一个容量为 N 的样本,已知从初中草药生中抽取人数为 60,那么 N=________ 12.半径为 10 的球面上有 A、B、C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则球心 O 到平面 ABC 的 距离是____________ 13.已知 ( ?

a x

x 9 9 ) 展开式中 x3 的系数为 ,则常数 a 的值为_________ 2 4

14.用一张长宽分别为 8cm、4cm 的矩形硬纸板折成正四棱柱侧面,则四棱柱的对角线长为 _____单位(cm) 15.已知函数 f ( x) = x3 + ax 2 + bx 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)等于___________ 16.一个类似于杨辉三角的三角形数组(如图)满足:(1)第 1 行只有 1 个数 1;(2)当 n ≥2 时, n 行首尾两数均为 n;(3)当 n>2 时, 第 中间各数都等于它肩上两数之和, 则第 n 行 (n ≥2)第 2 个数是_______________ 1 2 3 4 2 3

4 7 7 4 …………………………………………………………

17.用 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字组成的没有重复数字的正整数。 (1) 能组成多少个三位偶数? (2) 能组成有多少个比 130000 大的正整数? (3) 能组成多少个偶数数字全部连在一起的六位数?

18.甲、乙两人用气球射击气球,一次击中的概率分别为 0.6 和 0.7,假设有足够数量的气 球,每个都射击两枪。 (1) 求乙两次都没有击中的概率; (2) 求甲击中两次,且乙击中一次的概率;

(3) 若击中一次得 1 分,没有击中得 0 分,求甲、乙两人共得 2 分的概率。

19.在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD,AB=AC=1,AD=2,E、F 分别 是 BC、BD 的中点。 (1) 求证:BC⊥面 AED; (2) 求 A 到面 BCD 的距离; (3) 求二面角 C-AE-F 的大小。

A

B E C

F

D

20. 定义域为正整数集 N+的函数 f ( x) = [log 2 x] , 其中 [log 2 x] 表示数值不超过去时 log 2 x 的最大整数。 (1) 求 f(3)的值; (2) 若 f(x)=3,求 x 的取值集合; (3) 对于任意正整数 n,求和: Cn
f (1)

+ Cnf (2) + Cnf (3) + L + Cnf (2

n

)

21.已知 f(x)=4|x|3-2a|x|. (1) 设 f(x)图象在点(-1,f(-1))处的切线方程是 2x+y+b=0,求 b 的值。 (2) 是否存在实数 a,使得函数在[-1,1]内的最小值为-2, 若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 请说明理由。

2005-2006 学年(下)高二期末数学参考答案 1 C 2 B 3 D 4C 5D 6 C 7C 8 B 9 D 10 A 11.288 12 13 4 14 2 6或 66 15.2 16

n(n ? 1) +1 2
2

17.解: (1)由 0,1,2,3,4,5 组成的没有重复数字三位偶数分三类:0 在末位,有 A5 =20 个,2 在末位和 4 在末位有 4 × 4 =16 个,故能组成的三位偶数共有 20+ 2 ×16 =52 个 (2)比 130000 大的正整数分两类:首位数字是 2,3,4,5 的六位数各有 A5 =120 个,首 位数字是 1,第二位数字是 3,4,5 的六位数各有 A4 =24 个,故组成的比 130000 大的正整 数共有 4 × 120 + 3 × 24 = 552 个 (3)解法一:将 0,2,4 连一起,看成一个元素,与其它三个奇数数字可以构成 A3 A4 =144 个整数, 其中 0 在首位有 A2 A3 =12 个, 故能组成偶数数字连在一起的六位数共有 144-12=132 个 解法二: 4 在首位且偶数数字连在一起的六位数各有 A2 A3 =12 个 首位是奇数时, 2, 将 0,2,4 连在一起,看成一个元素,可以构成 3 A3 A3 =108 个。 18.解: (1)乙一次击中的概率为 0.7,没有击中的概率为 0.3,故乙两次都没有击中的概率为 (1-0.7)2=0.09. (2)甲击中两次的概率是 0.62=0.36,乙击中一次的概率为 C2 0.7 × 0.3 = 0.42 ;故甲击中两次,
1
3 3 2 3 2 3 2 4 4 5

