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第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案


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数学通报

2007年第46卷第5期

第十届北京高中数学知识应用竞赛 决赛试题及参考答案
1.(满分14分)北京与南京地面距离大约930 kin.民航飞机飞行的空中时间大约90分钟.飞机升 空后,一位乘客从飞机的舷窗俯看地面的景物,他 发现地面上的物体大约要用1分钟的时间从舷窗中 移过.已知飞机舷窗的宽度为25 cin,乘客看地面时 全队筑路所需时间为:
,、

f厂(z),当厂(z)≥g(z) Ig(z),当g(z)>厂(z)

,(z)在(O,600)上是减函数;g(z)在(O,600) 上是增函数. 求,(z)一g(z)的解,即50×2000+-x一30×
3000-}-(600一z),

眼睛与舷窗的视线距离为30锄.请你根据这些信
息估算出飞机距地面的高度? 解 设北京至南京的飞行是

解为Xo≈315.8.


匀速的,并且乘客俯瞰地面的视线 近似地垂直于地面.根据已知数 据,因为飞机在90分钟内飞行930 km(即93000000 cm),可算出飞行 的平均速度为1033333 cm/分钟, 再根据假设,可得右图,在AMEF 中,ME=MF,AB//EF,MP是 AMAB的高,MQ是AMEF的高,

£(z)=<

'…v,●u, f—50 X—2000,z∈(o,315.8) J—30 X—30,z∈(15.8,60)
【 一z”【 “’

£(z)在(o,Xo)上递减,在(Xo,600)上递增; 故知Xo是£(z)的最小值点.但315.8不是整数,于 是计算t(315)和t(316),其中较小数为所求.经计 算,t(315)一317.46,t(316)=316.90.


AB为舷窗的宽度,于是脚为乘
的地面距离.





于是可知:当安排316人到软土地带工作,284 人到硬土地带工作时,可以使全队筑路工期最短. 3.(满分18分)电视台在暑假进行了一次青年 人收视电视节目偏好的调查.得到的数据如下: 他们当中3人喜欢在平日(非周末)看早期的 电视剧,14人喜欢在平日看早期的电视节目,21人 喜欢看早期的电视剧,8人喜欢在乎日看电视剧,31

客的眼睛与舷窗的距离,历为飞机在1分钟内飞行

有器一磊御M30Q=11033广333,
得MQ一1239999.6 am≈12.4 答:飞机距地面的高度约为12.4
kin. km.

人喜欢在平日看电视节目,36人喜欢看早期的电视 节目,40人喜欢看电视剧,13人喜欢在周末看近期 的电视节目,但不是电视剧. 请你根据这些信息,判断有多少人不喜欢看电 视剧和多少人喜欢在周末看电视节目. 解法一 设M为被调查的青年人的集合,A为

2.(满分14分)某工程队共有600人,要建造一 段5000米的高速公路,工程需要把600人分成两 组,一组的任务是完成一段2000米的软土地带,另 一组的任务是完成剩下的3000米的硬土地带,据测 算,软、硬土地每米的工程量分别为50工和30工, 问如何安排两组的人数,才能使全队筑路工期最 短? 解 设在软土地带工作的人数为z,则在硬土

喜欢看电视剧的青年人的集合,B为喜欢看早期电 视节目的青年人的集合,C为喜欢周末看电视节目

地带工作的人数为600—z,在软土地带筑路时间为 厂(z)一50×2000-}-3c;在硬土地带筑路时问为
g(z)=30X 3000+(600—z),其中z是1到600之

将集合A涂上阴影团,将集合B涂上阴影圆, 将集合C涂上阴影衄圃,集合M涂上圈.根据题
中调查数据看得下图,

的青年人的集合,用韦恩(Venn)图表示上述集合,

间的整数.

万方数据  

2007年第46卷第5期

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外两个人各买了一条标价为150元的裤子.加上返 券,裤子相当于打了六折(90元).他提出每人按六 二折付给他93元,由他帮忙把这两条裤子买下.两 人高兴地同意了,这位朋友拿到186元,在收银台使 用他手中已有的300元的购物券为裤子付了款.上 述过程使他获得28元.而买衣裤的三位顾客每人都 是只比应该的折扣价多花了3元钱.请你分析,这位 朋友收入的28元钱是怎样挣来的? 根据图得到答案:不喜欢看电视剧的青年人数 为12+13+4+11(人),即40人;喜欢在周末看电 视节目的青年人数为14+18+4+13(人),即49人. 解法二 设M为被调查的青年人的集合,A为 解 粗看起来“买一百,返一百”相当于打五

折.实际上并非如此,因为商场的商品很少被定价 为整百元.如果商品的价格是优一lOOn+口(元),其 中n≥1为整数,0≤n<100,则加上返券,顾客实 际所得到的折扣应该是
丝:

