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第六届中国东南地区数学奥林匹克


20 0 9年第 l 0期 

第六届中国东南地区数学奥林 匹克 
第 一 天 
1 试 求 满足 方程  一2y+16   20 9 . x 2 y =  0  

第 二 天 
5 设 12, , . , … 9的所 有 排 列 X =( ,:    ,  


的所有整数对

( Y .  ,)  

( 张鹏程

供题 )  



粕) 的集 合 为 。 任意 的  ∈  , 对 记 
/ X)= +   +… +   ,    l 2 2 99  

2 在 凸 五边 形 A C E 中 , 知 A = . BD 已 B  
D B E, C=E A A, B≠E 且 B、 D、 四点 共  A, C、 E

M :{( ) ∈A . -X 1 厂   }  

圆. 明 : 证  

、 D 四 点 共 圆 的 充 分 必 要 条  c、 ( 熊 斌 供题)  

求 f fi f   ( 表示集合  的元素个数 )   .  
( 熊 6 如 图 1 已 知  . , o0、o , 分 别 是  △ A C 的外 接 圆 、 B 内  切 圆. 明 : o0上  证 过 的 任 意 一 点 D, 可  都 斌 供题 )  

件是 A A   C= D.

3 设 、、 R+ √ = Y— ) ,6= . Yz∈ ,0  ( z √    
y z  ), c z Y  求证 : (一   √ =(  — ).  


2  +   2 口 +6 + a . +b c I ( 6 c c ) >  

( 立华 唐

供题 )  

4 在一 个 圆周 上 给 定 十 二 个 红 点 . . 求 

的最小值 , 使得存在以红点为顶点的 n个三  角形 , 满足以红点为端点的每条弦 , 都是其中   某个 三角 形 的一条 边 .   ( 陶平 生 供 题 )  

以 作 一 个 △ D F, E  

E 

使 得 o0、 o,分 别 是  △D F E 的外接 圆 、 内切 圆  ( 陶平生

图 1  

供题 )  

即 
J 

= y+ z 2 4.  

1 31  O. .

.  

设 m, +1 … , m , m+2  是 满 足 上 述条 件  的2 n+1个 连续 的 自然数 . 则 
② 

由式①得 
5 2. y= z  

故 Y是 2的倍 数 .   令 Y= n  ∈ N+ . 2( )则 

m +( +1 +… +(   m ) m+n  )


( 凡 1 ( + + ) …+ ,+ 凡  m+ + ) , n 2 +  +   ( 2). n  

令 S =1 2    +  +… +k. U  贝 

+ + 1y - +三y 4 n Y  : 8  Y _ : 3 . 4 . ,  
由 已知得 
1 20:31+28+31+3   0 <4 3n≤3l+28+3l+3 0+3l= 1 . 51 


S  一S l:S  +    


一 S  .  +  

代 人 化简 得 2  + n 一m +n = 即  mn 2 。     0,
m =2   + n.  

因此 。 - z= 3  4 Y+ 4 n=19  2.

又 m≤20 9  0 ≤m + 凡 则  ’ 2,  
2 +n≤ 2 00     9≤ 2凡  +3    .

所 以 ,2 1 9—3 — 8—3 — 0= . 1 2 1 3 9 

于是 , 甲厂 生 产 的产 品 总数 是 乙 厂 的  当 2倍 时 , 当天 的 日期是 20 09年 5月 9 日.  

因此 , = 1 / 3. 7 .  

( 兴国 夏

提供 )  

中 等 数 学 

7设厂 . (  

= ∑ 

( 、 ,   z   圳

D E≠D 所 以 , 、 F,    

F 不 共 点 ,且 △ 
A   △A   肋 BC.
  .

