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高中数学必修4第1章《三角函数》单元测试题


必修 4 第 1 章《三角函数》单元测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若点 P ( x , y ) 是 3 3 0 角终边上异于原点的一点,则
3 3
?

y x

的值为(
3 3



A . 3

B .? 3

C .

D .?

2.半径为 ? cm ,圆心角为 1 2 0 所对的弧长为(
?
3

?


2? 3
2

A .

cm

B.

?

2

cm

C .

2? 3

cm

D .

cm

3
1 2

3.已知 sin ? ? co s ? ?
7 2

,且 ? ? (0, ? ) ,则 sin ? ? cos ? ? (
7 2 7 2
1 2



A .

B .?

C .?

D .?

4.已知 co s(? ?
1 3

?
6

)? ?

1 3

,则 sin (? ?
1 3

?
3

) 的值为(


2 3 3

A .

B .?

C .

2 3 3

D .?

5.函数 y ? 2 co s[ ( x ?
3
A . 3? , ? 2 ,

1

?
4

)] 的周期、振幅、初相分别是(


?
12 3? 10
D . 6? , 2 ,

?
4

B . 3? , 2 ,

?
12

C . 6? , 2 ,

?
4

6.下列各点中,能作为函数 y ? tan ( x ?
A . (0, 0 ) B .(

?
5

)( x ? R 且 x ? k ? ? 3? 10 1 2 , 0)

,k ? Z )的一个对称中心的点是(



?
5

, 0)

C .(

D . (? , 0)

7. y ? sin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 达式为( )
A . y ? sin (

,然后把图象沿 x 轴向右平移

?
3

个单位,则表

1 2

x?

?
3

)

B . y ? sin ( 2 x ?

2? 3

)

C . y ? sin ( 2 x ?

?
3

)

D . y ? sin (

1 2

x?

?
3

)

8.函数 y ? b ? a sin x ( a ? 0 ) 的最大值为 ? 1 ,最小值为 ? 5 ,则 y ? tan (3 a ? b ) x 的最小正周期为 (
A .
C .


2? 9
B. D .

?
9 2? 3

?
3

9.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是(



第 1 页(共 6 页)

A . y ? 4 sin (
C . y ? 4 co s(

2x 3 2x 3

? ?

?
3

) )

B . y ? 4 sin ( D . y ? 4 co s(

2x 3

?

2? 3

)

?
3

2x 3

?

2? 3

)

10.在 (0, 2 ? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围为(
A .(


D .(

?
4

,? )

B .(

? 5?
, 4 4

)

C .(

? ?
, 4 2

) ? (? ,

5? 4

)

?
4

,? ) ? (

5? 4

,

3? 2

)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知 tan ? ?
3 ,则 ? 的取值集合为___________________________.
n? 2

12. 已知 f ( n ) ? co s 13. 函数 y ? sin (
?
6

,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? f (2011) ? ___________________.

? 4 x ) 的单调增区间为________________________________. 7? 2 1 3 ) 的图象的对称轴方程是________________________.

14. 函数 y ? co s(2 x ?

15. 已知 sin ? ? sin ? ?

,则 sin ? ? co s ? 的最大值为_____________________.
2

三、解答题(本大题共 6 小题,16-19 每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16.已知 ? 是第二象限角, f (? ) ?
sin ( ? ? ? ) tan ( ? ? ? ? ) sin ( ? ? ? ) co s( 2 ? ? ? ) tan ( ? ? )



(1)化简 f (? ) ; (2)若 sin (? ?

3? 2

)??

1 3

,求 f (? ) 的值.

17.已知 tan ? ? 3 ,求下列各式的值: (1)
4 sin ? ? co s ? 3 sin ? ? 5 co s ?

; (2)

1 2 sin ? co s ? ? co s ?
2



18.求证:

1 ? sin ? ? co s ? ? 2 sin ? co s ? 1 ? sin ? ? co s ?

? sin ? ? co s ?



19.求函数 y ? 2 ? 4 sin x ? 4 cos 2 x 的最大值和最小值,并写出函数取最值时对应的 x 的值.

20.已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( 在区间 [0 ,
?
2 ] 上是单调函数,求 ? , ? 的值.

3? 4

, 0 ) 对称,且

第 2 页(共 6 页)

21.已知函数 f ( x ) ? cos(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? (1)求函数解析式; (2)若方程 f ( x ) ? m 在 [ ?
? 1 3?
, 6 12

?
2

) 的部

分图象,如图所示.

] 有两个不同的实根,求 m 的取值范围.

必修 4 第 1 章《三角函数》单元测试题
第 3 页(共 6 页)

参考答案
1-5 DCAAC 11. ? ? | ? ? k ? ?
? ?

6-10CBBAB
?
? ,k ? Z? 3 ?

12. ? 1 13. ? x |
? ? k? 2 ?

?
6

? x?

k? 2

?

5?

? ,x? Z? 12 ?

14. x ? 15. 1.
4 9

k? 2

?

?
4

,k ? Z

解析:由三角函数定义 tan 3 3 0 ? ?

y x

,知

y x

? ?

