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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第1节 数列的概念与简单表示法]


课时作业
一、选择题 2 4 6 8 1.按数列的排列规律猜想数列3,-5,7,-9,?的第 10 项是 ( 16 A.-17 20 C.-21 C 18 B.-19 22 D.-23 )

[所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一

部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式,an

2n 20 =(-1)n+1· ,故 a10=-21.] 2n+1 2.数列{an}的前 n 项积为 n2,那么当 n≥2 时,an= ( A.2n-1 (n+1)2 C. n2 B.n2 n2 D. (n-1)2 )

D [设数列{an}的前 n 项积为 Tn, 则 Tn=n2, Tn n2 当 n≥2 时,an= = .] Tn-1 (n-1)2 3.对于数列{an}, “an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的 ( A.必要不充分条件 C.必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

B [当 an+1>|an|(n=1, 2, ?)时, ∵|an|≥an, ∴an+1>an, ∴{an}为递增数列. 当 {an}为递增数列时,若该数列为-2,0,1,则 a2>|a1|不成立,即知 an+1>|an|(n =1,2,?)不一定成立.故综上知, “an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递 增数列”的充分不必要条件.] a7 4.(2014· 温州测试)已知数列{an}满足 a1=5,anan+1=2n,则a =
3

( A.2 C.5 B.4 5 D.2

)

an+1an+2 2n+1 an+2 B [依题意得, = 2n =2,即 a =2,数列 a1,a3,a5,a7,?是一 anan+1 n a7 个以 5 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此a =4,选 B.]
3

5.(2014· 江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状.称数列 5,9,14,20,? 为“梯形数” .根据图形的构成,此数列的第 2 012 项与 5 的差,即 a2 012-5 = ( )

A.2 018×2 012 C.1 009×2 012

B.2 018×2 011 D.1 009×2 011

D [因为 an-an-1=n+2(n≥2), (n+6)(n-1) 所以 an=5+ , 2 所以 a2 012-5=1 009×2 011.]
x ?2 -1,x≤0, 6.(2014· 合肥模拟)已知函数 f(x)=? 把函数 g(x)=f(x)-x ?f(x-1)+1,x>0,

的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为 ( A.an= n(n-1) (n∈N*) 2 )

B.an=n(n-1)(n∈N*) C.an=n-1(n∈N*) D.an=2n-2(n∈N*) C [作为选择题,本题有一种有效的解法是先确定函数的第 1,2,3,?有

限个零点,即数列的前几项,然后归纳出其通项公式,或代入选项验证即可,

?2 据已知函数关系式可得 f(x)=? 2 ??
有 C 符合.] 二、填空题

2x-1,x≤0,
x-1

,0<x≤1,

x-2

+1,1<x≤2,

此时易知函数 g(x)=f(x)-x 的前几个零点依次为 0,1,2,?,代入验证只

7.已知数列{an}满足 ast=asat(s,t∈N*),且 a2=2,则 a8=________. 解析 令 s=t=2,则 a4=a2×a2=4,

令 s=2,t=4,则 a8=a2×a4=8. 答案 8

an-1 8.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,且 an= (n≥3),则 a2 012=________. an-2 解析 an-1 a2 将 a1=1,a2=2 代入 an= 得 a3=a =2, an-2 1

1 1 同理可得 a4=1,a5=2,a6=2,a7=1,a8=2, 故数列{an}是周期数列,周期为 6, 故 a2 012=a335×6+2=a2=2. 答案 2

9.已知{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 log2(Sn+1)=n+1,则 an=________. 解析 由已知条件可得 Sn+1=2n+1.

则 Sn=2n+1-1,当 n=1 时,a1=S1=3, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n,n=1 时不适合 an, ?3,n=1, 故 an=? n ?2 ,n≥2. 答案 ?3,n=1, ? n ?2 ,n≥2.

三、解答题 10.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?

(3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解析 (1)当 n=4 时,

a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150, 即 n2-7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0, 解得 n>6 或 n<1(舍). 故从第 7 项起各项都是正数. 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn.求数 列{an}与{bn}的通项公式. 解析 ∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

=(2n2+2n)-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n, 当 n=1 时,a1=S1=4 也适合, ∴{an}的通项公式是 an=4n(n∈N*). ∵Tn=2-bn,∴当 n=1 时,b1=2-b1,b1=1. 当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1), ∴2bn=bn-1. 1 ∴数列{bn}是公比为2,首项为 1 的等比数列. ?1?n-1 ∴bn=?2? . ? ? 2a2 n+3an+m 12.已知数列{an}中,a1=1,且满足递推关系 an+1= (n∈N*). an+1 (1)当 m=1 时,求数列{an}的通项公式 an; (2)当 n∈N*时,数列{an}满足不等式 an+1≥an 恒成立,求 m 的取值范围. 解析 2a2 n+3an+1 (1)∵m=1,由 an+1= (n∈N*), an+1

(2an+1)(an+1) 得 an+1= =2an+1, an+1

∴an+1+1=2(an+1), ∴数列{an+1}是以 2 为首项,公比也是 2 的等比数列. 于是 an+1=2· 2n-1,∴an=2n-1. (2)∵an+1≥an,而 a1=1,知 an≥1, 2a2 n+3an+m ∴ ≥an, an+1 即 m≥-a2 n-2an, 依题意,有 m≥-(an+1)2+1 恒成立. ∵an≥1,∴m≥-22+1=-3, 即满足题意的 m 的取值范围是[-3,+∞).


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