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离散型随机变量的均值


1

(一) 复习引入:
1、 “独立重复试验”的概念 -----在同

样条件下进行的,各次之间相互独立的一种 试验。
特点:
⑴在同样条件下重复地进行的一种试验; ⑵各次试验之间相互独立,互相之间没有影响; ⑶每一次试验只有两种结果,即某事要么发生, 要么不发生,并且任意一次试验中发生的概率 都是一样的。


2

2、二项分布:
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么 在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p), 并称p为成功概率。

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(二)、探究
问题1、某人射击10次,所得环数分别是:1, 1,1,1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均 环数是多少?

1?1?1?1? 2? 2? 2? 3? 3? 4 X? ?2 10
X P 1
4 10

把环数看成随机变量的概率分布列:
2
3 10

3
2 10

4
1 10

4 3 2 1 X ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 10 10 10

4

实例应用

甲、乙两人射击的 概率分布表为:
X(环数) P(概率) y(环数) P(概率) 8 0.4 9 0.5 10 0.1

8 0.5

9 0.2

10 0.3

如何比较两人的射击水平呢?
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1.定义
X
p 则称

一般地,若离散型随机变量X的分布列为 …… …… …… ……

x1 p1

x2 p2

x3 p3

xn pn

EX= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 为X的均值或数学期望.

它体现了离散型随机变量取值的平均水平。
6

问题2 若Y=aX+b,其中a,b为常数,X为随机变量
(1).写出随机变量Y的分布列;(2). 求Y的均值。

解:(1).由题意,知Y也为随机变量,
则 P( Y=aX+b)=P(X= xi)=pi ,i=1,2,3,… 所以,Y的分布列为:

Y P

ax1+b p1

ax2+b p2

…… axn+b ……
pn

…… ……

(2).EY = (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn

=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn)

=a E X+b

即E(a X+b)= a EX+b

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2.离散型随机变量均值的性质:
随机变量的线性组合的均值等于随机变量均值线性组合. 即若两个随机变量X和Y的均值都为有限数,则

E (aX ? bY ) ? aE ( X ) ? bE (Y )
其中a和b为任意实数

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3.若随机变量X服从两点分布, X~B(1,P),那么

EX=0×q+1×p=p ∴EX=p

4.若X~B( n,P),则EX= n P。
证明:如果X~ (n, p),则由k C n ? n C n ?1 , 得 EX ? ? k C n p q
k k k ?0 n n?k k k ?1

? ? np C n ?1 p k ?1q n ?1?( k ?1)
k ?1 k ?1

n

? np? C n ?1 p q
k k k ?0

n ?1

n ?1? k

? np
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(三)、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5

P

0.5

0.3

0.2

(1)则Eξ=

2.4

. 5.8 .

(2)若η=2ξ+1,则Eη=

2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2

Eξ=7.5,则a=

0.1 b=

0.4 .
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(四)、例题探析
例1 篮球比赛中,罚球命中一次得1分,不中得0分,
如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次
的得分X的均值是多少?

解: ? P( X ? 1) ? 0.7, P( X ? 0) ? 0.3 ? EX ? 1? P( X ? 1) ? 0 ? P( X ? 0)

? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7
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变式 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概 率为0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望。
解:(1) X~B(3,0.7)
X P 0 1
3

2
2

3

0.3

C 0.7 ? 0.3
1 3

C 0.7 ? 0.3
2 3 2

0.7

3

1 2 (2) EX ? 0 ? 0.33 ? 1? C3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C3 0.72 ? 0.3 ? 3 ? 0.73

EX ? 2.1 ? 3 ? 0.7

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例2 . 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题
有4 个选项, 其中仅有一个选项正确.每题选对 得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲 选对任意一题的概率为0.9.学生乙则在测验中 对每题都从4个选项中随机 地 选择一个, 求学生甲和学生乙在这单元测验中的成绩的均值。

解:设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数
分别是X1和X2, 则 X ~B(20,0.9),X ~B(20,0.25) 1 2

EX1=20X0.9=18, EX2=20X0.25=5
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由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中 的成绩分别是5X1和5X2 因此,他们在测验中的成绩的均值分别是

E(5X1)=5EX1=5X18=90
E(5X2)=5EX2=5X5=25

思考:
(1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗?

不一定.他的成绩是一个随机变量, 可能取值为 0,5,10,…95,100 (2) 他的均值为90分的含义是什么?

含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90 分 14

例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,
有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失 10 000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费3 800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2 000元.但围墙只能防小洪水. 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.

试比较哪一种方案好? 解:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失 采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3 800元, 即X1=3 800 采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元; 没有大洪水时,损失2000元,即 ,有大洪水 ?62000 X2 ? ? , 无大洪水 ? 2000 15

采用第3种方案,有
, 有大洪水; ? 60000 ? X 3 ? ?10000 ,有小洪水; ? 0,无洪水 ?

于是,

EX1=3800,

EX2=62000XP(X2=62000)+2000XP(X2=2000) =62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600 EX3=60000XP(X3=60000) +10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0) =60000X0.01+10000X0.25=3100 显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2
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(五)小结
Ⅰ、求随机变量均值的一般步骤: 1、写出X的分布列,在求X取每一个值时,要联系 前一章古典概率的计算; 2、由分布列求EX; 3、如果随机变量是线性关系或服从二项分布, 根据它们的均值公式计算。 Ⅱ、1.离散型随机变量均值的定义和含义; 2.离散型 随机变量均值的性质: E(aX+b)=aE X+b 3.两点分布的均值:若X服从两点分布, 则EX=p

4.二项分布的均值:若X~B( n,P),则EX= n P
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