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高三数学综合测试题四


82

数 学 通 讯               2002 年第 2 ,4 期

高三数学综合测试题 ( 四)
裴光亚
( 武汉市教研室 , 湖北   武汉   430030)

   选择题   本大题共 12 小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项

是符合题 目要求的 . (    ) 1  若 a = sin28° , b = cos28° , c = tg28° ,则 ( A) a < b < c.   (B) a < c < b. ( C) c < a < b.   ( D) b < a < c. 2  正方体 A B CD2A 1 B 1 C1 D1 中 , EF 是异面直线 A C ) 和 A 1 D 的公垂线 , 则直线 EF 和 D1 B 是 (    ( A) 两异面直线 .  (B) 两平行直线 . ( C) 两相交但不垂直的直线 . ( D) 两相交且垂直的直线 . π 3  ( 理科做) 极坐标平面内 , 定点 P ( 1 , ) 到曲线 ρ 2 θ上的点的最短距离为 (    ) = 2cos ( A) 1 .  (B) 5 - 1 .  ( C) 2 - 1 .  ( D) 2 .
( 文科做) 已知点 A ( 0 , 1) , 点 P 是圆 x 2 + y 2 - 2 x ) = 0 上任意一点 , 则距离| A P| 的最小值是 (    ( A) 1 .  (B) 5 - 1 .  ( C) 2 - 1 .  ( D) 2 .

π (    ) 的根是 x 2 , 则 x 1 + x 2 = 2 π π π ( A) .  (B) .  ( C) .  ( D) π. 8 4 2 π α 2 ( 文科做) 设 ctgα = ( π < α < 3 ) , 则 cos 的 4 2 2 (    ) 值为
arcsin x = 3 3 3 3 .  (B) .  ( C) .  ( D) . 2 2 3 3 8  一栋 12 层楼房备有电梯 , 第 2 层至第 6 层电梯 ( A) -

不停 . 在一楼有 3 人进了电梯 , 其中至少有 1 人 要上 12 楼 , 则他们到各层楼的可能情况有
(    )

( A) 729 种 .    (B) 216 种 . ( C) 120 种 .    ( D) 91 种 . 9  若不等式 ( x - 1) 2 < log a x 在 x ∈( 1 , 2) 上恒成立 ,

则 a 的取值范围是 ( A) ( 0 , 1) .    (B) ( 1 , + ∞ ).
( C) ( 1 , 1) . 2 ( D) ( 1 , 2 ].

(    )

4  设 F1 , F2 是椭圆 C 的两焦点 , 在椭圆 C 上存在

一点 P , 使 ∠PF1 F2 = 30° , ∠PF2 F1 = 60° , 则该椭 (    ) 圆的离心率是
3 2 .  (B) 3 - 1 .  ( C) .  ( D) 2 - 1 . 2 2 5  已知 i 是虚数单位 , f ( z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 ( A) 2 = 1- i ( A) - 8 + i .   (B) - 8 - i . ( C) 8 + i . ( D) 8 - i . + z5 ,则 f
(    )

10   已知函数 y = sin x + acos x 的图象关于 x =

π 5 3 对称 , 则函数 y = asin x + cos x 的图象关于直线
(    )

π 2 对称 .   (B) x = π 对称 . 3 3 11 ( C) x = π 对称 . ( D) x =π 对称 . 6 11   已知点 A ( 1 , 0) , B ( 1 , 2 ) , 将线段 OA , A B 各 n
( A) x =

6  圆锥的侧面展开图是一个半径为 12 的半圆 , 这

等分 , 设 OA 上从左至右的第 k 个分点为 A k ,
A B 上从下至上的第 k 个分点为 B k ( 1 ≤k ≤n ) , 过点 A k 且垂直于 x 轴的直线为 l k , OB k 交 l k 于

个圆锥的内切球的体积是 ( A) 4 3 π. (B) 32 3 π.
( C) 8 3 π.

