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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练8(含解析)北师大版必修5


双基限时练(八)
一、选择题 1 1.在等比数列{an}中,a3= ,a7=2,则 a5 等于( 2 A.-1 C.±1 解析 设等比数列的公比为 q,∵a5=a3q , ∴a3 与 a5 同号,故 a5= a3a7=1. 答案 B 2.若数列{an}是公差为 2 的等差数列,则数列{2an}是( A.公比为 4 的等比数列 B.公比为 2 的等比数列 1 C.公比为 的等比数列 2 1 D.公比为 的等比数列 4 解析 2an+1 2 =2(an+1-an)=2 =4. 2an )
2

)

B.1 D.以上均不对

答案 A 3.若数列{an}为等比数列,则下列四个命题:①数列{an}也是等比数列;②数列{a2n}
?1? 也是等比数列;③数列? ?也是等比数列;④数列{lg|an|}也是等比数列.其中正确的个数 ?an?
2

是(

) A.1 C.3 B.2 D.4

解析 ④不正确,如 an=1,lg|an|=0,而 0,0,0,…不是等比数列. 答案 C 4.设等差数列{an}的公差 d 不为 0,a1=9d.若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k=( A.2 C.6 解析 B.4 D.8 由 a1=9d,ak=9d+(k-1)d=(k+8)d,a2k=(2k+8)d,由(k+8) =9·(2k+
2

)

8),得 k=4. 答案 B 5.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( A.5 2 B.7
1

)

C.6 解析 由 a1a2a3=5,a7a8a9=10, 得(a1a2a3)·(a7a8a9)=50. 即 a5=50,an>0. ∴a5=5 2,即 a4a5a6=5 2. 答案 A
3 6

D.4 2

1 a9+a10 6.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 的值等于 2 a7+a8 ( ) A.1+ 2 C.3+2 2 B.1- 2 D.3-2 2

1 解析 ∵{an}为等比数列,又 a1, a3,2a2 成等差数列, 2 ∴a1+2a2=a3,∴1+2q=q ,得 q=1+ 2或 q=1- 2(舍). 又
2

a9+a10 ?a7+a8?q2 2 = =(1+ 2) =3+2 2. a7+a8 a7+a8

答案 C 二、填空题 7.在各项都是正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则 a1a15=________. 解析 由 lg(a3a8a13)=6, 得 a3a8a13=10 . 又 a3a8a13=a8,∴a8=10 . 由等比中项知 a1a15=a8=(10 ) =10 . 答案 10
4 2 2 2 4 3 2 6

8. 在等比数列{an}中, 公比 q 为整数, 且 a3+a8=124, a5·a6=-512, 则 a5=________. 解析 ∵a5a6=a3a8=-512,又 a3+a8=124,得?
?a3=-4, ? ? ?a8=128.
5 2

? ?a3=128, ?a8=-4, ?

或?

? ?a3=-4, ?a8=128, ?

又q为

整数,∴?

又 a8=a3q =128,得 q=-2,∴a5=a3q =-16. 答案 -16 9.数列{an}是等比数列,an>0,已知 a2a4+2a3a5+a4a6=125,则 a3+a5=________. 解析 由 a2a4+2a3a5+a4a6=125,得 a3+2a3a5+a5=125,a3+a5=±5 5,又 an>0,故
2 2

a3+a5=5 5.
2

答案 5 5 三、解答题 9 1 2 10.在等比数列{an}中,a1= ,an= ,q= ,求 n. 8 2 3 解 ∵an=a1·q
n-1

1 9 ?2?n-1 ,得 = ×? ? , 2 8 ?3?

?2?n-1=4,∴n-1=2,得 n=3. ?3? 9 ? ?
11.在等比数列{an}中,各项均为正值,且 a6a10+a3a5=54,a4a8=5,求 a4+a8 的值. 解 ∵{an}为等比数列,∴a3a5=a4,a6a10=a8,
2 2 2 2

∴a6a10+a3a5=a4+a8=54, 又 a4a8=5,∴(a4+a8) =a4+2a4a8+a8=54+10=64, 又 an>0,∴a4+a8= 64=8. 12.已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数. 解 设这三个数分别为 ,a,aq,由题意,
2 2 2

a q

a ? ?q·a·aq=27, 得? a ? ?q +a q +a =91,
2 2 2 2 2

① ②

1 由①得 a=3,代入②,得 q=±3 或 q=± . 3 ∴当 q=3 时,这三个数分别是 1,3,9; 当 q=-3 时,这三个数分别是-1,3,-9; 1 当 q= 时,这三个数分别是 9,3,1; 3 1 当 q=- 时,这三个数分别是-9,3,-1. 3 思 维 探 究 13.在等比数列{an}中,a1=1,公比为 q(q≠0),且 bn=an+1-an. (1)判断数列{bn}是否为等比数列?说明理由; (2)求数列{bn}的通项公式. 解 (1)∵等比数列{an}中,a1=1,公比为 q,∴an=a1q
n-1

=q

n-1

(q≠0),

若 q=1,则 an=1,bn=an+1-an=0, ∴{bn}是各项均为 0 的常数列,不是等比数列.

3

若 q≠1,由于

bn+1 an+2-an+1 qn+1-qn qn?q-1? = = = =q, bn an+1-an qn-qn-1 qn-1?q-1?

∴{bn}是首项为 b1=a2-a1=q-1,公比为 q 的等比数列. (2)由(1)可知,当 q=1 时,bn=0; 当 q≠1 时,bn=b1q ∴bn=(q-1)q
n-1 n-1

=(q-1)·q

n-1



(n∈N+).

4


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