喜欢看电视剧的青年人的集合,B为喜欢看早期电 视节目的青年人的集合,C为喜欢在平日看电视节 目的青年人的集合,并记niX)为集合X内元素(人 数)的个数.则上述调查的结果可以记为
n(A

!QQ丝±堡
100n+口+100n

m+100n
0.5

一—100n—+a> 7 200n+a







C)一3,n(B

N C)一14,竹(A N B)

当商品的定价不是整百元的时候,口>0,这时顾客 所得到的是少于五折的折扣. 这位朋友在为第一位顾客垫付158元买上衣 时,他得到了300元的购物券,相当于用158元以 158/300—52.67%折买到了300元的券. 后来用购物券为后面的顾客买裤子时,又将这 300元券以186/300=62%的折扣换回了现金,从 而挣到了两次折扣相差的部分300 x(62—52。 67)%一28元.

一21,n(A N C)一8,

咒(C)一31,咒(B)一36,n(A)一40,7z((M— A)N(M—B)N(M—C))一13 将所要求的“不喜欢看电视剧的青年人的集合”记 为P, “喜欢在周末看电视的青年人的集合”记为Q 则有P—M—A,Q—M—C 由于M~(A U


U C)一(M—A)N(M—B)


n(M—C),可知咒(M一(A U 又知咒(A U


U C))一13,

5.(满分18分)两条河舳,SO交汇于点0,(为
简单起见,两条河假设是两线段)某人每天从他的 住处点P先去河RO,_90取水样,再把水样带到点Q 处化验.如图1. (1)画出从点P到河R0,

U C)一,z(C)+咒(B)+咒(A)一 N C)+n(A N
B N C)

n(B N C)一n(A N B)--n(A

一40+36+31—14—21—8+3—67

由此可得咒(蚴=13+67=80.
于是得到咒(P)一80一40=40,咒(Q)一80—31
—49.

再到河∞,然后到点Q的最短
路,并给出具体作图步骤; (2)画出从点P到河SO,


4.(满分18分)节日里某商场打折促销.宣布 全场商品用RMB每买100元商品,就返给顾客100 元购物券.一顾客看中了一件上衣,标价是350元, 她想买又犹豫,价格虽然较高,但若返300元的购物 券,相当于打了350/650—54%折,还是挺合算的; 转而又想,我没有别的需求,得到的300元购物券做 什么用呢?这时她的一位朋友说:“350元打五四折 是189元,如果你打算买这件上衣,你出五五折的价 钱192元,另158元钱由我补上,300元的购物券归 我.”这位顾客欣然同意了.之后,这位朋友又帮另

再到河舳,然后到点Q的最短
路,并给出具体作图步骤;

图1

(3)上述两条最短路的长度恒等吗?如果不恒 等,试给出它们相等的条件,并指出何时(1)中画出 的路其长度小于(2)中路的长度. 解 (1)作图步骤是:

①作点P关于直线RO的对称点P 7,点Q关于 直线199的对称点Q7; ②连接P7与Q7,设线段PQ和RO、SO的交点

万方数据  

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2007年第46卷第5期

分别为A、B; ③连接P与A,B与Q; 折线PABQ是点P到河 RO再到河SO,然后到点Q的 最短路.其长度就是线段 P7Q7的长度. 事实上,利用对称性不难看出,任何其它的从 点P到河RO再到河SO,然后到点Q的路,都相当 于从点P7到点Q7的一条折线路,它的长度大于线 段p'Q7的长. (2)同(1)的做法. ①作点P关于直线SO的


由点P和点P”及点Q和点秽的对称性知,
LROd'=LROQ=占, 么F'os=么POS—LROS—LROP一口一犀

因此,么—幻∥一口一l|9+a+艿一2a一卢+&
我们得到(1)中的路长不大于(2)中路长的充 要条件是么P'OQ7≤么d'OQ"


2a一艿+p≤2a—p+艿,


p≤& 当点P、Q、0在一条直线上(口一d)时,(1)和 (2)中的最短路长度相等.
D s

对称点,,点Q关于直线RO 的对称点秽; ⑦连接线段少与硝,设

当点P落在角LROQ中(口<艿),先到RO后到

1/


∞的最短路要比先到S0再到R0的最短路要短.
6.(满分18分)某大学每年要推荐优秀的本科 生保送到本校读研究生.要对申请的学生排出名 次,决定名次的因素有一次资格考试,有在大学期 间的平时学习情况,还有能反映个人状况及潜在能 力的综合素质.以下是10位学生的5个方面的得 分,请你设计一个合理的排序方案,提出具体的分 数计算方法,并为他们做出排序.
学生序号 社会工作 竞赛获奖 科研活动 资格考试 平时学习
0.8 76 92 76 84 74 86 O.3 0.4 1 64 88 0.4 62 90 1 2 3 4 5 0.3 0.2 O.2 57 84 0.6 55 87 55 81 6 7 O.75 8 9 O.1 0.2 0.2 49 90 0.6 O.8 47 87 10