(    )

( D) 16 3 π. π 7  ( 理科做) 方程 x + sin x = 的根是 x 1 , 方程 x + 2

点 Pk , 则点 Pk 在同一 ( A) 圆上 .      (B) 椭圆上 . ( C) 双曲线上 .    ( D) 抛物线上 .

(    )

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2002 年第 2 ,4 期               数学通讯 12   如图 1 , 在杨辉三角中 , 1) 求二面角 D2A C2B 的正切值 ; 2) 求点 B 到平面 A CD 的距离 . 20  ( 本小题满分 12 分) 设双曲线 C :

83

斜线 A B 上 方 的 数 组 成数列 : 1 , 3 , 6 , 10 , … . 记这个数列前 n 项 的 和为 S ( n) , 则    
n (    ) = n →∞ S ( n) ( A) 1 .   (B) 6 .
3

x y 2 2 =1 ( a a b > 0 , b > 0 ) . 点 P1 , P2 在双曲线 C 上 , 且直线 P1 P2 平行于 x 轴 , M 1 , M 2 是虚 轴 的 两 个 端

2

2

lim

点 . 证明 :直线 P1 M 1 与 P2 M 2 的交点 P 在双曲
图1  第 12 题图

线 C 上.
21  ( 本小题满分 12 分) 一活水湖上游河道有固定

( C) 0 .   ( D) 2 .

   填空题 :本大题共 4 个小题 , 每小题 4 分 , 共 16 分 . 把答案填在题中横线上 .
13   已 知 f ( x ) =
f ( log2

流量的水流入 , 同时水通过下游河道流出 , 湖水 体积保持在 200 万米3 左右 . 由于受到上游水流 的污染 , 湖水中某种不能自然分解的污染物浓 度已达到 0 . 2 克/ 米3 . 目前上游污染已得到治 理 , 流入湖中的水已不含污染物 . 在污染中止一 天后 , 测得水中该污染物的浓度下降为 0 . 199 克/ 米3 . 环保机构希望湖水水质达到污染物浓 度不超过 0 . 05 克/ 米3 的标准 . 若不采取其它治 污措施 , 湖水需要多少时间可以达标 ?
( ①污染物浓度 =

1 + m 是奇函数, 则 2x + 1
.

1 ) = 3

14  设 O 是矩形 A B CD 的边
CD 上 一 点 , 以 直 线 CD

为轴旋转这个矩形所得 的圆柱体的体积为 V , 其 中以 OA 为母线的圆锥 的体积为
. , 则以 OB 为 4 母线的圆锥的体积等于 V

被污染水中所含污染物的重量 ; 被污染水的体积 ②令符号 [ x ]表示正数 x 的整数部分 , 当你不

图2  第 14 题图

能算出具体值时 , 可以用这个符号表示)
22  ( 本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R , 且对任意实数 a , f
- 1

15   已知点 P ( a , b) 在直线 x + 2 y = 3 上 , 那么 2 a + 4 的最小值是 16   曲线 C : y = 1 +
b

( x + a) 与 f ( x + a ) 互

.

为反函数 .
1) 若 f ( 1) = 2 , 求 f ( 2) 的值 ; 2) 判断 f ( x ) 的单调性 , 并给出证明 .

4 - x 2 与直线 l : y = k ( x - 2) + 4

有两个交点时 , 实数 k 的取值范围是 .    解答题   本大题共 6 小题 , 共 74 分 . 解答应写 出文字说明 , 证明过程或演算步骤 . 17  ( 本小题满分 12 分 ) 设 z 1 , z 2 是模为 1 的两个 π 3 复数 , 且 < arg z 2 < arg z 1 < π, z 1 z 2 的实部 2 4 12 3 为 , z 1 z 2 的虚部为 , 求 sin2 ( arg z 1 ) 的值 . 13 5 18  ( 本小题满分 12 分) 已知数列 { an } 中 , a1 = 1 , 前 n 项的和为 S n . 对任意的自然数 n ≥2 , an 是 3 3 Sn - 4 与 2 S 的等差中项 . 2 n- 1 1) 求通项 an ;   2) 计算 lim S n .
n →∞

参考答案
选择题   BBCBA   BCDDC   DB
1   因为 cos28° > 3 3 , tg28° < , 所以 c < b. 又由单 2 3 位圆中的三角函数线知 a < c. 所以 a < c < b.
A 1 D , 所以 D 1 B 与 A C , A 1 D 的公垂线平行 .

