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函数的奇偶性78课时


第 7 课时 函数的奇偶性 一、基础知识梳理 1.关于函数的奇偶性的定义 定义说明:对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x : ⑴ f (? x) ? f ( x) ? f ( x) 是偶函数; ⑵ f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 奇函数; 2.函数的奇偶性的几个性质 ①对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; ②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; ③可逆性: f (? x) ? f ( x) ? f ( x) 是偶函数;

f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数; ④等价性: f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ; f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称;
⑥可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 3.函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法: 利用奇、偶函数的定义,考查 f ( x) 是否与 ? f ( x) 、 f ( x) 相等,判断步骤如下: ①定义域是否关于原点对称; ②数量关系 f (? x) ? ? f ( x) 哪个成立; 例:判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) f ( x) ? x ? 2 x
3

(2) f ( x) ? 2 x ? 3x
4

2

(3) f ( x) ?

x3 ? x2 x ?1

(4) f ( x) ? x

2

x ? ?? 1,2?

(5) f ( x) ?

x?2 ? 2? x

(6) f ( x) ?

1? x2 ; | x ? 2 | ?2

第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 (前提条件为两个函数的定义域交集不为空集) : 两个奇函数的代数和是奇函数; 两个偶函数的和是偶函数; 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数; 两个奇函数的积为偶函数; 两个偶函数的积为偶函数; 奇函数与偶函数的积是奇函数。
1

? ? x x3 x 5 x 7 x 2 k ?1 (k ? Z )... ? ? 1 ?k ?常见的奇函数: ? (k ? 0); x ? (耐克函数) ? x x ? ? ? ?sin x; tan x ? ? ? x 2 x 4 x 6 x8 x 2 k (k ? Z )... ? ? ? 2 ? ?常见的偶函数: ?ax ? c(b ? 0); x ; f ( x ) ? ? ? ? ?cos x; y ? C (C为常数) ? ? ?a x ; log a x ; kx ? b(k ? 0, b ? 0) ? ?常见的非奇非偶函数:? ? ? ? y ? x ? a (a ? 0) ? ? y ? 0(定义域关于原点对称) ? ? ? ?常见的既奇又偶函数: 2 2 ? y ? 1 ? x ? x ? 1( x ? ?1)两个点的函数 ? ? ?

4.关于函数的奇偶性的 6 个结论。 结论 1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 结论 2 两个奇函数的和仍是奇函数;两个偶函数的和仍是偶函数。 结论 3

f ( x) 是任意函数,定义域关于原点对称,那么 f ( x ) 是偶函数。

结论 4 函数 f ( x) ? f (? x) 是偶函数,函数 f ( x) ? f (? x) 是奇函数。 结论 5 已知函数 f ( x) 是奇函数,且 f (0) 有定义,则 f (0) ? 0 。 结论 6 已知 f ( x) 是奇函数或偶函数,方程 f ( x) ? 0 有实根, 那么方程 f ( x) ? 0 的所有实根之和为零; 若 f ( x) 是定义在实数集上的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 有奇数个实根。 5.关于函数按奇偶性的分类:全体实函数可按奇偶性分为四类:①奇偶数、②偶函数、③既是 奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。 二、例题讲解 1、利用奇偶性求函数值 例 1 (1)已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,求 f ( 2) 的值
5 3

变式练习(2) 已知 f ( x) ? 5x5 ? 3x3 ? x ? 1 ( x ? [ ? , ]) 的最大值 M ,最小值为 m ,求 M ? m 的值。

1 1 2 2

2

2.利用奇偶性比较大小 例 2 (1)已知偶函数 f ( x) 在 ?? ?,0? 上为减函数,比较 f (?5) , f (1) , f (3) 的大小。

(2)已知函数 y ? f ? x ? 是 R 上的偶函数,且 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上是减函数, 若 f ? a ? ? f ? ?2 ? ,求 a 的取值范围.

变式练习 定义域为 R 的函数 f ?x ? 在 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则 A. f ?6? ? f ?7? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9? D. f ?7 ? ? f ?10?

3.利用奇偶性求解析式 例 3 已知 f ( x) 为偶函数, 当0 ? x ? 1时, f ( x) ? 1 ? x, 当 ?1 ? x ? 0时 ,求 f ( x ) 解析式?

2 变式练习 已知 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,当 x ? 0 时,求 f ( x ) 解析式?

4、利用奇偶性讨论函数的单调性
2 例 4 若 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f ( x ) 的单调区间?

3

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例 5 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 是偶函数,判断 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的奇偶性。

6、利用奇偶性求参数的值 例 6 定义 R 上单调递减的奇函数 f ( x ) 满足对任意 t ? R ,若 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成
2 2

立,求 k 的范围.

变式练习 已知 f ? x ? 在定义域 ? 0, ?? ? 上为增函数,且满足 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ?3? ? 1, 求不等式 f ? x ? ? f ? x ? 8? ? 2 解.

7、利用图像解题 例 7 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象 如右图,则不等式 f ?x ? ? 0 的解是 .

变式练习 若函数 f ( x) 在 (??,0) ? (0, ??) 上为奇函数,且在 (0, ??) 上单调递增, f (?2) ? 0 , 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为______.

8.利用定义解题 例 8 已知 f ( x) ? a ?

1 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

4

变式练习 已知 f ( x) ?

x2 ? 1 为偶函数,则 a ? ________。 (3x ? 2)( x ? a)

9.利用性质选图像 例 9 设 a ?1 ,实数 x, y 满足 | x | ? log a y 1 0 x 0 x 0 1 x 0 1 x y

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图像形状大致是 y y y

1

A

B
e x ? e? x 的图象大致为 e x ? e? x

C

D

变式练习 函数 y ?

(A)

(B)

(C) 第 8 课时 奇偶性训练

(D)

1、判断下列函数的奇偶性 (1) y ?

1 ( x ? 0) ; x

(2) y ? x ? 1 ;
4

(3) y ? 2 ; y ? log2 x
x

(4) ; y ?o g l

2

( x ? x 2 ? 1)

(5) ; f ( x) ? n ( l 1? e ) ? x
2x

(6) ; f ( x) ? ?

? x(1 ? x) ? x(1 ? x)

( x ? 0) ( x ? 0)

【变题】已知 f ( x ) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x ) 的奇偶性如何?

5

2、 (1)如果定义在区间 [3 ? a,5] 上的函数 f ( x) 为奇函数,则 a =_____ (2)若 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x lg a 为奇函数,则实数 a ? _____ (3)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 那么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =_______ (4)已知函数 y ? f ( x) 在 R 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x , 则 x ? 0 时, f ( x) 的解析式为_______________ (5)定义在 ( ?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?

x?m ,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

(6)函数 y ? ax2 ? bx ? c 是偶函数的充要条件是___________ (7)已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数, 若 f (?7) ? ?7 ,则 f (7) ? _______ 3、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,又当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x 3 , (1)证明:直线 x ? 1 是函数 f ( x) 图象的一条对称轴: (2)当 x ? [1,5] 时,求 f ( x) 的解析式。

4、已知 f ( x) ? x(

1 1 ? ), 2 ?1 2 (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)证明: f ( x) ? 0
x

5、设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x ? 1 对称,对任意 x1 , x 2 ? [0, ] , 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,已知 f (1) ? 2 ,求 f ( ), f ( ) ;

1 2

1 2

1 4

6


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