且乙击中一次的概率为 0.36 ×0.42 = 0.1512 (3) 甲乙两共得 2 分有三种情况:甲得 2 分,乙得 0 分的概率为 0.6 × 0.3 = 0.0324 ,
2 2

甲得 0 分,乙得 2 分的概率为
1 1

0.42 × 0.7 2 = 0.0784 ,甲得 1 分且乙也得 1 分的概

率 为 C2 0.6 × 0.4 × C2 0.7 × 0.3 = 0.2016 , 甲 、 乙 两 人 共 得 2 分 的 概 率 为

0.0324 + 0.0784 + 0.2016 = 0.3124

19 . ( 1 ) 证 明 : Q AB = AC = 1, E 是

BC

的 中 点

∴ AE ⊥ BC



Q AD = 2, AB ⊥ AD, AC ⊥ AD, ∴ BD = CD = 5 ∴ BC ⊥ DE (也可以证明 DA 垂直于
面 ABC,从而 AD 垂直 BC) Q AE I DE = E ∴ BC ⊥ 面AED

(2)

1 1 1 QVA? BCD = × ×1× 2 = 3 2 3 S ?BCD = 1 2 1 3 BC × DE = 5? = 2 2 2 2

1 1 S ?BCD h = 3 3 设 A 到面 BCD 的距离为 h, 2 ∴h = 3
(3)由已知得 AF=EF=由已知得 AF=EF=

5 ,分别记 AE、AC、CD 的中点为 P、Q、R, 2

连 FP、 PQ、 QR、 FR、 则 FP ⊥ AE , PQ EC , 故PQ ⊥ AE , FQ ∠QPF 即为求二面角 C-AE-F

















PF=

AF 2 ? AP 2 =

5 2 3 2 ? = 4 16 4



PQ=

1 2

EC=

2 1 6 , QF = QR 2 + FR 2 = 1 + = 4 2 2



cos ∠QPF =

PQ 2 + PF 2 ? QF 2 1 1 1 = ? , ∠QPF = arccos(? ) = π ? arccos 2 PQ PF 3 3 3

20.解:(1)

Q1 = log 2 2 < log 2 3 < log 2 4 = 2
∴[log 2 3] = 1 [log 2 x] = 3,3 ≤ log 2 x < 4, 8 ≤ x < 16, x ∈ N +
x 的取值集合是{8,9,10,11,12,13,14,15}

(2)

(3)

∑C
k =1

2n

f (k ) n

0 1 3 n = Cn + 2Cn + 22 Cn + L + 2 n?1 Cn ?1 + 2n Cnn

= (1 + 2) n ? 2 n + 1 = 3 ? 2 +1
n n

?4 x 3 ? 2ax, x ≥ 0 ? 21.解:(1)f(x)=4|x| -2a|x|= ? 3 ??4 x + 2ax, x < 0 ?
3

当 x<0 时, f '( x) = ?12 x + 2a
2

∵x=-1 时,切线的斜率是-2,

∴ f '( ?1) = ?2, 即-12+2a=-2,a=5

此时 f(-1)=4-10=-6,点(-1,-6)在直线 y+2x+b=0 上,∴b=8 (2)∵ f(x)是偶函数,f(x)在[-1,1]内的最小值为-2 充要条件是 f(x)在[0,1]内的最 小值为-2, x ∈ [0,1] 时, 当 f(x)= 4 x ? 2ax, f '( x ) = 12 x ? 2a ,令 f’(x)=0,则 x= ±
3 2

a (a ≥ 0) 6

① 当

a ≥ 1,即a ≥ 6, x ∈ [0,1] 时,f’(x)<0,f(x)在[0,1]上是减函数,其最小值为 f(1),令 6

f(1)=-2,4-2a=-2,a=3,不合题意舍去。 ②当 0 < x 0

a < 1,即0 < a < 6 时, 6 a (0, ) 6
0 取极小值

a 6

a ( ,1) 6
+ ↑

1

f(x) f’(x) 0



4-2a

f(x)在[0,1]的最小值为 f(

a ) 6

令 f(

a a 3 a )=-2,即4( ) -2a =-2 6 6 6
3 33 4 = ∈ [0, 6] 3 2 2

解之得:a=

∴ 存在实数 a=

33 4 ,使得函数在[-1,1]内的最小值为-2。 2


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