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第一章 第1讲 集合的含义与基本关系 【更多关注@高中学习资料库 加微信:gzxxzlk做每日一练】


第一章
第1讲

集合与逻辑用语
集合的含义与基本关系

考纲要求 1.集合的含义与表示. (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关 系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或 描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系. (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定 集合的子集. (2)在具

体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算. (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个 简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会 求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

考纲研读

1.集合是由元素组成 的,从集合中元素的 特征出发,可找到元 素与集合及集合与集 合之间的关系. 2.对于集合的运算, 可充分借助于韦恩 (Venn)图或数轴的直 观性. 3.对于与集合运算有 关的新概念问题,通 过信息迁移构造出符 合要求的情景是关键.

1.集合的含义与表示 互异性 无序性 确定性 (1)集合元素的三个特征:_______、________和________. 属于 不属于 ∈ (2)元素与集合的关系是_____或________,用符号“___”或

? “____”表示.
(3)集合的表示法:_______、_______、图示法. 列举法 描述法 (4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z; 有理数集 Q;实数集 R.

2.集合间的基本关系
(1)对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中任何一个元素都是集 合 B 的元素,则称集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A, A?B?若 a∈A,则 a∈B 记作 A?B 或 B?A.用符号表达即“_______________________”. (2)空集及其性质 子集 ①空集是任何集合的______,其中“任何集合”当然也包括

了?,故有???.
真子集 ②空集是任何非空集合的________,即? A(而 A≠?). (3)子集的有关性质 A?B 且 B?A ①A=B?________________.

A?C ②A?B,B?C?______.
2n ③若集合 A 有 n 个元素,则 A 的子集数为____.

3.集合的运算及其性质 (1)集合的运算
①交集:A∩B=_________________. {x|x∈A 且 x∈B} {x|x∈A 或 x∈B} ②并集:A∪B=_________________. {x|x∈U 且 x A} ③补集:?U A=_________________. (2)集合的运算性质

并集的性质:A∪?=A、A∪A=A、A∪B=B∪A、A∪B=

A ?B?A.
交集的性质:A∩?=?、A∩A=A、A∩B=B∩A、A∩B=

A ?A?B;
补集的性质:A∪?U A=U、A∩?U A=?、?U (?U A)=A、?U (A∪

B)=(?U A)∩(?U B)、?U (A∩B)=(?U A)∪(?U B).

1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2 +x=0}关系的韦恩(Venn)图是( B )

2.集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则 A∩B 是( C )

A.(1,-1)

? x=1 B. ? ? y=-1

C.{(1,-1)}

D.{1,-1}

3.(2012年湖南)设集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N=( B )

A.{0}
C.{-1,1}

B.{0,1}
D.{-1,0,0}

4.设集合 A={x|x>3},B={x|x2-5x+4<0},则 A∪B=( D ) A.? C.{x|-2<x<1} B.{x|3<x<4} D.{x|x>1}

5.(2011届广东汕头水平测试)设全集U={0,1,2,3,4},A= {0,3,4},B={1,3},则(?UA)∪B=( A.{2} B.{1,2,3} )B

C.{1,3}

D.{0,1,2,3,4}

解析:∵?UA={1,2},B={1,3},∴(?UA)∪B={1,2,3}.

考点1

集合间的基本关系

例1:集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实 数 m 的取值范围. 解析:(1)①当m+1>2m-1,即m<2 时,B=?.满足B?A. ②当 m+1≤2m-1,即m≥2 时,要使B?A 成立,
? m+1≥-2, 需? ? 2m-1≤5,

可得2≤m≤3. 综上m≤3 时有B?A.

(2)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, 没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立.即 A∩B=?. ①若 B=?即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件. ②若 B≠?,则要满足条件有:
?m+1≤2m-1, ? ?m+1>5, ?m+1≤2m-1, 或? ?2m-1<-2,

解得m>4. 综上所述,有m<2 或m>4.

(1)空集是任何集合的子集,因此当 B?A 时需 考虑 B=?的情形;(2)当A∩B=?时也需考虑 B=?的情形,如果 当集合B 不是空集,要保证 B?A,可以利用数轴,这样既直观又 简洁;(3)虽然本题的难度不大,但都需要分两种情况讨论,在(1) 中解不等式组时需求交集,而最终结果又都要求两种讨论结果的

并集,因此本题还是综合性很强的.

【互动探究】

1.(2011 年安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7},则满
足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数为( A.57 B.56 C.49 B) D.8

2.(2011 年浙江)若P={x|x<1},Q={x|x>1},则( D ) A.P?Q B.Q?P C.?R P?Q D.Q??R P

考点2

集合的运算

例2:设全集 U={x|x≤20 的质数},M∩?U N={3,5},N∩?U M ={7,19},(?UM)∩(?UN)={2,17},求集合 M 与 N. 解析:如图D1,由(?U M)∩(?U N)={2,17},可知M,N 中没 有元素2,17.

