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福建省漳州外国语学校2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析


福建省漳州外国语学校 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数 学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在答题卷相应位置. 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣1=0},则有() A.1?A B.0?A C.??A D.{0}?A 2. (5 分)已知集合

A={x|﹣1≤x<3},B={x|2<x≤5},则 A∪B=() A.( 2,3 ) B. C.(﹣1,5) D.(﹣1,5] 3. (5 分)全集 U={0,1,3,5,6,8},集合 A={1,5,8 },B={2},则集合(?UA)∪B= () A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{2,1,5,8} D.? 4. (5 分)下列函数是偶函数的是() A.y=x B.y=2x ﹣3
2

C.

D.y=x ,x∈

2

5. (5 分)下列各组两个集合 M 和 N,表示同一集合的是() A.M={π},N={3.14159} B. M={2,3},N={(2,3)} C. M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
2

D.M={x|x +1=0},N=?

2

6. (5 分)函数 y=x ﹣2x,x∈的值域为() A. B. C. 7. (5 分)函数 y= 的定义域( )

D.

A. (﹣2,0)∪(0,+∞) B. (﹣2,+∞) C. (0,+∞) D. 10. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是() A.y=x
3

B.y=﹣x +1

2

C.y=|x|+1

D.y=2

﹣|x|

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.) 11. (4 分)已知集合 A={1,2},则集合 A 的子集个数个.

12. (4 分)已知函数 f(x)=

,则 f=.

13. (4 分)已知 M={x|﹣3≤x≤5},N={x|a≤x≤a+1},若 N?M,则实数 a 的取值范围是.

14. (4 分)2014 -2015 学年高一某班共有 45 人,摸底测验数学 20 人得优,语文 15 人得优, 两门都不得优 20 人,则两门都得优的人数为人. 15. (4 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(﹣∞,0)上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 2 16. (13 分)设集合 A={1,2,3},集合 B={x|x ﹣1=0}. (1)求 A∩B; (2)若全集 U={1,2,3,4,﹣1},求?U(A∪B) . 17. (13 分)设集合 A={x|x ﹣8x+15=0},B={x|ax﹣1=0}. (1)若 a= ,判断集合 A 与 B 的关系; (2)若 A∩B=B,求实数 a 组成的集合 C. 18. (13 分)已知 f(x)=ax +bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1 (1)求 f(x)的表达式; (2)求 f( 的值.
2 2

19. (13 分)已知函数 f(x) = (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. (3)利用定义证明函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性. 20. (14 分)定义在实数 R 上的函数 y=f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣4x +8x﹣3. (Ⅰ)求 f(x)在 R 上的表达式; (Ⅱ)求 y=f(x)的最大值,并写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明) . 21. (14 分)已知函数 f(x)=x +mx﹣4 在区间的两个端点取得最大值和最小值, (1)求 m 的取值范围; (2)试写出最大值 y 关于 m 的函数关系式; (3)最大值 y 是否存在最小值?若有,请求出来;若无,请说出理由.
2 2

福建省漳州外国语学校 2014-2015 学年高一上学期第一 次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在答题卷相应位置. 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣1=0},则有() A.1?A B.0?A C.??A D.{0}?A 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 化简集合 A,然后针对选项选择正确答案. 解答: 解:由已知,A={1,﹣1},所以选项 A,B,D 都错误,因为 Φ 是任何非空集合 的真子集,所以 C 正确;故选:C. 点评: 本题考查了集合之间的关系;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 2. (5 分)已知集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2<x≤5},则 A∪B=() A.( 2,3 ) B. C.(﹣1,5) D.(﹣1,5] 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由集合 A 与 B,求出 A 与 B 的并集即可. 解答: 解:∵集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2<x≤5}, ∴A∪B={﹣1≤x≤5}=. 故选:B 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 3. (5 分)全集 U={0,1,3,5,6,8},集合 A={1,5,8 },B={2},则集合(?UA)∪B= () A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{2,1,5,8} D.? 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 利用补集的定义求出(CUA) ,再利用并集的定义求出(CUA)∪B. 解答: 解:∵U={0,1,3,5,6,8},A={ 1,5,8 }, ∴(CUA)={0,3,6} ∵B={2}, ∴(CUA)∪B={0,2,3,6} 故选:A 点评: 本题考查利用交集、并集、补集的定义求集合的并集、交集、补集. 4. (5 分)下列函数是偶函数的是() A.y=x 考点: 偶函数. B.y=2x ﹣3
2

C.

