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扬州市2016-2017学年度高三第一学期期末测试数学试题答案


2016-2017 学年度高三第一学期期末测试

数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案 2017.1
一、填空题 1. {?1,0} 6. 2. 0 7. 8
2 2

3. 200 8.
4 3 3

4. ? 15 9. y ? ?
3 x 3

5. 2 3 10.
3?2 2 6

1 3

11.

12. 48

13. 7 ?

2 3

14. [16, 20]

15.⑴因为 AB?AC ? AB ? AC ? cos A ? ?18 ,且 AB ? 6 , AC ? 3 2 ,

??? ? ??? ?

BC = AB 2 ? AC 2 - 2 AB ? AC ? cos A = 62 ? (3 2) 2 - 2 ? (?18)=3 10 . ---------------6 分
⑵方法一:在 ?ABC 中, AB ? 6 , AC ? 3 2 , BC =3 10 ,

BA2 ? BC 2 - AC 2 62 ?(3 10)2 -(3 2)2 3 10 , cos B= = = 2BA ? BC 10 2 ? 6 ? 3 10
又 B ? (0,? ) ,所以 sin B = 1 ? cos B =
2

--------------------9 分

sin B 1 10 ? ,-------------11 分 ,所以 tan B ? cos B 3 10

2 2 tan B 3 = 3 ? . 所以 tan 2 B ? 2 1 - tan B 1 ? ( 1 )2 4 3
??? ? ??? ?

---------------------14 分

方法二:由 AB ? 6 , AC ? 3 2 , AB?AC ? AB ? AC ? cos A ? ?18 可得 cos A= ? 又 A ? (0,? ) ,所以 A ?

2 , 2

3? . 4
3 2?

---------------------8 分

BC AC AC ? sin A ? ? 在 ?ABC 中, ,所以 sin B ? sin A sin B BC
又 B ? (0,

2 2 ? 10 ,-----------10 分 10 3 10

?
4

) ,所以 cos B= 1 ? sin 2 B =

sin B 1 3 10 ? , ,所以 tan B ? cos B 3 10

2 2 tan B 3 = 3 ? . 所以 tan 2 B ? 2 1 - tan B 1 ? ( 1 )2 4 3
所以 EF∥AB, 又 AB ? 面 PAB,EF ? 面 PAB,所以 EF∥平面 PAB.
数学试题答案 第 1 页(共 8 页)

---------------------14 分

16. (1) 证明: 因为点 E、 F 分别是棱 PC 和 PD 的中点, 所以 EF∥CD, 又在矩形 ABCD 中, AB∥CD, ---------------------3 分 ---------------------6 分

⑵证明:在矩形 ABCD 中,AD⊥CD,又平面 PAD ? 平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 面 ABCD,所以 CD ? 平面 PAD, 又 AF ? 面 PAD,所以 CD ? AF.① 因为 PA=AD 且 F 是 PD 的中点,所以 AF ? PD,② 由①②及 PD ? 面 PCD,CD ? 面 PCD,PD∩CD=D,所以 AF ? 平面 PCD. -----------------14 分 17.⑴方法一:在 ? PME 中, ?EPM ? ? ,PE=AE-AP=4 米, ?PEM ? 由正弦定理得 ---------------------10 分

?
4

, ?PME ?

3? ?? , 4

PM PE ? , sin ?PEM sin ?PME
---------------------2 分

所以 PM ?

PE ? sin ?PEM 2 2 4 ? ? , 3? sin ?PME sin ? ? cos ? sin( ? ? ) 4
PN PE ? , sin ?PEN sin ?PNE

同理在 ? PNE 中,由正弦定理得

所以 PN ?

PE ? sin ?PEN 2 2 2 2 ? ? , ? sin ?PNE sin( ? ? ) cos ? 2
1 4 PM ? PN ? sin ?MPN ? 2 2 cos ? ? sin ? cos ?

- --------------------4 分

所以 ? PMN 的面积 S ?

?

1 ? cos 2? 1 ? sin 2? 2 2

4

?

8 8 , ? ? sin 2? ? cos 2? ?? 2 sin(2? ? ) ?? 4

--------------------8 分

当 M 与 E 重合时, ? ? 0 ;当 N 与 D 重合时, tan ?APD ? 3 ,即 ?APD ? 所以 0 ? ? ?

5 3? 5 ? , ,? ? 4 4 4

3? 5 ? . 4 4

综上可得: S ?

8

2 sin(2? ? ) ?? 4

?

