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【随堂优化训练】2014年数学(人教a版)必修5配套课件:3.1.2 比较大小(数学备课大师网 为您整理)


3.1.2 比较大小

【学习目标】 1.理解实数大小比较的方法及不等式的基本性质. 2.掌握多项式大小比较的常用方法.

1.比较实数大小的依据 (1)a>b?____________. a-b>0 (2)a=b?____________. a-b=0

a-b<0 (3)a<b?_____

_______.
练习 1:若 P=x2 +2 ,Q =2x ,则 P 与 Q 的大小关系是

P>Q __________.
2.作差比较法的基本步骤 变形 ;(3)________ 定正负 ;(4)得结论. (1)作差;(2)________ > 练习 2:当 x>1 时,x2________ x.

【问题探究】
1.常见的非负数有哪几个? 答案:常见的非负数有 a2,|a|, a. 2.在作差法作差变形中,有哪些常用方法? 答案:作差变形中常用方法有配方、因式分解、通分、有 理化等.

题型1 作差(配方法)比较大小 【例 1】 比较函数 f(x)=3x2-x+1 与 g(x)=2x2+x-1 的 大小.

思维突破:把两式直接作差比较.
解:∵f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1) =x2-2x+2 =(x-1)2+1>0, ∴f(x)>g(x).

【变式与拓展】
1.比较 x2+2013 与 4x+2008 的大小,其中 x∈R. 解:∵x2+2013-(4x+2008)=(x2-4x+4)-4+5=(x-2)2 +1≥1>0,∴x2+2013>4x+2008.

题型 2 作差(因式分解法)比较大小 【例 2】 若 q>0,且 q≠1,比较 1+q2 与 2q 的大小. 思维突破:多项式与多项式比较大小,由于展开时较繁, 作差后灵活选择乘法公式进行因式分解,利用实数的符号法则 确定积的正负. 解:(1+q2)-2q=1-2q+q2=(1-q)2,

∵q>0,且q≠1,∴(1-q)2>0.
故1+q2>2q.

【变式与拓展】
a 2a+b 2.已知 a>b>0,求证:b> . a+2b
2a+b a b2-a2 ?b-a??b+a? 证明: -b= = . a+2b ?a+2b?b ?a+2b?b ∵a>b>0,∴b-a<0,b+a>0,(a+2b)b>0. ?b-a??b+a? a 2a+b ∴ <0.∴b> . ?a+2b?b a+2b

题型 3 作商法比较大小 【例3】 已知a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb与abba的 大小.
aabb a-b b-a ?a?a-b 解:abba=a b =?b? . ? ?
?a? - a 当 a>b>0 时,b>1,a-b>0,∴?b?a b>1; ? ? ?a? - a 当 0<a<b 时,b<1,a-b<0,∴?b?a b>1. ? ?

综上所述,aabb>abba.

作商法比较两个正数 a 与 b 大小的依据.

a ①b>1?a>b; a ②b=1?a=b; a ③b<1?a<b.

【变式与拓展】 am>3m 3.已知a>3,当m>2时,am与3m的大小关系是________.

1 【例 4】 已知 a>0,试比较 a 与a的大小.
易错分析:为了判断差式的符号,要对 a 的符号进行分类 讨论,分类时容易重复或遗漏.

2 a -1 ?a-1??a+1? 1 解:a-a= a = . a

?a-1??a+1? 1 ∵a>0,∴当 a>1, >0,有 a>a; a ?a-1??a+1? 1 当 a=1 时, =0,有 a=a; a ?a-1??a+1? 1 当 0<a<1 时, <0,有 a<a. a 1 1 综上所述,当 a>1 时,a>a;当 a=1 时,a=a; 1 当 0<a<1 时,a<a.

[方法· 规律· 小结] 1.运用作差法比较大小的关键步骤是变形,变形时要根据 式子的结构特征,选用合适的变形方法,常用的方法有配方法、 因式分解法、通分、有理化等. 2.运用作商比较法比较大小时,要注意结合不等式的性质

进行综合运用,如“变式与拓展 3”.


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