  ‘

且 P ) z 1求f , ,) C , = . ( y  的最大值和最小  ++ 值.   ( 李胜宏 供题 )  
8 在 8×8的 方 格 表 中 , .   最 少需 要 挖 去 几 个 小 方 格 , 才  能使 得 无 法 从 剩 余 的 方 格 表  中裁剪 出一 片 形 状 如 图 2的  完 整 的“ T型” 方连 块 ? 五   图2   供题 )  

又由 A B=D   B E,  
B C=E 知  A。 △  E   △ C . D    
日 

因此, AD △ E 
八 D肼 .  

图3  

故  A D= D A, 4、  、 四点共  E   F 得  、 D 圆, 即点 A 在 △ D F 的 外 接 圆上 , 即 点 4 E 也   在 o0上 . 而 , B、 D 四点共 圆 . 从 A、 C、  

( 文先 孙

参 考 答 案 
第 一 天 
1 设 整数对 ( Y 满足 方程  .  ,)


3 首先证明 : 、 、c .     √ 不能构成 三角形 
的三边 .  

2 y+1 6  一2 0 9 =0, x 2y  0  

由 6 √ 一o √ + c √ =一 Y   ( — ) Y , ( + )    ( )  —  
√ + 口一 6 c √ √ =一  + ( Y ( — )  (  ) — ) Y   ,

将 其看 作关 于  的一 元二 次方 程 , 其判 别式 
△=5 0 4 Y )+ 6 0 ( 一   3  

√ √ 一c a+ 6 √ =一  + ) Y   ( — )  ( Y ( — )z   ,
知 ( + 一 )  + 一 )  + 一 )       (     (      
= ~

的值应 为一 完全 平 方数 .  
若 Y >   则 A< .   4, 0  

( Z (  ) + )? Y+ ) + ( Y  

若 Y <   则 y可取 0, , 3.   4, 2 1 2,       相 应 的 △值 分别 为 806, 3 606,  3 756, 3   356,  3 它们 皆不 为平 方数 .  
因此 , Y =   , 当   4 时 A:5 0 4 Y )+ 6 0 ( 一   3  


[ Y一 ) 一 ( — J (   (  ) P  )  C
≤ 0。  

故2a (b+6 +c)一( +  +c) c   口 b   
=   + + 、    )   + 一     ?  

6为完全 平 方数 .    

若 Y 4Y : , =一 , 4 方程①分别化为 



0 + 一      
≤ 0.  

0 十 一 、        

8 +7 =0. + 8 +7 =0. x      

所 以 , +  +c>2 a n 6   ( b+6 +c ) 1 c 0。  

分别 解得  =1或 7 =一1 一 . , 或 7  综上 , 足原方 程 的全 部整 数对 为  满
( , =( , ,74 , 1 - )(- , 4 . x ) 1 )( , (一 , 4 , 7 一 ) y 4 )  

4设红点集为 A=   ,: … ,。 . . { A, A )    过点  的弦有 1 条 , 1 而任一 个含顶点  A 的三角 形恰 含两 条过 点 4 的弦 , 这 1 条      故 1 过点 A 的 弦至 少 要 分 布 于 六 个 含 顶 点 4 的     
三角 形 中.  
同理 , 点  ( = , … ,2 的弦 , 各  过 i 2 3, 1 ) 也

2 必要 性. .  

若 4  、 、 四点共 圆, 由 A 、 cD 则 B=D , E 
B C=E 得  A.
B AC=/ ED   AC = DA   A. B   E.

要 分 布于 六个 含 顶 点  的 三 角形 中. 这样 就  需 要 1  6=7 2x 2个 三 角 形 , 每个 三 角形 有  而

所 以 . A C=/ D A   B E  ̄A C= D. A  

充 分 性.  