2  连 DB 由三垂线定理 D1 B ⊥A C , 同理 D1 B ⊥

θ的圆心为 D ( 1 , 0) , 半径为 1 , 则 3  ( 理) 圆 ρ= 2cos
| PD | = 2 , 从而所求距离为 2 - 1 . ( 文 ) 同理科

题思路 .
6   圆锥母线长 l = 12 , 底面圆半径 r = 6 , 轴截面是

19  ( 本小题满分 12 分 ) 如图 3 所 示 , 四 面 体 A B CD

边长为 12 的正三角形 . 从而可知内切球半径为
4 π( 2 3 ) 3 = 32 3 π. 3 π 7  ( 理 ) 由题设 y = sin x 与 y = - x 的交点是 2 π ( x 1 , y 1 ) , y = arcsin x 与 y = - x 的交点是 2 x1 + x2 ( x 2 , y 2 ) , 由对称性知 , 是 y= x与y= 2 2 3 , V球 =

中 , A B , B C , BD 两 两 互 相垂直 , 且 A B = B C = 2 , E 是 A C 的中点 , 异面直 线 A D 与 B E 所成角的余 弦值为
10 . 10
图3  第 19 题图

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x1 + x2 π π - x 交点的横坐标 , 故 = . 2 2 4 ( 文) 由题设 tgα= 2 2 ,

数 学 通 讯               2002 年第 2 ,4 期
2 16  ( 23 = 4 2 , 当且仅当 b = 3 时取等号 . 4

1 + tg α α α 1 + cos 3 cos = = . 2 2 3 8   在 6 个可下的楼层中 , 每一个人都有下的可能 ,

cosα= -

1
2

= -

1 , 3

5 3 , ].  半圆 C 的两端点为 A ( - 2 , 1 ) , 12 4 B ( 2 , 1) . 直线 l 过点 P ( 2 , 4 ) , 作直线 PA 及圆

即 1 个人有 6 种下法 , 3 个人共有 63 种下法 . 其 中都不在 12 楼下的可能为 53 种 . 故有 63 - 53 =
91 ( 种) . 9   作函数 y = ( x - 1 ) 2 的图象 , 该图象经过 A ( 1 , 0) , B ( 2 , 1 ) 两点 . 注意到当 0 < a < 1 时 , y = log a x 在 x > 1 时的图象恒在下半平面 , 不可能满

C 的不与 x 轴垂直的切线 PT . 要使直线 l 与曲 线 C 有两个交点 , l 应夹在 PA 和 PT 中 , k PA = 4- 1 3 = . 以下求 k PT , 由圆心 ( 0 , 1 ) 到 l : 2 - ( - 2) 4 kx - y + 4 - 2 k = 0 的距离等于半径 2 , 可解得 5 5 3 k PT = k = , 所求范围为 ( , ]. 12 12 4 解答题 17   令 arg z 1 = α, arg z 2 = β, 则 α+ i sinα, z 2 = cos β+ i sinβ, z 1 = cos ) + i sin (α+ β ) , z 1 z 2 = cos (α+ β ) + i sin (α- β ). z 1 z 2 = cos (α- β ) = 所以 sin (α+ β

足不等式 . 当 a > 1 时 , 若 a = 2 , 恰有 log2 2 = 1 , 而 a > 2 时 , log a 2 < 1 , 故 a > 2 也不满足不等式 .
10   由 sin

