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高二数学测试题—圆锥曲线(11)


2002- 2003 学 年 度 上 学 期

高中学生学科素质训练
高二数学测试题—圆锥曲线( ) 高二数学测试题—圆锥曲线(11)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.抛物线 y = 4ax 2 ( a ≠ 0) 的焦点坐标为 A. ( ( C. (0,? )

1 ,0 ) 4a

B. (0,

1 ) 16a

1 ) 16a

D. (

1 ,0 ) 16a
( )

2.中心在原点,准线方程是 x = ±4 ,离心率是

1 的椭圆方程为 2
2

x2 + y2 = 1 A. 4

x2 y2 B. + =1 3 4

x2 y2 C. + =1 4 3

y2 =1 D. x + 4

x2 3.双曲线与椭圆 + y 2 = 1 共焦点,且一条渐近线方程是 3 x ? y = 0 ,则此双曲线方程 5
为 A. y ?
2





x2 =1 3

B.

y2 ? x2 = 1 3

C. x ?
2

y2 =1 3

D.

x2 ? y2 = 1 3
( )

4.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 作倾斜角为 A.

π
3

的弦 AB,则|AB|的值为 C.

8 7 3

B.

16 3

8 3

D.

16 7 3
( )

5. a ≠ 0, b ≠ 0, 则方程ax ? y + b = 0和bx 2 + ay 2 = ab 所表示的曲线可能是

A

B
- 41 -

C

D

6. 已知双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1和椭圆 2 + 2 = 1(a > 0, m > b > 0) 的离心离互为倒数, 那么 a2 b m b
( C.钝角三角形 D.等腰三角形 ( D.0 ) )

以 a,b,m 为边长的三角形一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形

x 2 ( y ? t)2 7.已知椭圆 + = 1 的一条准线方程为 y=8,则 t 为 12 21
A.7 或-7 B.4 或 12
2

C.1 或 15
2

8.给出下列曲线① 4 x + 2 y ? 1 = 0 ,② x + y = 3 ,③ 其中与直线 y = ?2 x ? 3 有交点的所有曲线是

x2 x2 + y 2 = 1 ,④ ? y2 = 1 2 2
( )

A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 9.已知 F1、F2 为椭圆 E 的左、右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点,F2 为焦点,设 P 为椭圆与抛 ( ) 物线的一个交点,如果椭圆 E 的离心率 e 满足|PF1|=e|PF2|,则 e 的值为 A.

2 2

B. 2 ? 3

C.

3 3

D. 2 ? 2

10.已知双曲线

x2 y2 5 +1 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 , A,F 分别是它的左顶点和右 2 2 a b
( D.120° )

焦点,设 B 点坐标为(0,b) ,则∠ABF 等于 A.45° B.60° C.90° 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分)

x2 y2 ? = 1 表示双曲线,则λ的取值范围为 11.已知方程 2 + λ 1+ λ
12.抛物线的焦点为椭圆

.

x2 y2 + = 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 9 4
.

13.过双曲线 x ?
2

y2 = 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数λ使得|AB|= 2
.

λ的直线恰有 3 条,则λ=

14.抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的动弦长|PQ|为 8p,当 PQ 的中点 M 到 y 轴的距离最小时,直 线 PQ 的倾斜角为 .
- 42 -

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.求椭圆 ?

? x = 5 cos θ (θ 为参数)的准线方程.(12 分) ? y = 3 sin θ

16.点 A 在第一象限,点 B 在第四象限,线段 AB 过 x 轴上一定点 M(m,0) (m>0) ,且 A、 B 两点到 x 轴的距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 O(原点)A、B 三点作抛物线 C, 求 C 的方程.(12 分)

17.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在 x 轴上,两准线间的距离为 且与直线 y =

9 ,并 2

1 2 ( x ? 4) 相交所得线段的中点的横坐标为 ? , 求这个双曲线的方程. 3 3
(12 分)

x2 y2 18.设 F1,F2 为椭圆 + = 1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点,已知 P、F1、F2 是一个 9 4
直角三角形的三个顶点,且 | PF1 |>| PF2 |, 求

| PF1 | 的值.(12 分) | PF2 |

19. 过点 A (4, -2) 任作一直线 l 与抛物线 y 2 = 2 x 交于不同的两点 P、 Q.问: 抛物线 y 2 = 2 x 上是否存在点 B,使∠PBQ 总等于 90°?证明你的结论.(14 分)

- 43 -

20.P 是椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上的点,A1,A2 分别是椭圆的左、右顶点,求∠A1PA2 a 2 b2

的最大值,以及取得最大值时点 P 的坐标.(14 分)

高二数学参考答案
十一、圆锥曲线
一、1.C 2.C 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.C 13.4 14. π 或 5π 6 6 二、11. ( ?∞ ,?2) U ( ?1,+∞ ) 三、15. y = ± 9 2 16.解:由题意设抛物线方程为 12. y 2 = ?4 5 x

y 2 = ax (a > 0), 设A( x1 , y1 ) B ( x 2 , y 2 )直线 AB方程为 x = ty + m
由?