三个顶点 , 故都被重复计算 了 三次. 因此 , 至 
1 1 

记 日、 D、 所 共 的 圆 为 O 0. A   C、 E 若 C= A 则 圆心 0在 C 的 中垂 线 A D, D H上.   如 图 3 设 点 曰关 于 A 的 对称 点 为 F  , H .
则 点 F在 o0上.  
因为 A B#E , A 即 

少 需要  =2 三角 形 . 4个  
J 

接 下来 证 明 : 界 2 下 4可 以被 取 到.   不失一般性 , 图 4 考虑周长 为 1 如 , 2的 

圆周 , 1 分 点 为 红 点 , 其 2等 以红 点 为端 点 的 

20 0 9年第 1 0期 

2  9

弦共 有 c =6   6条. 某  若
弦所 对 的 劣 弧 长 为  , 就 

这样共得 到 2 4个 三 角 形 , 满 足 本 题  且
条件 .  

称该 弦的刻 度 为 . 于是 ,   红 端 点 的 弦 只 有 六 种 刻  度 , 中, 其 刻度 为 l2, , , …  5的 弦各 l 2条 , 刻度 为 6  
的弦共 6条 .   如果 刻度 为 、 、 ( 6 c 口≤6 ) 弦 构 成  ≤c 的 三角形 的 j条边 , 必 满 足 或 者 r+6=c或  则 z 者 0+ C=1 6+ 2两条 件之 一 .  
圈4  

因此 , n的最 小值 为 2 . 4 

第 二 天 
5 一 般地 证 明 : n 4时 , 于前 几个  . 当 / > 对 正整 数 12 … , , , n的所 有 排 列 X  =( , ,      


,  

) 构成 的集合 A, 若  l  )= +   +… +, , 厂 (  j 2 2     M ={( l ∈A ,   - 厂  )   }  

于是 , 点 j角 形 边长 的刻度 组 只 有 l  红 2
种 可能 :  
( 6 c  口, ,)


则 

I  =

。  

下面 用数 学归 纳法 证 明 :  


( , ,) ( ,,) ( ,,) ( ,,) 1 12 ,224 ,3 36 , 255 ,   ( , ,) ( , ,) ( , ,) ( , ,)  12 3 , 13 4 , 14 5 , 15 6 , ( , ,) ( , ,) ( , ,) ( , ,) 2 3 5 ,2 46 ,3 4 5 ,4 4 4 .  

{  


,  

n n+1 ( n+1 1 ( )2 )  ’   6   』  ’

下 面是 刻度组 的一种 搭配 :  
取 ( , ,) ( , ,) ( , , ) 各 六  123 、 156 、 235 型

当 凡= 4时 , 由排序 不 等 式 知 , 集合  中  的最小 元 素是 厂 { 32 1):2 , 大元 素  ( 4,,, ) 0最
是  { , , , )= 0 1 2 3 4) 3 .  
又  { ,,,) = 1 { ,,,) = 2  3421 ) 2 , 34 12 ) 2 ,  

个 ,4,,) 四个 , 时 , 好 得到 6 ( 44 型 此 恰 6条 弦 ,   且其 中含 刻度 为 12, , 弦 各 l , … 5的 2条 , 刻  度 为 6的弦共 6条 .   现 构 造 如 下 : 作 ( ,,) ( ,,)  先 123 、 15 6 、 ( ,,) 的j 角 形 各 六 个 ,44,) 的 三  235 型 (, 4型 角形 i 个 , 用 一 个 ( , 6 型 的 三 角 形 来  再 24,)
补充 .   ( , 3 型 六个 : 12,) 其顶 点标 号 为 
{ 3 5 ,4 5, ) { , , )  2, , ) { , 7 , 6 7 9 ,
{ , ,1 , l , 1 1 , l 13 ; 8 9 1 ) { 0 l , } { 2, , ) 

{ , , ,} = 3 _ { , , ,) 2 , 4 2 13 ) 2 , ( 2 3 4 1 )= 4  厂

I { ,,,) = 5 D { ,,,J 2 , 厂 24 13 ) 2 , ( 1432 )= 6  ( 厂 l { , , ,) = 7 . { , , , ): 8  厂 14 2 3 ) 2 。 ( 2 14 3 ( 厂   2,
. { ,, 3 ) 2 , 厂 124,) = 9  (

I {o2 , 3 } f 1 = : 2 , …,  ̄ i 1   1 o  
元素.  