π π 5 5 = + acos 3 3

1 + a2 得 a = -

3 . 3

3 12 ) = , cos (α- β . 5 13

y = asin x + cos x = -

3 sin x + cos x 3

π 2 3 2 ? sin x + . 3 3 π π 2 π+ . 对称轴为 x + = k 3 2 π 11 π即 x=k , k ∈Z. 当 k = 2 时 , x = π. 6 6
=
k k 11  B k ( 1 , 2 ) , 直线 OB k 的方程是 y = 2x, n n k k 直线 l k 的方程是 x = , 消去 得 y = 2 x2 . n n 12  S ( n) = 1 + 3 + 6 + …+ C2n + 1
2 2 2 = C2 2 + C3 + C4 + …+ C n + 1 2 2 2 = C3 3 + C3 + C4 + …+ C n + 1 2 2 = C3 4 + C4 + …+ C n + 1 2 = C3 5 + …+ C n + 1

π 3 < β< α< π, 得 2 4 π 3 π < α+ β< π, 0 < α- β< , 2 4 由
) = 所以 cos (α+ β ) = sin (α- β ) = 1 - sin2 (α+ β ) = 1 - cos2 (α- β

4 , 5

5 . 13

) + (α- β )] 所以 sin2α = sin [ (α+ β ) cos (α- β ) + cos (α + β ) = sin (α+ β ) sin (α- β

3 12 4 5 ) × × +(5 13 5 13 56 = , 65 56 即 sin2 ( arg z 1 ) = . 65 ) 18   1 由题设 , 当 n ≥ 2 时, = 2 a n = ( 3 S n - 4) + ( 2 3 ) , S 2 n- 1 1 , 得 a n = 3 S n - 4  ( n ≥
( 1) ( 2)

= C3n + 1 + C2n + 1 = C3n + 2 = 1 ( n + 2) ( n + 1) n , 6

所以 lim 填空题
13  

n = 6. n →∞ S ( n )

3

结合 an = S n - S n 2) , 即 3 S n = an + 4 又 3 S n + 1 = an + 1 + 4 . ( 2) - ( 1) 得 3 a n + 1 = a n + 1 - a n , ∴
an + 1 1 = . an 2

1 1 .  由 f ( - x ) = - f ( x ) 解得 m = , 4 2 1 1 1 1 ) = f ( log2 = . 3 1 2 4 +1 3

14   .   设以 OB 为母线的圆锥的体积为 V 1 , 则 12 V 1 V V1 + = V , 解之得 V 1 = . 4 3 12 15  4 2 .  2 a + 4 b = 23 2b

V

+ 4 b = 23 -

2b

+ 22 b ≥

∴ a2 , a3 , …, an , …成等比数列 , 其中 a2 = 3 S 2 - 4 = 3 ( 1 + a2 ) - 4 , 1 1 即 a2 = ,q= . 2 2 1 ( n = 1) , ∴ an = 1 n- 1   (n≥ ) 2) . - (2

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2002 年第 2 ,4 期               数学通讯 2) ∵ S n = a1 + a2 + …+ an = 1 + ( a2 + …+ an ) 1 1 n- 1 ) [1 - ( ] 2 2 =1+ 1 ) 1- (2 1 1 n- 1 ) = 1 + [1 - ( ], 3 2 4 ∴ lim S n = . n →∞ 3 19   1 ) 取 CD 的中点 F , 连
bx 0 , y0 b . y0 ( bx 0 2 ) y0 a
2 2

85
u=

解出 u , v 得
v=

(

因 P1 点在曲线 C 上 , 得 整理得
2 x0 2

-

b2 2 ) y0 b
2

=1,

a

-

2 y0 2

b

= 1 , 即点 P 适合双曲线 C 的方

结 B F , EF , 设 BD = x , 则 1 EF = AD 2 1 = x2 + 4 , 2 图4  第 19 题解答图 1 FB = CD 2 1 = x2 + 4 , 2 ∴ EF = FB , △B EF 为等腰三角形 .
10 ∵ B E = 2 , cos ∠B EF = , 10

