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高中数学1.3.1单调性与最大(小)值课件新人教版必修1


学校准备建造一个长方形的花坛, 由于周围环 面积设计为16平方米。 境的限制,其中一边的长度既不能超 过10米,又不能少于2米。求花坛长与 宽两边之和的最小值和最大值。

16平方米

设长方形受限制一边长为 x 米,2 ? x ? 10.
16 则另一边长为 米. x 16 ? 两边之和为y? x ? (2 ? x ? 10) x

归结为数学问题:

16 求函数y ? x ? (2 ? x ? 10) 的最小值和最大值。 x
利用不等式可求最小值;如何求最大值?

x

研究y随x的变化而变化的规律 16
16平方米
x

1.3.1 单调性与最大(小)值

上海市年生产总值统计表
生产总值 (亿元)
30 20 10 467 1985 756 1990 1994 1997 1971 3360

年份

人数 (万人)
15 10
5

上海市高等学校 在校学生数统计表
14.04 10.79 12.13 15.38

1985

1990

1994 1997

年份

人数 (人) 450
350 250 150

上海市日平均 出生人数统计表
423 359 209 176

1985

1990

1994 1997

年份

上海市耕地面积统计表
面积 (万公顷) 33.96 34 32.32 32 30.78
30 28 1985 1990 1994 1997

29.80

年份

y y

y

y ? x ?1
?1
1

y ? ?2x ? 2

2
1
x

o
y

O

x x

o o

O

y

y ? ? x ? 2x
2

O

1 y? x
O o

1

2

x
x

y

y?x

2

f (x1 )

x1

O

x

y

y?x

2

f (x1 )

x1

O

x

y

y?x

2

f (x1 )

x1 O

x

y

y?x

2

f (x1 )

x 1O

x

y

y?x

2

f (x1 )

O x1

x

y

y?x

2

f (x1 )
O

x1

x

y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

如何用x与 f(x)来描述上升的图象?
y

y ? f (x)
f (x1 )
f (x 2 )
x2

在给定区间上任取x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x 1 ) ? f(x 2 )

O

x1

x

函数f (x)在给定区间 上为增函数。

如何用x与 f(x)来描述下降的图象?
y

y ? f (x)
f (x1 )

在给定区间上任取x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x 1 ) ? f(x 2 )

f (x 2 )

O

x1

x2

函数f (x)在给定区间 上为减函数。

x

[例1] 证明函数f ( x ) ? 2x ? 1在区间 ( ? ?, ?)上是增函数。 ?

[例2] 判断函数f ( x ) ? x ? 2x 的 单调性,并加以证明。 y 单调递减区间:
2

f ( x ) ? x 2 ? 2x
1

(??, 1] [1 ,??)

单调递增区间:

o

2

x

[引例]的继续:如何判断函数
16 f ( x ) ? x ? , x ? [2, 10] 的单调区间? x

方法一

方法二

方法三

证明

[引例]的继续:如何应用函数
16 f(x)? x ? 在[2, 4]和[4 , 10] x
上的单调性求其最大值 ?

课堂小结:
(1)函数单调性的概念;
(2)判断函数单调区间的常用方法; (3)解决实际问题的数学思想方法。
(1)

(2)

(3)

作业

函数单调性的概念:
一般地,对于给定区间上的函数f(x): 1. 如果对于属于这个区间的自变量的任意

两个值x ,x 2 , 1 ? x 2时, 当x 都有f(x ) ? f(x2 ), 1 1
称函数 f(x)在这个区间上是增函数。 2. 如果对于属于这个区间的自变量的任意

两个值x ,x 2 , 1 ? x 2时, 当x 都有f(x ) ? f(x2 ), 1 1
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。

判断函数单调区间的常用方法:
方法一:分析函数值大小的变化。 方法二:分析函数的图象。 方法三:比较大小过程中的数值分析。
方法一 方法二 方法三

解决实际问题的数学思想方法:
建立数学模型

实际问题
有解吗?

数学问题
求解

实际问题的解

实践验证

数学问题的解

作业:
P43 3、4、5

同学们再见!

证明: 2 ? x1 ? x 2 ? 4 , 设
16 16 f(x1 )? f(x2 ) ? (x1 ? ) ?(x 2 ? ) x1 x2 16(x2 ? x 1 ) ? (x1 ? x 2 )? x1 x 2 (x1 ? x 2 ) (x1 x 2 ? 16) ? x1 x 2

? 2 ? x1 ? x 2 ? 4 , ? x1 ? x 2 ? 0 , ? 4 ? x 1 x 2 ? 16 ,即x1 x 2 - 16 ? 0

? f(x1 )? f(x2 ) ? 0 ,即f(x1 ) ? f(x2 ),
16 ? f(x)? x ? 在 [2, 4] 上单调递减。 x

方法一:分析函数值大小的变化。
16 f ( x) ? x ? , x ? [2, 10] x
x y 2 10 3 8. 3 4 8 5 8. 2 6 7 8 10 9 10

8. 7 9. 3

10. 8 11.6

猜测: 单调递减区间:[2,4] 单调递增区间:[4,10]

y
16

16 y?x? x

12 8 4
16 y? x

方 法 y?x 二 : 分 猜测: 析 单调递减区间: 和 函 [2,4] 数 单调递增区间: 的 图 [4,10] 象

O
2 4 6 8 10 12 14 16

x

方法三:比较大小过程中的数值分析。
设 x 1 , x 2 ? [2,10] , 且 x 1 ? x 2 , ( x 1 ? x 2 ) ( x 1 x 2 ? 16) f (x1 ) ? f (x 2 ) ? x1 x 2 确定f( x 1 ) ? f (x 2 )正负号的关键是 确定(x 1 x 2 ? 16) 的正负号。
由于x 1 , x 2 在同一区间内, 欲使 x 1 x 2 ? 16, 则需x 1 , x 2 ? [2 ,] , 4

欲使 x 1 x 2 ? 16, 则需x 1 , x 2 ? [4 ,0] . 1

16 ? 解: f(x)? x ? 在[2, 4]上单调递减, x ? f(x)在[2,4]上最大值为f(2 ? 10 ; ) 16 ? f(x)? x ? 在[4,10]上单调 递增, x 58 ? f(x)在 [4, 10] 上最大值为f(10) ? . 5 ? f(10) ? f(2) , 16 ?函数f(x)? x ? , ?[2,10]的最大值 x x 58 为f(10)? . 5

[例1] 证明函数f ( x ) ? 2x ? 1在区间 ( ? ?, ?)上是增函数。 ? 证明: 设x 1 , x 2是区间(??,??)内任意 两个实数,且x 1 ? x 2 。 (条件) f (x1 ) ? f (x 2 ) ? (2x1 ? 1) ? (2x 2 ? 1) ? 2(x 1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 , ? x1 ? x 2 ? 0 ? f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 即f ( x 1 ) ? f (x 2 ) (论证结果) 则函数f ( x ) ? 2x ? 1在区间(??,??) (结论) 是增函数。


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