个 

因此 , n= 当 4时 , 命题 成立 .  

( , ,) 15 6 型六个 : 其顶点标 号为 
{ ,, ){ ,,){ 6 1 ) 12 7 , 3 4 9 ,5, ,1 ,   { , , ) { 1  ) { 1 1 , ) 7 8 1 ,9,0 3 , 1 ,2 5 ;  

( , 5 型六 个 : 顶点 标 号为  2 3,) 其
{ , 1 ) { 6 1 ,6, . ) 2 4,1 ,4, , 】 { 8. , 3   { ,0, ) { 0 1 , ) { 2 2. ) 8 1 5 , 1 ,2 7 , 1 , 9 ;  

假设命题在 凡 1 n 5 时成立. 一 (I ) > 考虑命  题 在 凡时 的情 况 .   对 于 12 … , , , n一1的任 一排 列 / = 一 Y     ( ,2 … , 1 , 取  = 得 至  , … ,  l , : ) 恒    一  , 0 2,   1
的 一个 { 歹  , , , j U   …  # ,. 0 n 贝 

( 44 型三 个 : 顶点 标号 为  4,,) 其
{ ,,){ 6 1 ){ , 1 ) 1 5 9 ,2, ,0 ,3 7,1 ;    

∑  =  ∑ k . n+ x   
由 纳假 归 设知, ∑  取遍区   此时, 问

( ,,) 2 46 型三个 : 其顶点标号为 
{ 6 1 ) { 1 , ) (2, , } 4, ,2 ,8,0 4 , 1 2 8 .  

[+ n旦 2   


,   n旦 2一 +=
’   6  

]  
J  



( 每种情况下 的其余三角形都可 由其 中  个 .角形绕 网心 适 当旋转 而得 .  = 三 )

『  ±   i   ( ±)  i: )  ± 2    1  
6  

一l  

中 等 数 学 

内的所有整 数.  

延长 0 交 o0于 点 M、 则  , Ⅳ.
( + ( —d   矗) R )=1 ? V: I? I R , M   A K =2 r  
即 R  一d  =2 . Rr  

令  =1则  .

∑k = + x n ∑   
: +    
;  

过点 D分别作o, 的切线 D 、 F 点 E  ED , 、
F在 o 0上 , 结 E . 联 F 则  平 分  E F  D . 接 下来 只须 证 明 : 也 与o,   相切 .  
1. )   取遍 区 间 

(  
+  

1   )+
(  

设 D No0=P 则 P是 弧E 的 中点 , I  . F 联 
结P . E 则 
眦 =2 i   Rsn D


再 由归 纳假设 知 .  

DI=  
m  

,  

[   +   , 血  )  



,   】 l   ,   ]  
, 以, 所  
0  

I I I I D? P= M? N=( d ( d R _ 2 R+ ) R— )= 2 d.  

故  =  

=_ d 一 R _2 2

[  
≥  
O  

s譬 i  n



2Rsn — 1 D  ‘ :PE.  

内的所有 整 数.  

由于点 , 在  F E 的平分 线上 , D 易知 , 是 
因  / D F的 内心 ( 是 由于  P I   PE =  ̄E 这 E= I  

取遍 区间 

『 翌  2 璺± 2 i  2  ± :  ! ±   兰   ±   翌  ! I 1 1  
【   6   ’   6   J  

÷1。 P   1 ̄ F   (o  )1 8- ) 8一 : (o ̄ :
而  P ,:     , 故  聊 :   ) .   因此 , 肼 与o, 切 . 弦 相  

,  

内 的所有 整数 .  

于是 , 题对 n也成立 . 命  
由数 学归 纳法 知 , 命题 成立 .  
又 
一  

7 先 明 / 导 当 仅  = = . 证 :≤ ,且 当 y z 首  


一  
旦  6 ’  
, 

÷ , 成. 时等 立 号  
注 意到 



则集合  的元素个数为 

.  

