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全等三角形典型分类例题


《全等三角形》典型题
一、基本证明 1、已知,如图,AB=CD,DF⊥AC 于 F,BE⊥AC 于 E,DF=BE。求证:AF=CE。
D E F A B C

2、已知,如图,AB⊥AC,AB=AC,AD⊥AE,AD=AE。求证:BE=CD。
B

A

C E

D

3、已知:如图,AB、CD 交于 O 点,CE//DF,CE=DF,AE=BF。求证:∠ACE=∠BDF。
C F A E O D B

4、已知:如图,AC⊥OB,BD⊥OA,AC 与 BD 交于 E 点,若 OA=OB,求证:AE=BE。
A D O C B E

5、已知:如图,PA、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线,? 它们交于点 P, PD⊥BM 于 D,PF⊥BN 于 F.求证:BP 为∠MBN 的平分线.

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6、如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,A,C,D 三点在同一直线上,连结 BD,AE, 并延长 AE 交 BD 于 F.求证: (1)△ACE≌△BCD(2)直线 AE 与 BD 互相垂直
E B F

A

C

D

7、已知:如图,△ABC 中,∠ABC=45°,CD⊥AB 于 D,BE 平分∠ABC,且 BE⊥AC 于 E,与 CD 相交于点 F,H 是 BC 边的中点,连结 DH 与 BE 相交于点 G。 (1) BF=AC (2) CE=
1 BF 2

(3)CE 与 BC 的大小关系如何。

8、如图,△ ABC 是等边三角形,点 D 、 E 、 F 分别是线段 AB 、 BC 、 CA 上的点, (1)若 AD ? BE ? CF ,问△ DEF 是等边三角形吗?试证明你的结论; (2)若△ DEF 是等边三角形,问 AD ? BE ? CF 成立吗?试证明你的结论.
A F D B E C

二、等角或直角转换 1、如图 7,点 O 是线段 AD 的中点,分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD,连结 AC 和 BD,相交于点 E,连结 BC.求∠AEB 的大小; (2) 如图 8,Δ OAB 固定不动,保持Δ OCD 的形状和大小不变,将Δ OCD 绕着点 O 旋转(Δ OAB 和Δ OCD 不能重叠) ,求∠AEB 的大小.
B C E B C E A

D

O 图7

A

O D 图8

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2、用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60°角的三角尺与 这个菱形叠合,使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB、AC 重合.将三角尺 绕点 A 按逆时针方向旋转. (1)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD 相交于点 E、F 时(如图所示) ,通过观察 或测量 BE、CF 的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论;
A D F B E C

(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD 的延长线相交于点 E、F 时(如图所示) , 你在(1)中得到的结论还成立吗?说明理由。
F A D

B

C E

3、在△ ABC 中,∠ ACB=90° ,AC=BC,直线 MN 经过点 C,且 AD⊥ MN 于 D,BE⊥ MN 于 E. (1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时,求证:① △ ADC≌ △ CEB;② DE=AD+BE; (2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时,求证:DE=AD-BE; (3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时,试问 DE,AD,BE 具有怎样的等量关系?请 写出这个等量关系,并加以证明.
M
M D C E N A 图2 D B A N D 图3 E B C M C

A 图1

B

E
N

4、 如图①, E、 F 分别为线段 AC 上的两个动点, 且 DE⊥AC 于 E, BF⊥AC 于 F, 若 AB=CD, 第 3 页——总 4 页

AF=CE,BD 交 AC 于点 M. (1)求证:MB=MD,ME=MF (2)当 E、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请 给予证明;若不成立请说明理由.

三、做辅助线的证明 1、△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为 BC 中点,E、F 分别在 AC、AB 上,且 DE⊥DF, 试判断 DE、DF 的数量关系,并说明理由.
C E D

A

F

B

2、已知:如图,△ ABC 中,∠ C=2∠ B,∠ 1=∠ 2,求证:AB=AC+CD.
A 1 2

B

D

C

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