3 3

,故选 D.

说明:本题主要是训练学生对三角函数的定义的理解. 2. 解析:由 | ? | ?
l R

,知 l ? | ? | R ? 1 2 0 ?

?
180

?? ?

2? 3

2

,故选C.

说明:本题主要是考查弧长公式和弧度制与角度值之间的换算公式. 3. 解析:由 (sin ? ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 sin ? cos ? , sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , sin ? ? co s ? ?
3 4 ? 0 , 再 根 据 ? ? (0, ? ) , ∴ s i n ? ?

1 2

,知
0 ,故

2 s in ? c o s ? ?

0 ∴ cos ? ? ,

0 ∴ sin ? ? ,

c o s? ?

sin ? ?

c o?s ?

( s?i ? n

? o s? ) c
2

? s i n ?c o s? 4 ?
4

1

3 ? 4

7 ? 2 .故选A. 2

说明:本题主要是训练学生对同角三角函数公式 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 的理解与应用.要注意对角的范围 进行取值. ? ? ? ? ? ? ? 1 4. 解析:由 ? ? ? (? ? ) ? ,知 sin (? ? ) ? sin [(? ? ) ? ] ? ? co s(? ? ) ? .故选A.
3 6 2 3 6 2 6 3

说明:本题主要训练学生对诱导公式的运用及角的构造. 5. 解析: 由 y ? 2 co s[ ( x ?
3 1

?
4

)] ? 2 co s(

1 3

x?

?
12

) 及T ?

2? |? |

,知 T ? 6? , A ? 2 , ? ?

?
12

.故选C.

说明:本题主要训练学生对 y ? A co s(? x ? ? ) 中周期公式,振幅及初相的理解。要注意初相是令
? x ? ? 中的 x ? 0 得到的。

6.

解析:令 x ?

?
5

?

k? 2

, k ? Z ,取 k ? 1 ,有 x ?

3? 10

.故选C.
k? 2 , 0) ,

说明:本题主要训练学生对正切函数的对称中心点的理解.要注意正切函数的中心对称点为 (
k ? Z .包含点 ( k ? ?

?
2

, 0) k ? Z .

第 4 页(共 6 页)

7.

3 ? 解析: y ? sin x ? ? ? ? ? ?? y ? sin 2 x ? ? ? ? ? ? ? y ? sin ( 2 x ? 2

横坐标变为原来的

1

沿 x轴 向 右 平 移

?

个单位

2? 3

) ,故选B.

说明:本题训练学生对三角函数图象的平移的理解,特别是 x 的系数不为1时沿 x 轴左右平移的情况, 学生容易出错误. 8. 为
?
9

解析:由题意知, b ? a ? ? 1 , b ? a ? ? 5 ,解出 a ? ? 2 , b ? ? 3 。所以 y ? tan ? 9 x ,得最小正周期 。故选 B.

说明:本题将正弦函数的最值和正切函数周期性结合在一起,重点在于培养学生利用三角函数基本性 质解决问题的能力。 2x 2 ?? 2? 2 ? ? ? ) ,由 ? ? ? ? 0 ,得到 ? ? ,有 ? ,若 y ? 4 sin ( 9. 解析:由图形知, T ? 3? , ? ?
T 3

y ? 4 sin (

2x 3

?

?
3

) 。若 y ? 4 co s(

2x 3

? ? ) ,由

2 ?? 2x ? ?? ? ?? ? ? )。 ,得到 ? ? ,有 y ? 4 co s( 6 3 2 2 3 6

3 ??

3

2

3

故选 A。 说明:能根据三角函数图象的特征,运用三角函数的五点作图法的找出 T , ? , ? ,解题时注意 ? 的 求法,尤其注意可能有正余弦两种函数解析式。 10. 解析:由三角函数线或者三角函数图象得到, sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围为 ( 说明:本题主要考查三角函数线的知识,重在培养学生数形结合的思想。 ? 11. 解析:由 tan ? ? 3 ,根据终边角的集合表示有 ? ? k ? ? , k ? Z 。
3

? 5?
, 4 4

) 。故选 B。

说明:本题考查正切函数特殊值的终边角的集合表示。 n? ) 12. 解 析 : 由 f ( n ) ? co s 的 周 期 为 4 , 且 f ( 1 )? f ( 2 ? f
2
? f (2010) ? f (2011) 为 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? 1 。故答案为: ? 1 。

(3) f ?

( ? ), 知 f ( 1 )? f ( 2?) ? 4 0

说明: 本题考查余弦函数的周期性,教师在讲解本题时可以再补充些题目加深学生对这方面的理解。 ? ? k? ? k? ? ? ? x? ? 13. 解析: y ? sin ( 4 x ? ) 的单调增区间为 , k ? Z 。 y ? sin ( 4 x ? ) 的单调减区
6
2 12 2 6

6

间 为

k? 2

?

?
6

? x?

k?

? 2

5?

s , k ? Z 。 故 y ? s i n (? x 4 ? )? i n x( 4?
1 2

?

?