程 , 这说明直线 M 1 P1 , M 2 P2 的交点仍在双曲 线 C 上. 21   设 cn 为污染物中止 n 天后水中污染物的浓度 , 每天流出湖水中的水量为 Q ( m 3 ) , 则在 n 天 后 , 湖中污染物的数量满足下列关系式 : cn × 2× 106 = cn - 1 × 2× 106 - cn - 1 ? Q. 取 n = 1 , 及 c1 = 0 . 199 , c0 = 0 . 2 得
2× 106 ( 0 . 2 - 0 . 199) = 104 . 0. 2 代入上式 , 整理得
Q= cn = 0 . 995 cn - 1 .

由 B F2 = B E2 + EF2 - 2 B E? EF?
x +4
2

10 得 10

由等比数列的通项公式 , 得 n cn = 0 . 2 ×( 0 . 995) . 由于要求 cn ≤ 0 . 05 , 即 ( 0 . 995) n ≤ 0 . 25 , n≥ log0 . 995 0 . 25 . 即需 [ log0 . 995 0 . 25 ] + 1 天才能使湖水达标 . ( 注 :查对数表或用计算器可算得 [ log0 . 995 0 . 25 ] = 276 , 需 277 天) 22   1) ∵ f ( 1) = 2 , ∴函数 f ( x ) 的图象上有一点 ( 1 , 2) , 即函数 f - 1 ( x) 的图象上有一点 ( 2 , 1) , ∴函数 f - 1 ( x + 1) 的图象上有一点 ( 1 , 1) . 注意到 f - 1 ( x + 1) 与 f ( x + 1) 互为反函数 , ∴函数 f ( x + 1) 图象上必有一点 ( 1 , 1) , 即 f ( 2) = 1 . 2 ) 令 y = f - 1 ( x + a) , 得 x + a = f ( y) , x = f ( y ) - a , ∴ y = f - 1 ( x + a) 的反函数是 y = f ( x ) - a. 根据题设条件 , 得 f ( x + a) = f ( x) - a , 即 f ( x + a) - f ( x) = - a. 由此知任取 x 1 , x 2 ∈R , x 1 < x 2 , f ( x1) - f ( x2) = f [ x2 + ( x1 - x2) ] - f ( x2) = x2 - x1 > 0 , f ( x1) > f ( x2) , ∴ f ( x ) 是 R 上的减函数 .
( 收稿日期 :2001 - 11 - 10)

4

=2+

x +4

2

4

-

5 5

x +4,

2

解得 x 2 = 16 , ∴ x = 4 . 连结 D E , ∵ D E ⊥A C , B E ⊥A C , ∴ ∠B ED 是 二 面 角 D2A C2B 的 平 面 角 , 4 tg ∠B ED = = 2 2 , 即二面角 D2A C2B 的正 2 切值为 2 2 . 2) 过 B 作 B H ⊥D E 于 H , 又 A C ⊥ 平面 BD E , A C ⊥B H , ∴BH ⊥ 平面 A CD , 即 B H 为所求 . ∵ B H? D E = BD ? BE, ∴BH =
4 + ( 2) 4 即点 B 到平面 A CD 的距离为 . 3 20   据题意 , 设 P1 ( u , v ) ( v ≠ 0) , 则 P2 ( - u ,
v ) , 又设 M 1 ( 0 , - b) , M 2 ( 0 , b) . b+ v x, u b- v 直线 M 2 P2 的方程是 y - b = x. u 设 P1 M 1 与 P2 M 2 的交点为 P ( x 0 , y 0 ) , 则 BD ? BE = DE

4×2
2 2

=

4 , 3

直线 M 1 P1 的方程是 y + b =

y0 + b = y0 - b =

b+ v x0 , u b- v x0 , u

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