图D1

由N∩?U M={7,19},可知N 中有元素7,19,M中没有元素7,19.
由M∩?U N={3,5},可知M 中有元素3,5,N中没有元素3,5. 剩下的元素11,13 不在M∩?U N、N∩?U M、(?U M)∩(?U N)三部 分中,只能11∈(M∩N),13∈(M∩N).∴M={3,5,11,13},N= {7,11,13,19}. 集合问题大都比较抽象,解题时若借助Venn 图进 行数形分析,往往可将问题直观化、形象化,使问题灵活、直观、 简捷、准确地获解,当然本题还要注意的就是1 既不是质数也不 是合数.

【互动探究】

3.(2012年湖北)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B=
{x|0<x<5,x∈N},则满足条件A?C?B的集合C的个数为( D A.1个 A∪B=A,则m=( B.2个 C.3个 D.4个 },B={1,m} , )

4.(2012年全国)已知集合A={1,3, )

m
C.1或 D.1或3

A.0或

B.0或3 B

考点3

与集合有关的新概念问题

例 3:如图 1-1-1 所示的韦恩图中,A、B 是非空集合,定 义集合 A#B 为阴影部分表示的集合.若 x,y∈R,A={x|y= 2x-x2},B={y|y=3x(x>0)},则 A#B 为( D )

A.{x|0<x<2}
B.{x|1<x≤2} C.{x|0≤x≤1 或 x≥2}

D.{x|0≤x≤1 或 x>2}

图 1-1-1

解析:A={x|y= 2x-x2}={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B= {y|y = 3x(x>0)} = {y|y>1} , 则 A ∪ B = {x|x≥0} . A∩B = {x|1<x≤2}.根据新运算,得 A#B=? A ∪ B(A∩B)={x|0≤x≤1 或 x>2},故选 D.

根据图形语言可知定义的 A#B 可转化为 A#B= ?A ∪B (A∩B).所以需要求出和,借助数轴求出并集与交集.解题 的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出.

【互动探究】
5.部分实数构成的集合 A 满足:①任两个不同元素的和仍然 是 A 的元素;②任两个不同元素的积仍然是 A 的元素;③任一元 素的 n 次幂仍然是 A 的元素(n∈N).这样的有限集 A 有( B ) A.无限多个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A= {1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为(

D)

A.0

B.2

C.3

D.6

易错、易混、易漏

1.不清楚集合元素的性质致误

例题:(2011年广东教研室)若集合A={x|y= ={y|y=lg(x-1),x∈[2,11]},则A∩B=( C ) A.(-∞,1] C.[0,1] B.(-∞,1) D.[0,1)

1-x }.集合B

正解:1-x≥0,x≤1;x∈[2,11]?1≤x-1≤10?0≤lg(x -1)≤1.A∩B=[0,1].故选C.

【失误与防范】对于集合问题,首先要确定集合的元素是什 么(数集、点集或某类图形),然后确定处理此类问题的方法.本题 很容易错误地认为是求两函数定义域的交集,实际上集合A是函数
y= 1-x的定义域,集合B是函数y=lg(x-1),x∈[2,11]的值域.

1.对连续数集间的运算,要借助数轴的直观性,进行合理转

化;对离散数集间的运算,要借助 Venn 图,这是数形结合思想的
具体体现. 2.本小节的重点是交集与并集的概念.只要结合图形,抓住 概念中的关键词“且”、“或”,理解它们并不困难.可以借助 代数运算帮助理解“且”、“或”的含义:求方程组的解集是求 各个方程的解集的交集,求方程(x+2)(x+1)=0 的解集,则是求

方程 x+2=0 和 x+1=0 的解集的并集;求不等式组的解集是求
各个不等式的解集的交集,求不等式(x+2)(x+1)>0 的解集,则是
? x+2<0, 求? ? x+1<0 ? x+2>0, 和? ? x+1>0

的解集的并集.

1.注意利用分类讨论的思想解决集合之间的关系和含有参数 的问题.如在 A?B 的条件下,须考虑 A=?和 A≠?两种情况,要 时刻注意对空集的讨论. 2.在集合的运算过程中要注意集合元素具有互异性.

3.属于符号“∈”、不属于符号“? ”,它们只能用在元素

与集合符号之间;包含关系符号“ 关系符号“

”“?”、包含于(被包含)

”或“?”,它们只能用在两个集合符号之间.对

此,必须引起充分注意,不能用错,不要出现把 a∈{a}表示成 a ?{a}或 a {a}之类的错误;又如{0}是含有一个元素的集合,?

是不含任何元素的集合,因此,有??{0},不能写成?={0}或?∈ {0}.


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