的 )单 调 增 区 间 为

6

6

k? ? k? 5? ? ? ? ? x? ? ,x? Z? 。 ?x | 2 6 2 12 ? ?

说明:本题主要考查学生对于正弦函数的复合函数的单调性的理解,要注意 x 前面系数为负的情况。 7? ? ) ? sin 2 x ,由函数 y ? sin x 的对称轴方程为 x ? k ? ? ,知 y ? sin 2 x 对称 14. 解析: y ? co s( 2 x ?
2
2

轴方程为 x ?

k? 2

?

?
4

,k ? Z 。

说明:本题主要考查三角函数性质中的对称轴方程。 15. 解析: sin ? ? co s ? ? sin ? ? (1 ? sin ? ) ? sin ? ? sin ? ? 1 ? ( ? sin ? ) ? sin ? ? 1 =
2 2 2 2

1

3
(sin ? ? 1 6 ) ?
2

11 12

,当 sin ? ? 1 时, sin ? ? co s ? 有最大值为
2

4 9



第 5 页(共 6 页)

说明:本题考查 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 及二次函数的最值情况。 16. 解析: (1) f (? ) ?
f (? ) =3。
sin ? ( ? tan ? ) ? sin ? co s ? ( ? tan ? ) ? 1 ? co s ?

; (2)若 sin (? ?

3? 2

)??

1 3

,则有 c o s ? ? ?

1 3

,所以

说明:本题主要考查三角函数的诱导公式,训练学生对于“奇变偶不变,符号看象限”的理解能力。 17. 解析: (1) (2)
4 sin ? ? co s ? 3 sin ? ? 5 co s ?
1 2 sin ? co s ? ? co s ?
2

?

4 tan ? ? 1 3 tan ? ? 5
?

?
2

4 ? 3 ?1 3?3 ? 5
2

?

11 14
2


? tan ? ? 1
2

sin ? ? co s ? 2 sin ? co s ? ? co s ?

2 tan ? ? 1

?

3 ?1
2

2 ?3 ?1

?

10 7

说明:本题主要考查同角三角函数公式及其对于“1”的巧用。 18. 解析:左边=
?

1 ? sin ? ? co s ? ? 2 sin ? co s ? 1 ? sin ? ? co s ?
( s i? ? n c?s ?) o
2

??i n s
c? s o

?c o s

1? s i? ? n

?

( 1? s i?n ?
c?s o

c? s o

) ?? i n (s c? s o

? cos

)

1? s i? ? n

?sin ? ?

? 右边

说明:本题考查同角三角函数公式的恒等证明。要求学生掌握恒等式的证明方法和技巧。
i 19. 解析:y ? 2 ? 4 sin x ? 4 co s 2 x ? 4 sin 2 x ? 4 sin x ? 2 ? 4 (sin x ? ) 2 ? 3 , 由于 sin x ? [ ? 1,1] , s x ? 当n
2 1

1 2



即 x ? 2k? ?

?
6

或 x ? 2k? ?

5? 6

时, y 有最小值 ? 3 ;当 sin x ? ? 1 ,即 x ? 2 k ? ?

?
2

时, y 有最大值 6 。所

以 y ? [ ? 3, 6] 。 说明:本题是训练二次函数与正余弦函数结合的题目,重在训练学生利用二次函数配方求值域,三角 函数值求其角的集合的一道最值题目。主要培养学生分析问题、解决问题的能力。 20. 解析:因为 f ( x ) ? sin( ? x ? ? ) 是 R 上的偶函数,所以 ? ? k ? ? 有 f ( x ) ? sin ( ? x ?
3? 4 1 2 T ? 1 2? 2 ? ?

?
2

,k ? Z 。因为 0 ? ? ? ? 所以 ? ?
3? 4

?
2



?
2

) ? co s ? x , 又 因 为 其 图 像 关 于 点 M (

3? 4

, 0 ) 对 称 , 所 以 有 co s

? ? 0 ,得到

? ? k? ?

?
2

, k ? Z 。得到 ? ?

4k 3

?

2 3

, k ? Z 。 又 因 为 f (x) 在 区 间 [ 0 ,
2 3 或2 。

?
2

]上 是 单 调 函 数 , 有

?
2

,得到 ? ? 2 。又因为 ? ? 0 所以得到 ? ?

说明:本题是三角函数,偶函数,单调函数,点对称的结合题目,重点训练三角函数中的函数性质。 21. 解答:由题中的图象知, 所以 ? ?
2? T
T 2 ? 5? 6 ?

?
3

,即 T ? ?
?
3 ? ? ? ? ,得到 ? ?

? 2 ,根据五点作图法,令 2 ?

?
3

。所以 f ( x ) ? co s( 2 x ?

?
3

)

由 f ( x ) ? co s( 2 x ?

?
3

) 在[?

? 1 3?
, 6 12

] 上的图象知,当 m ? 1 ,或者 m ? ( ? 1, 0) 上有两个不同的实根。

说明:本题是由三角函数图象和函数方程的结合,主要训练学生运用五点作图法来找出三角函数,再 利用函数方程的观点进行分析和解决求根问题。

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