P”

线段d'Cg和SO、RO的交点分别为A,、B,; ③则连接P与A,,A,与B,,B。与Q; 折线PA。BIQ是点P到河SO再到河Ro,然后 到点Q的最短路.其长度就是线段Pq7的长度. (3)为了比较(1)和(2)中的路长,只需比较线

段P位7和P’秽的长.为此,考虑AOP,Q7和
zxoP"Q",线段P,Q7和P位”分别是它们的一个边,
而这两个三角形的其他两个边相等:即OP 7=OP”

=OP,∞7一ay一03.不难看出,为了比较线段

P7Q7和PW的长短,只需比较么P'OQ7和么PD∥
的大小. (利用函数的单调性和余弦定理不难严格地证 明这一点.事实上,当角z取值在(o,兀)时,COST是 z的减函数,从而一co啦是z的增函数.由余弦定理 知,角X越大,对应边越长.)



(1)将社会工作、竞赛获奖和科研活动合并相

加作为综合素质成绩. 设墨为第i个学生的综合素质成绩,则有

么制的大小,我们设
LI矗gS一口,LROP=p, LROQ=&如图2.现在

为了比较LP'OQ7和



I 卜


1 0.8

2 0

3 O.3

4 1.4

5 O.7

6 0.4

7 1.35

8 O

9 0.5

10 1.4

LP'OQ‘=LP'OR一-

(2)为避免不同项目评分绝对数值大小不同的
P”r7

LROS+么咒Q7
又由点P和点P7及点Q和点Q7的对称性知

影响.分别将综合素质、资格考试和平时成绩这三 项得分标准化. 归一标准化方法:将各项目的最高成绩取为1. 最低成绩取为0,其它的成绩根据它与最低成绩之 差的比例折算.设Xi为第i个学生的综合素质成绩, 五为这个学生的综合素质归一标准化成绩,计算;i

么跚7=么跚=么麟一么腆一口一


么P。OIR—LROP一8,

因此,么P伪7一B+a+a-c?一2a一艿+盆

同理,么PD∥一么m+LROS+么.剃
万方数据  

的方式为五2

i&x&‘--了tr二imi{x而,}

,于是得到

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一个不等式的推广
戎健君
(江苏省丹阳市教研室
212300)

号成立. 30页的一道习题:已知口>b>c,求证:

i毛+矿笔+i笔>o,引导学生进行了探究.将 此不等式加强为i毛+矿笔+i笔≥o.进一步当

口>6>例咖Ⅱ有南0+老0+土+士
口一

一C

C一口

口一日

将上述二不等式推广.便有下面的

薯南≥.等= 喜南一Z霎.J南≥
结论的证明:原不等式等价于不等式.





鲁(啦一口州)2卜1夕
(”一1)2‘ (口1一锡)2“

: >一!丝二!! (口。一口1)2卜1

由引理得

! ! P > 一V 剐(砚一口斗1)秘1少 台(口i一口斗1)2H

N。,则有石南+石南+……+

器≥。
引理
。1%

(善1)“ 一(n-1)2k 曼(口。一口矗卜,。,--art)2&-1
当且仅当口。,口。,…,%构成等差数列时取等 号.(由已知函>a,>…>n。,故公差不为零).

为证明本结论,先给出下面的引理(见文[2]).

设反,bl∈耻,i—l,2,…,雅,口>0,则

参考文献


许金松.对一道不等式习题的探究性学习,数学通报,2004,9 俞武扬.一个猜想的证明.数学通报,2002,2

有㈦b万ltr4-1≥筹ai)龃嘴毫bl时等
(∑










1 0.57




3 O.21

4 1

5 0.5










10 1

(注:数据标准化方法很多,只要有道理,酌情给分) (3)这样就可以将综合素质、资格考试和平时 学习这三项归一标准化成绩求和进行排名.

旧X

0.29 0.96

0.36

设冀为第i个学生的资格考试成绩,夏为这个
学生的资格考试归一标准化成绩,zi为第i个学生

设M为第i个学生综合素质、资格考试和平时
学习这三项归一标准化成绩的和,则


的平时学习成绩,乏为这个学生的平时学习归一标
准化成绩,则同理可得



















10 1.55



1 1


2.57 1.27 1.59 2.23 1.84 0.90 1.79 O.28 1.25 1
7 5

0.93 0.45

0.59 0.64

0.52 0.82

0.34

0.28
0.55

0.28

0.07|0
0.55

名次
0.27









10



0.27

0}0.82

万方数据  


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