D.y=x ,x∈

2

专题: 计算题. 分析: 根据偶函数的定义“对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都满足 f (x)=f (﹣x) , 则函数 f(x)为偶函数”进行判定. 解答: 解:对于 A,f(﹣x)=﹣x=﹣f(x) ,是奇函数 对于 B,定义域为 R,满足 f(x)=f(﹣x) ,是偶函数 对于 C,定义域为不对称,则不是偶函数 故选 B. 点评: 本题主要考查了偶函数的定义,同时考查了解决问题、分析问题的能力,属于基础 题. 5. (5 分)下列各组两个集合 M 和 N,表示同一集合的是() A.M={π},N={3.14159} B. M={2,3},N={(2,3)} C. M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={x|x +1=0},N=?
2

考点: 集合的相等. 专题: 集合. 分析: 对于 A,∵π≠3.14159,∴,{π}≠{3.14159}对于 B,前者包含 2 个元素,而后者只 含一个元素,是个点. 对于 C,前者是直线 x+y=1 上点的集合,而后者是函数 y=﹣x+1 的值域. 对于 D,求出 P=?,故正确. 解答: 解:∵x +1=0 无解,∴{x|x +1=0}=? 故答案选 D 点评: 本题考查集合的相等的概念属于基础题. 6. (5 分)函数 y=x ﹣2x,x∈的值域为() A. B. C.
2 2 2

D.

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 根据函数 y=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1,x∈,再利用二次函数的性质求得函数的值域. 2 2 解答: 解:∵函数 y=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1,x∈, ∴当 x=1 时,函数 y 取得最小值为﹣1, 当 x=3 时,函数取得最大值为 3, 故函数的值域为, 故选 D. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质应用,属于中档题. 7. (5 分)函数 y= 的定义域() D. 间的元素有

A. (﹣2,0)∪(0,+∞) B. (﹣2,+∞) C. (0,+∞) y 对应,故不满足 M 中元素全部对应出去,故排除①; 其中 C,D 都满足函数对应定义中的两条,故③④都是函数. 故选 C.

点评: 注意,从集合 M 到集合 N 的函数,N 中元素不一定在 M 中都有元素与之对应,即 函数的值域是 N 的子集.因此②是函数. 10. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是() A.y=x
3

B.y=﹣x +1

2

C.y=|x|+1

D.y=2

﹣|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断每个函数的奇偶性和单调性. 3 解答: 解:A.函数 y=x 为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,所以 A 不合适. 2 B.函数 y=﹣x +1 为偶数,但在(0,+∞)上单调递减,所以 B 不合适. C.函数 y=|x|+1 为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,所以 C 合适. D.函数 y=2 为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以 D 不合适. 故选 C. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 要求熟练掌握常见基本函数的奇偶性和 单调性. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.) 11. (4 分)已知集合 A={1,2},则集合 A 的子集个数 4 个. 考点: 子集与真子集. 专题: 集合. 分析: 根据集合之间的关系,如果 A?B,那么?x∈A,都有 x∈B,由此得到集合 A 的所 有子集; 解答: 解:由已知,A={1,2},它的子集有?,{1},{2},{1,2}共有 4 个;故答案为: 4. n 点评: 本题考查了集合的子集的求法;如果一个集合有 n 个元素,那么它的子集有 2 个, n 真子集有 2 ﹣1 个.
﹣|x|

12. (4 分)已知函数 f(x)=

,则 f=0.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及 应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴f(1)=1﹣2﹣1=﹣2, f=f(﹣2)=2×(﹣2)+4=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用.

