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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.3 等比数列及其前n项和


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§ 6.3

等比数列及其前 n 项和

1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫 做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q__表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它

的通项 an=a1· qn 1.


3.等比中项 若 G2=a· b_(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· qn
-m

(n,m∈N*).

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则 ak· al=am· an.
?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ?仍是等比数 n},{an· ? n? ? n?

列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公 比为__qn__. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足 an+1=qan(n∈N*,q 为常数)的数列{an}为等比数列.( × ) (2)G 为 a,b 的等比中项?G2=ab.( × )

(3)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × )
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(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × ) (5)等比数列{an}的首项为 a,公比为-1,前 n 项和为 Sn,则 S2n=0,S2n-1=a.( √ ) 1-b5 (6)1+b+b +b +b +b = .( × 1-b
2 3 4 5

)

1.(2013· 江西)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 B.0 C.12 D.24 答案 A 解析 由 x,3x+3,6x+6 成等比数列得, (3x+3)2=x(6x+6). 解得 x1=-3 或 x2=-1(不合题意,舍去). 故数列的第四项为-24.

)

2.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等于( A.7 B.5 C.-5 D.-7 答案 D 解析 方法一 由题意得
3 6 ? ?a4+a7=a1q +a1q =2, ? 4 5 2 9 ? ?a5a6=a1q ×a1q =a1q =-8,

)

1 3 3 ? ? ?q =-2, ?q =-2, ∴? 或? ∴a1+a10=a1(1+q9)=-7. ?a1=1 ? ? ?a1=-8,

? ?a4+a7=2, 方法二 由? , a a = a a =- 8 ? 5 6 4 7 ? ? ? ?a4=-2, ?a4=4, 解得? 或? ?a7=4 ? ? ?a7=-2.

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1 3 ? ?q3=-2, ?q =-2, ? ∴? 或? ? ? ?a1=1 ?a1=-8, ∴a1+a10=a1(1+q9)=-7. 3. (2014· 江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中, 若 a2=1, a8=a6+2a4, 则 a6 的值是________. 答案 4 解析 因为 a8=a2q6, a6=a2q4, a4=a2q2, 所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2, 消去 a2q2, 得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4. 4.(2013· 北京)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn=________. 答案 2 2n 1-2


解析 设等比数列的公比为 q, 由 a2+a4=20,a3+a5=40. 得 20q=40,且 a1q+a1q3=20,解得 q=2,且 a1=2. a1?1-qn? n 1 因此 Sn= =2 + -2. 1-q

题型一 等比数列基本量的运算 例 1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于 ( ) 33 17 C. D. 4 2 15 31 A. B. 2 4

(2)在等比数列{an}中,若 a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3=________. 答案 (1)B (2)4 或-4

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解析

a q· a q =1, ? ? (1)显然公比 q≠1,由题意得?a ?1-q ? =7, ? ? 1-q
1 1 3 1 3

? ?a1=4, 解得? 1 ? ?q=2

? ?a1=9 或? 1 q=- ? 3 ?

(舍去),

1 a1?1-q5? 4?1-25? 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2
3 ? ?a1q -a1q=6, q 2 (2)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),则? 两式相除,得 = ,即 2q2-5q 2 1+q 5 ?a1q4-a1=15, ?

1 +2=0,解得 q=2 或 q= . 2

? ? ?a1=-16, ?a1=1, 所以? 或? 1 故 a3=4 或 a3=-4. q= . ?q=2 ? ? ? 2
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q, an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解. (1)已知正项数列{an}为等比数列,且 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项,若 a2=2,则 该数列的前 5 项的和为( 33 A. 12 31 C. 4 ) B.31 D.以上都不正确