, ? ? ?0,

? 3? 5 ? ? . ? 4 4? ?

---------------------10 分

方法二:在 ? PME 中, ?EPM ? ? ,PE=AE-AP=4 米, ?PEM ?

?
4

, ?PME ?

3? ? ? ,由正弦 4

定理可知:

ME PE ? , sin ? sin ?PME

所以 ME ?

PE ? sin ? 4sin ? 4 2 sin ? ? ? , 3 ? sin ?PME sin( ? ? ) sin ? ? cos ? 4
NE PE ? , sin ?EPN sin ?PNE
数学试题答案 第 2 页(共 8 页)

---------------------2 分

在 ? PNE 中,由正弦定理可知:

PE ? sin(? ? ) 4sin(? ? ) 4 ? 4 ? 2 2(sin ? ? cos ? ) ,---------------------4 分 所以 NE ? ? cos ? cos ? sin( ? ? ) 2
所以 MN ? NE ? ME ?

?

?

2 2 , cos ? ? sin ? cos ?
2

又点 P 到 DE 的距离为 d ? 4sin 所以 ? PMN 的面积 S=

?
4

?2 2,

---------------------6 分

1 4 4 MN ? d ? ? 2 2 cos ? ? sin ? cos? 1 ? cos 2? ? 1 sin 2? 2 2
---------------------8 分

?

8 8 , ? ? sin 2? ? cos 2? ?? 2 sin(2? ? ) ?? 4

当 M 与 E 重合时, ? ? 0 ;当 N 与 D 重合时, tan ?APD ? 3 ,即 ?APD ? 所以 0 ? ? ?

5 3? 5 ? , ,? ? 4 4 4

3? 5 ? . 4 4

综上可得: S ?

8

2 sin(2? ? ) ?? 4
即? ?

?

, ? ? ?0,

? 3? 5 ? ? . ? 4 4? ?

---------------------10 分

⑵当 2? ?

?
4

?

?
2

?

8 ? 3? 5 ? ? 8( 2 ? 1) .---------13 分 ? ?0, ? ? 时, S 取得最小值为 8 ? 4 4? 2 ??
---------------------14 分

所以可视区域 ? PMN 面积的最小值为 8( 2 ?1) 平方米. 18.(1)由 P 在圆 O : x2 ? y 2 ? b2 上得 b ? 3,

(?4) 2 (?1) 2 ? 2 ? 1, 解得 a2 ? 18, 又点 Q 在椭圆 C 上得 2 a 3

x2 y 2 ? 1. ? 椭圆 C 的方程是 ? 18 9
? y ? kx ? b 2kb (2)由 ? 2 得 x ? 0 或 xP ? ? 2 2 1 ? k2 x ? y ? b ?
? y ? kx ? b 2kba2 ? 由 ? x2 y 2 得 x ? 0 或 xQ ? ? 2 2 a k ? b2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

--------------------------------------5 分

--------------------------------------7 分

--------------------------------------9 分

??? ? ??? ? ??? ? 3 ???? ? AP ? ? PQ , ? ? 3 ,? AP ? AQ , 4

?

2kba2 3 2kb a2 3 1 即 ? ? ? ? k 2 a 2 ? b2 4 1 ? k 2 a 2 k 2 ? b2 4 1 ? k 2

?k 2 ?

3a2 ? 4b2 ? 4e2 ? 1 a2

数学试题答案 第 3 页(共 8 页)

? k 2 ? 0 ? 4e2 ? 1 ,即 e ?

1 ,又 0 ? e ? 1 2
--------------------------------------16 分

1 ? ? e ? 1. 2
19. (1)因为 An ? n 2 , ,所以 an ? ? 即 an ? 2n ? 1

1, n ? 1 2 ?n ? (n ? 1) , n ? 2 ?
2

--------------------------------------2 分

1 故 bn?1 ? bn ? (an ?1 ? an ) ? 1, 2
所以数列 {bn } 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列,

1 1 3 所以 Bn ? n ? 2 ? ? n ? (n ? 1) ? 1 ? n2 ? n 2 2 2

--------------------------------------4 分
bn ?1 ? 2, bn

(2)依题意 Bn?1 ? Bn ? 2(bn?1 ? bn ) ,即 bn?1 ? 2(bn ?1 ? bn ) ,即

所以数列 {bn } 是以 b1 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 an ? Bn ? 所以
bn ?1 2n ? n an an ?1 b1 (2 ? 1) ? (2n ?1 ? 1)