一2 1  3 =- ∑  +3v‘①      +v  12 1 Y + _   .  +   


特别土 . n 9时. l 眠 f 11 }当 : f 1   f :f : 2 .  
6 如 图 5 设 O  . , ,


由柯 西不 等 式得 

d R、r分 别 是  .
‘ 

△A C B 的外 接 圆 、 内 
切 圆的半 径 , 长 4   延 , 交 O0于点 K 则  .
KI=KB  2Rsn i A

,  

又∑  1 +y = ( +y   (+ 3) ∑  2 4 +) x
K  E 

图5  

∑ ≤,  ÷  
则∑ 
故 


≥     2  =    ,≤ 一 ×  .

= 1 当且仅当 = = = , 等    y z 3H , I

20 0 9年第 1 0期 
号 成立 .  
一 一

兰    ±
1+z+3    ’

其次证 明: 0 当 = , = :   ,   1Y z 0时 , 等 
号成 立 .  

即式③成立. 从而 , 0   .   故. : , 厂 m 0 当  =1 Y= 0时 , 号  , z= 等
成立 .  

证 法 1 事 实上 , :  

f, ∑ ( = 毫  x y
= x y

8 至少要 在 图 6中挖 去 1 . 4个小 方格 .  

( 志

一  

)  



 



 

(   + y ( Y+ z  1+ 3 ) 1+ 3 )
3 0.  

故 f  =0 当  =1 Y:z=0时 , 号  m , , 等
成立 .  

圈 匿 
图6  

如 图 7, 8×8棋 盘 分 割 为 五个 区 域 . 将  
中央部 分 的 区域 至 少 要 挖 去 两 个 小 方 格 , 才 

证 法 2 设 =mn{ _z. : i  ,,)若 = 则  y 0,
xy0   , , )=
:   一

一  

能 使 T形 的五方 块 放 不 进 去 . 两个 打叉 的位 

』   :0 2 +4y     +2v   .  

置是不等同的位置 , 一个在角落位置 , 另一个  在 内部位 置 , 挖 去其 中一 个 无 法 避 免 T形  只
置 入。  

下设 、 ≥z 0  y >.

由式①要证_ 0 只要证  厂 , ≥

下 面证 明 : 于 在边 界 的 四个 全 等 的 区  对 域, 每个 区域 至少 要 挖 去 3个 小 方 格 才 能使 
  ② T形 的五 方块 放不 进去 .  

∑   ≤. 吉  注 到 = + +Y   意 寺 2 4  . 土 y x
于是 , 式②等价于 
曼   1 +z+3  

如 图 8 以 右 上 角 的  , 区域 为例 , 方 T形 部分  下
必 须挖 去 1个 小 方 格 , 上 

方 部 分 必 须 挖 去 打 叉 的  位置的 1 个小 方格 .   下方 T形部 分挖 去 1  
图8  

≤ 一 )南 一 : 个 小方 格有 五 种情 况 , 挖 去 如 图 9打 叉 位  ( 南 + 南 ) 南 (   若 置 的小方 格 , 可再 置人 一 片 T形 的五方 块 ; 其  2   3 ++/   ( + +  3’ +I  。 y z 1 y1 )     +   ,   余情况均可再置人一 片 T形的五方块 (   如图
=  

4 y

即 

≤  
而 由柯 西不 等式 得 


+  



③ 

1) 0 ,因此 , 少要 挖去 3个 小方 格 . 至  

J- ~



8  y

 

1+ +3   1+y+3     y z

= 一
一  

:  

+ ———£—— 上—— —:—    —— ——一 — ( —  2  
( 1 +  
— 一

(  + y    + 3 )’

瞎 圈 
图9   图 1  0

)  
 

≥ —





 

(   +3y 2 (   +3z   + x )+ Y+ y)

综合所有 区域 , 对于 T形的五方块至少  要挖 去 3× 2:1 小方 格 . 4+ 4个   ( 陶平 生 提供 )  


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