? x = ty + m 得y 2 ? aty ? am = 0 ∴| y1 y 2 |= am = 2m ∴ a = 2 2 ? y = ax

∴抛物线方程为

y 2 = 2x
a b 3

2 2 17.解:设双曲线方程为 x ? y = 1( a > 0, b > 0), 把y = 1 ( x ? 4) 代入得: 2 2

(9b ? a ) x + 8a x ? 16a ? 9a b = 0
2 2 2 2 2 2 2



x1 + x2 4a 2 2 = 2 = ? 即7a 2 = 9b 2 . ∴16a 2 = 9c 2 . 2 3 a ? 9b 2



2 又由 2a = 9 得a 2 = 9 c ②, 由① ②解得 c

c

2

4

= 4, a 2 = 9, b 2 = 7

∴双曲线方程为

x y2 ? =1 9 7

2

18.解:由已知得 |

PF1 | + | PF2 |= 6, | F1 F2 |= 2 5 .

根据直角的不同位置,分两种情况 若 ∠PF2 F1 = 90 o , 则 | PF1 | 2 =| PF2 | 2 + | F1 F2 | 2 , 即 | PF1 | 2 = (6 ? | PF1 |) 2 + 20

- 44 -

解得 |

PF1 |=

| PF1 | 7 14 4 , | PF2 |= ∴ = 3 3 | PF2 | 2

若 ∠F1 PF2

= 90 o , 则 | F1 F2 | 2 =| PF1 | 2 + | PF2 | 2 .即20 =| PF1 | 2 + (6 ? | PF1 |) 2
| PF2 |= 2 ∴ | PF1 | . | PF2 |= 2

解得 | PF |= 4 1

19.解:存在设直线 l : x ? 4 = m( y + 2)由?

? y 2 = 2x

得y 2 ? 2my ? 4(m + 2) = 0 x ? 4 = m( y + 2) ?

2 2 设 B ( x , y ), P ( x , y ), Q ( x , y ) ∴ k = y1 ? y 0 = k QB = 0 0 1 2 2 2 PB x1 ? x 0 y1 + y 0 y2 + y0
由 PB

⊥ QB得k PB ? k QB = ?1



4 = ?1 ( y1 + y 0 )( y 2 + y 0 )

2 即 y1 y 2 + y 0 ( y1 + y 2 ) + y 0 = ?4 将

y1 + y 2 = 2m, y1 y 2 = ?4(m + 2) 代入得,

2 ? 4( m + 2) + 2 my 0 + y 0 = ?4

2 ∴ 2 m( y 0 ? 2) + y 0 ? 4 = 0. (1)



y 0 = 2 则(1)式恒成立. y 0 = 2时x0 = 2 .

∴存在满足题设的点 B(2,2) 20.解:由题意有 A1( ? a,0 )A2( a,0 ) 根据对称性可设 P(a cosθ , b sin θ )(0 < θ ≤

π
2

)

则 k PA

2

=

b sin θ a (cosθ ? 1)
k PA2 ? k PA1

k PA1 =

b sin θ a (cosθ + 1)

∴ tan ∠A1 PA2 =

1 + k PA2 k PA1

b sin θ b sin θ ? a(cos θ ? 1) a (cos θ + 1) = b 2 sin 2 θ 1+ 2 a (cos θ ? 1)(cos θ + 1)

=?

2ab 1 2 ab ? ≤? 2 a 2 ? b 2 sin θ a ? b2

∵正切函数在 (

π 3

2ab . , π ) 内是增函数,∴ ∠A1 PA2 ≤ π ? arctan 2 2 2 a ? b2
2ab a ? b2
2

当 sin θ

= 1 即 P 点坐标为(0,±b)时,∠A1PA2 取得最大值 π ? arctan
- 45 -

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