1 ? 2n ? b1 ? b1 (2n ? 1) , 1? 2

--------------------------5 分

因为

bn ?1 b1 ? 2n 1 1 1 ? ? ( ? ) an an ?1 b1 (2n ? 1) ? b1 (2n ?1 ? 1) b1 2n ? 1 2n ?1 ? 1

--------------------------8 分

所以

b b 1 1 1 1 b2 b 1 1 1 ? n ?1 ) ? 恒成立, ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? ( 1 ? n ?1 ) ,所以 ( 1 b1 2 ? 1 2 ? 1 3 a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1 b1 2 ? 1 2 ? 1

即 b1 ? 3(1 ?

1 ) ,所以 b1 ? 3 。 2n?1 ? 1

--------------------------------------10 分

(3)由 an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ) 得: an?1 ? an ? 2n?1 , 所以当 n ? 2 时, an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2n ? 2n ?1 ? ? ? 23 ? 22 ? 2 ? 2n ?1 ? 2 ,

当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 An ? 2n? 2 ? 4 ? 2n ,又 Bn ? 2n?1 ? 2 , 所以
An 2n ? 2 ? 4 ? 2n n ? ? 2? n , Bn 2n ?1 ? 2 2 ?1

------------------------------------12 分
A1 As At , , 成等差数列, B1 Bs Bt

假设存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使 等价于 即

1 s t 2s 1 t 成等差数列,即 s , s , t ? 1 ? t 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1

---------------------13 分 ------------14 分

2s t t 2s ,因为 1 ? t ?1? t ? 1,所以 s ? 1 ,即 2s ? 2s ? 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
s

数学试题答案 第 4 页(共 8 页)

令 h(s) ? 2s ? 2s ? 1(s ? 2, s ? N? ) ,则 h(s ? 1) ? h(s) ? 2s ? 2 ? 0 ,所以 h (s) 递增, 若 s ? 3 ,则 h(s) ? h(3) ? 1 ? 0 ,不满足 2s ? 2s ? 1 ,所以 s ? 2 , 代入

2s 1 t 得 2t ? 3t ? 1 ? 0 (t ? 3) , ? 1 ? t 2 ?1 2 ?1 2 ?1
s

当 t ? 3 时,显然不符合要求; 当 t ? 4 时,令 ? (t ) ? 2t ? 3t ? 1(t ? 3, t ? N? ) ,则同理可证 ? (t ) 递增,所以 ? (t ) ? ? (4) ? 3 ? 0 , 所以不符合要求. 所以,不存在正整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使
A1 As At , , 成等差数列. B1 Bs Bt

----------------------16 分

20. 解:(1) g ?( x) ? e x ,故 g ?(1) ? e , 所以切线方程为 y ? e ? e( x ? 1) ,即 y ? ex (2) f ( x) ? e x ? ( x 2 ? ax ? a) , 故 f ' ( x) ? ( x ? 2)( x ? a)e x , 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?a 或 x ? ?2 .
'

---------------------3 分

①当 ?2a ? ?2 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [?2a, ?a] 上递减,在 [?a, a] 上递增, 所以 f ( x)max ? max ? f (?2a), f (a)? , 由于 f (?2a) ? (2a ? a)e
2 ?2 a 2 a , f (a) ? (2a ? a)e ,故 f (a) ? f (?2a) ,

所以 f ( x)max ? f (a) ;

---------------------5 分

②当 ?2a ? ?2 ,即 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [?2a, ?2] 上递增, [?2, ?a] 上递减,在 [?a, a] 上递增, 所以 f ( x)max ? max ? f (?2), f (a)? ,
?2 2 a 由于 f (?2) ? (4 ? a)e , f (a) ? (2a ? a)e ,故 f (a) ? f (?2) ,---------------------7 分

所以 f ( x)max ? f (a) ; 综上得, f ( x)max ? f (a) ? (2a2 ? a)ea ----------8 分

(3)结论:当 k ? 1 时,函数 F ( x) 无零点;当 k ? 2 时,函数 F ( x) 有零点 ------------9 分 理由如下:
2 x ①当 k ? 1 时,实际上可以证明: ex e ? 2ln x ? 2 ? 0 .

方法一:直接证明 F ( x) ? ex e ? 2ln x ? 2 的最小值大于 0,可以借助虚零点处理.
2 x

F ?( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x ?1 ?
因为 F ? ? ? ? e e (

2 2 2 x ?1 ,显然可证 F ?( x ) ? ( x ? 2 x )e ? 在 ? 0, ??? 上递增, x x

?1? ?e?