13. (4 分)已知 M={x|﹣3≤x≤5},N={x|a≤x≤a+1},若 N?M,则实数 a 的取值范围是. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以根据子集的定义得到区间端点的大小关系,得到本题的答案. 解答: 解:∵M={x|﹣3≤x≤5},N={x|a≤x≤a+1},N?M, ∴﹣3≤a≤a+1≤5. ∴﹣3≤a≤4. 故答案为. 点评: 本题考查了集合的子集定义,本题计算量不大,属于基础题. 14. (4 分)2014-2015 学年高一某班共有 45 人,摸底测验数学 20 人得优,语文 15 人得优, 两门都不得优 20 人,则两门都得优的人数为 10 人. 考点: 集合中元素个数的最值. 专题: 集合. 分析: 用方程思想解题: 设两门都得优的人数是 x 人, 则依据“数学得优人数+语文得优人 数+两门都得优人数+两门都不得优人数=45”列出方程. 解答: 解:如图:

设两门都得优的人数是 x,则依题意得 +(15﹣x)+x+20=45, 整理,得:﹣x+55=45, 解得 x=10, 即两门都得优的人数是 10 人. 故答案为:10. 点评: 本题考查了一元一次方程的应用. 解题关键是要读懂题目的意思, 根据题目给出的 条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解. 15. (4 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(﹣∞,0)上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是{x|x>2 或 x<﹣2}. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,又 f(2) =0, ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 f(﹣2)=f(2)=0, ∴当 x>2 或 x<﹣2 时,f(x)<0, (如图)

即 f(x)<0 的解为 x>2 或 x<﹣2, 即不等式的解集为{x|x>2 或 x<﹣2}, 故答案为:{x|x>2 或 x<﹣2}

点评: 本题主要考查不等式的解集, 利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关 键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 16. (13 分)设集合 A={1,2,3},集合 B={x|x ﹣1=0}. (1)求 A∩B; (2)若全集 U={1,2,3,4,﹣1},求?U(A∪B) . 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)求出 B 中方程的解确定出 B,求出 A 与 B 的交集即可; (2)求出 A 与 B 的并集,找出并集的补集即可. 解答: 解: (1)由 B 中方程解得:x=1 或 x=﹣1,即 B={﹣1,1}, ∵A={1,2,3}, ∴A∩B={1}; (2)∵A={1,2,3},B={﹣1,1}, ∴A∪B={﹣1,1,2,3}, ∵U={1,2,3,4,﹣1}, ∴?U(A∪B)={4}. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 17. (13 分)设集合 A={x|x ﹣8x+15=0},B={x|ax﹣1=0}. (1)若 a= ,判断集合 A 与 B 的关系; (2)若 A∩B=B,求实数 a 组成的集合 C. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)解方程求出 A,将 a= 代入求出 B,可判断集合 A 与 B 的关系; (2)若 A∩B=B,则 B?A,分 B=?和 B≠?两种情况讨论实数 a 的取值可得答案.
2 2

解答: 解: (1)集合 A={x|x ﹣8x+15=0}={3,5}, 若 a= ,则 B={x| x﹣1=0}={5}. 此时 B?A, (2)若 A∩B=B,则 B?A, 当 a=0 时,B=?,符合要求; 当 a≠0 时,B={ }, ∴ =3 或 5,解得 a= 或 , 故实数 a 的组成的集合 C={0, , } 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 18. (13 分)已知 f(x)=ax +bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1 (1)求 f(x)的表达式; (2)求 f( 的值.
2

2

考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) 由f (0) =0, 得 c=0, 根据 f (x+1) =f (x) +x+1, 得出 ax + (2a+b) x+a+b=ax + (b+1)x+1,利用系数相等,得出方程组,解出即可; (2)由(1)得函数的表达式,将 x= 代入求出函数值即可. 解答: 解: (1)由 f(0)=0,得 c=0, ∴f(x)=ax +bx, 又 f(x+1)=f(x)+x+1, 2 2 ∴ax +(2a+b)x+a+b=ax +(b+1)x+1,
2 2 2



,解得:



∴f(x)= x + x, (2)由(1)得:f( )= ×2+ =1+ .