1

?1

3 ? 1 ? 1 2 1 2 ?1? 5 2 e ? F ? e ?4? 0, , ? ) ? 2 e ? e e ( ? ) ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 e2 e ?2? 4 ? e e ?

所以存在 x0 ? ( , ) ,使得 F ? ? x0 ? ? 0 ,
数学试题答案 第 5 页(共 8 页)

1 1 e 2

所以当 x ? (0, x0 ) 时, F ( x) 递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, F ( x) 递增, 所以 F ? x ?min ? F ? x0 ? ? 2( 而 ? ? x ? ? 2(

1 1 1 ? ln x0 ? 1) ,其中 x0 ? ( , ) , e 2 x0 ? 2

1 3 ?1? ? ln x ? 1) 递减,所以 ? ? x ? ? ? ? ? ? 2(ln 2 ? ) ? 0 , x?2 5 ?2?
---------------------14 分

所以 F ? x ?min ? 0 ,所以命题得证。 方法二:转化为证明 e 令 p ? x? ? e

e x 2(ln x ? 1) ? ,下面分别研究左右两个函数. x x3

ex 2 ,则可求得 p ? x ?min ? p ?1? ? e , x

? ?2 ? 2 2 2(ln x ? 1) 3 令 q ? x? ? ,则可求得 q x ? q e ? ? ? ? ? e ,所以命题得证。----------14 分 max x3 ? ? 3
方法三:先放缩,再证明. 可先证明不等式 e x ? ex (参考第 1 小题,过程略) ,所以只要证 e2 x3 ? 2ln x ? 2 , 令 p ? x ? ? e x ? 2ln x ? 2 ,则可求得 p ? x ?min
2 3

? 2 1 ? 2 3 ? p ? ( 2 ) 3 ? ? ln ? 0 , ? 3e ? 3 2
--------------14 分

所以命题得证.
2 x ②当 k ? 2 时, F ( x) ? ex e ? 2k (ln x ? 1) ,

此时 F ? ? ? 下面证明 F e
x

?1? ?2?

k 1 3 1 3 e 2 ? 2k (1 ? ln 2) ? e 2 ? 4(1 ? ln 2) ? 0 , F ? ek ? ? ee ? 2 k ?1 ? (2k 2 ? 2k ) , 4 4

? ? ? 0 ,可借助结论 e
k

x

? x2 ( x ? 2) 处理,首先证明结论 e x ? x2 ( x ? 2) :
x x

令 ? ? x ? ? e ? x ,( x ? 2) ,则 ?? ? x ? ? e ? 2x ,故 ??? ? x ? ? e ? 2 ? 0 ,
2

所以 ?? ? x ? ? e ? 2x 在 [2, ??) 上递增,所以 ?? ? x ? ? ?? ? 2? ? 0 ,
x

所以 ? ? x ? ? e ? x 在 [2, ??) 上递增,所以 ? ? x ? ? ? ? 2? ? 0 ,得证。
x 2

借助结论得 ee 所以 F e
k

k

?2k ?1

? ek

2

?2k ?1

? (k 2 ? 2k ?1)2 ? (k ?1)4 ? (k ?1)(k ?1)3 ? 2k (k ?1) ,

? ? ? 0 ,又因为函数 F ( x) 连续,
?1 ?2
k

所以 F ( x) 在 ? , e ? 上有零点.

? ?

---------------------16 分

数学试题答案 第 6 页(共 8 页)


21.解:由题意得 ? 所以 A ? ?





题Ⅱ参考答案

?a 1? ?1 ? ? 2 ? ?a ? 2 ? 2 ,解得 ?a ? 4 , , 即 ? ? ? ?? ? ? ? ?b ? 1 ?b 4? ? ?2? ? ?7? ?b ? 8 ? ?7
--------------------5 分

?4 1? ?, ?1 4 ?
? ? 4 ?1 ? ? 2 ? 8? ? 15 , ?1 ? ? 4

所以矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

令 f (? ) ? 0 ,解得 ? ? 5 或 ? ? 3 ,即矩阵 A 的特征值为 5 和 3. ---------------------10 分 22.解:将直线 l 的极坐标方程化直角坐标系方程为 y ? x --------------------2 分

将曲线 C 的参数方程化为普通方程可得: y ? 2 ? x2 (?1 ? x ? 1) --------------------5 分 由?