2

点评: 本题考查了求函数的解析式问题,考查了求函数值问题,是一道基础题.

19. (13 分)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. (3)利用定义证明函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性. 考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的判断.

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由分母不为 0,得出定义域的范围; (2)根据函数的奇偶性的定义进行判断; (3)设;?1<x1<x2,得出 f(x1)< f(x2) ,从而求 出函数的单调性. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域是: (﹣∞,0)∪(0,+∞) ; (2)∵定义域关于原点对称, 又 f(﹣x)= ∴f(x)是奇函数; (3)设;1<x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=x1+ ﹣(x2+ )=(x1﹣x2) (1﹣ ) , =﹣ =﹣f(x) ,

∵1<x1<x2,∴x1﹣x2<0,1﹣

>0,

∴f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)在(1,+∞)上的单调递增. 点评: 本题考查了函数的定义域问题, 函数的奇偶性问题, 考查了利用定义法证明函数的 单调性问题,是一道中档题. 20. (14 分)定义在实数 R 上的函数 y=f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣4x +8x﹣3. (Ⅰ)求 f(x)在 R 上的表达式; (Ⅱ)求 y=f(x)的最大值,并写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明) . 考点: 函数奇偶性的性质;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)先根据函数的奇偶性以及 x≥0 的解析式求出 x<0 的解析式,因为函数定义 在 R 上,所以函数是分段函数, 写出各段的解析式,用大括号连接即可. (Ⅱ)先根据(Ⅰ)中所求函数解析式,求出函数在每段上的最大值,其中最大的就是函数 f(x)的最大值,再由函数两段上的图象都是开口向下的抛物线,结合对称轴就可求出函数 的单调区间. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)设 x<0,则﹣x>0,∴f(﹣x)=﹣4(﹣x) ﹣8x﹣3=﹣4x ﹣8x﹣3. 2 又∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(﹣x)=﹣4x ﹣8x﹣3. ∴f(x)= (Ⅱ)当 x≥0 时,f(x)=﹣4x +8x﹣3,图象为对称轴是 x=1,开口向下的抛物线,当 x=1 时 f(x)有最大值为 1 2 当 x<0 时,f(x)=﹣4x ﹣8x﹣3,图象为对称轴是 x=﹣1,开口向下的抛物线,当 x=﹣1 时 f(x)有最大值为 1 ∴f(x)的最大值是 1. 函数单调增区间为(﹣∞,﹣1],和,单调减区间为,和的两个端点取得最大值和最小值, (1)求 m 的取值范围;
2 2

(2)试写出最大值 y 关于 m 的函数关系式; (3)最大值 y 是否存在最小值?若有,请求出来;若无,请说出理由. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)由函数 f(x)=x +mx﹣4 在区间的两个端点取得最大值和最小值,可知区间 是单调区间,所以函数对称轴 ≤2,或者 ≥4,得到 m 的取值范围;

(2)由(1)可知函数的最大值为 f(2)或者为 f(4) ,列出关系式; (3)由(2)的关系式求最小值,观察是否存在. 2 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=x +mx﹣4 在区间的两个端点取得最大值和最小值, ∴对称轴 ≤ 2,或者 ≥4,解得 m≥﹣4,或者 m≤﹣8;
2

(2)由(1)可得,m≥﹣4 时,函数 f(x)=x +mx﹣4 在区间是增函数,∴最大值为 y=f (4)=12+4m; 2 m≤﹣8 时,函数 f(x)=x +mx﹣4 在区间是减函数,∴最大值为 y=f(2)=2m; ∴最大值 y 关于 m 的函数关系式 y= ;

(3)由(2)可知最大值 y 不存在最小值;因为 m≤﹣8 时,y=2m≤﹣16,没有最小值. 点评: 本题考查了二次函数的闭区间是最值的问题, 当二次函数解析式和区间有一个含有 参数时,要讨论会上的对称轴与区间的位置关系,明确区间的单调性,才能利用最值解题.


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