?y ? x
2 ?y ? 2? x

2 得 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x =1 或 x = ? 2 ,又 ?1 ? x ? 1 ,所以 x =1 ,

所以直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标为(1,1). 注:结果多一解的扣 2 分
3

--------------------10 分

23.解:⑴甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门,共有 4 ? 64 种不同的选法,记“甲、乙、丙

P(M ) ? 三人选择的课程互不相同”为事件 M ,事件 M 共包含 A3 4 ? 24 个基本事件,则
所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为 ⑵方法一: X 可能的取值为 0,1, 2,3 ,
2 C1 27 33 27 3 ?3 P ( X ? 1) ? ? ? , , 3 3 3 64 4 64

24 3 ? , 64 8

3 . 8

--------------------3 分 --------------------4 分

P( X ? 0) ?

2 C3 ?3 9 C3 1 3 P( X ? 2) ? ? ? , P( X ? 3) ? 3 . 3 4 64 4 64

--------------------8 分

所以 X 的分布列为: X 0 1 2 3

9 1 64 64 27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . -------------10 分 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ? 64 64 64 64 4 方法二:甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验, X 为甲、乙、丙三 1 k 1 k 3 3? k 人中选修《数学史》的人数,则 X ? B (3, ) ,所以 P( X ? k ) ? C3 ( ) ( ) , k ? 0,1, 2,3 , 4 4 4 X 所以 的分布列为:

P

27 64

27 64

数学试题答案 第 7 页(共 8 页)

X

0

1

2

3

27 64 1 3 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 3 ? ? . 4 4

P

27 64

9 64

1 64

0 1 1 1 n n n n 24.解:⑴因为 f i ( x)=x i (i ? N) ,所以 Fn(x)? (?1)0 C0 n x ? (?1) Cn x ? ? ? (?1) Cn x ? (1 ? x) ,

所以 F2(1)=0 , 所以 F2017(2)? (1 ? 2)2017 ? ?1 . ⑵因为 f i ( x)=

---------------------1 分 ---------------------3 分

x ( x ? 0,i ? N) , x+ i

n x ? ? 1 1 n n i i ? f ( x ) ? ( ? 1) C f ( x ) ? ? ? ( ? 1) C f ( x ) ? 所以 Fn(x)=(?1)0 C0 0 1 n ? n n n ?(?1) Cn x + i ?(n ? N ) . ? i ?0 ? 1 x ? x 1 ? i ?1? ? ①当 n ? 1 时, Fn(x)= ? ?(?1)i C1 ,所以 n ? 1 时结论成立. ----4 分 ? x+i? x +1 x +1 i ?0 ?

k x ? k! ? ? ②假设 n ? k (k ? N? ) 时结论成立,即 Fk(x)=? ?(?1)i Cik , ? x + i ? ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k ) i ?0 ?
k ?1 k x ? x ? x ? ? k ?1 k ?1 则 n ? k ? 1 时, Fk ?1(x)=? ?(?1)i Cik ?1 =1+? ?(?1)i Cik ?1 ? ? ? (?1) Ck ?1 x + k ? 1 x + i x + i ? ? i ?0 ? i ?1 ?

k k x ? x ? x ? k ?1 ? x ? ? k ?1 k ?1 i i ? 1 ? ? ?(?1)i (Cik + Cik?1 ) ? ( ? 1) C ? ( ? 1) C ? ? ?(?1)i Ci-1 k ?1 ? k k ? ? ? x+i ? x + k ? 1 i ?0 ? x + i ? i ?1 ? x+i? ? i ?1 ?

k ?1 k x ? x ? ? ? ? Fk(x)-? ?(?1)i Cik = Fk(x)-? ?(?1)i-1 Ci-1 k ? x + i x + i ? 1? ? ? i ?1 ? i ?0 ? k x +1 ? x x ? ? Fk(x)-? ?(?1)i Cik ? Fk(x)? Fk(x +1) ? x +1+i ? x + 1 x +1 i ?0 ?

? =

k! k! x ? ? ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k ) ( x ? 2)( x ? 3)?( x ? 1+k ) x +1 ( x ? 1+k )?k !? x?k ! (k +1)! = , ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k )( x ? 1+k ) ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)? ( x ? 1+k )

所以 n ? k ? 1 时,结论也成立. 综合①②可知, Fn(x)=

n! (n ? N? ) . ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? n)

---------------------10 分

数学试题答案 第 8 页(共 8 页)


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