(2)(2014· 天津)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成 等比数列,则 a1 的值为________. 1 答案 (1)B (2)- 2 解析 (1)设{an}的公比为 q,q>0. 由已知得 a4+3a3=2×5a2,
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即 a2q2+3a2q=10a2,q2+3q-10=0, 解得 q=2 或 q=-5(舍去), 又 a2=2, 则 a1=1, a1?1-q5? 1×?1-25? 所以 S5= = =31. 1-q 1-2 (2)因为等差数列{an}的前 n 项和为 n?n-1? Sn=na1+ d, 2 所以 S1,S2,S4 分别为 a1,2a1-1,4a1-6. 因为 S1,S2,S4 成等比数列, 1 所以(2a1-1)2=a1· (4a1-6),解方程得 a1=- . 2 题型二 等比数列的性质及应用 例 2 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值, 且 a6a10+a3a5=41, a4a8=5, 则 a4+a8=________. S10 31 (2)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 = ,则公比 q=________. S5 32 答案 (1) 51 1 (2)- 2

2 解析 (1)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=a2 8,a3a5=a4, 2 得 a2 4+a8=41.因为 a4a8=5, 2 所以(a4+a8)2=a2 4+2a4a8+a8=41+2×5=51.

又 an>0,所以 a4+a8= 51. S10 31 (2)由 = ,a1=-1 知公比 q≠1, S5 32 S10-S5 1 则可得 =- . S5 32 由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5,S15-S10 成等比数列,且公比为 q5,

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1 1 故 q5=- ,q=- . 32 2 思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质

“若 m+n=p+q,则 am· an=ap· aq”,可以减少运算量,提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解 题时注意设而不求思想的运用. (1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3=________. (2)在等比数列{an}中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则 a41a42a43a44=________. Sn (3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列,Sn、Tn 分别为数列{lg an}与{lg bn}的前 n 项和,且 = Tn n ,则 logb5a5=________. 2n+1 9 答案 (1)3∶4 (2)1 024 (3) 19 解析 (1)由等比数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3· (S9-S6), 1 S9 3 将 S6= S3 代入得 = . 2 S3 4 (2)方法一 a1a2a3a4=a1· a1q· a1q2· a1q3 =a4 q6=1,① 1· a13a14a15a16=a1q12· a1q13· a1q14· a1q15 =a4 q54=8,② 1· a4 q54 1· ②÷ ①: 4 6 =q48=8?q16=2, a1· q 又 a41a42a43a44=a1q40· a1q41· a1q42· a1q43 =a4 q166=a4 q6· q160 1· 1·
4 6 =(a1 · q )· (q16)10=1· 210=1 024.

方法二 由性质可知,依次 4 项的积为等比数列,设公比为 p, 设 T1=a1· a2· a3· a4=1,

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T4=a13· a14· a15· a16=8, ∴T4=T1· p3=1· p3=8?p=2. ∴T11=a41· a42· a43· a44 =T1· p10=210=1 024. a2 · …· a9? S9 lg?a1· (3)由题意知 = T9 lg?b1· b2 · …· b9? = lg a9 5 lg a5 = lg b9 5 lg b5

9 =logb5a5= . 19 题型三 等比数列的判定与证明 例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 ∵an+Sn=n,① ∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴ an+1-1 1 = ,∴{an-1}是等比数列. an-1 2

1 又 a1+a1=1,∴a1= , 2 ∵cn=an-1, 1 1 ∴首项 c1=a1-1,∴c1=- ,公比 q= . 2 2 1 1 ∴{cn}是以- 为首项,以 为公比的等比数列. 2 2 1? ?1?n-1 ?1?n (2)解 由(1)可知 cn=? ?-2?· ?2? =-?2? ,

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1?n ∴an=1-? ?2? . 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、

填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对 n=1 时的情况进行验证. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由 a1=1 及 Sn+1=4an+2, 有 a1+a2=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.

? ?Sn+1=4an+2, 又? ? ?Sn=4an-1+2, ②
①-②,得 an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,



故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)知 bn=an+1-2an=3· 2n-1, ∴ an+1 an 3 - n= , 2n+1 2 4

an 1 3 故{ n}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2 4 an 1 3 3n-1 ∴ n= +(n-1)· = , 2 2 4 4 得 an=(3n-1)· 2n-2.

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分类讨论思想在等比数列中的应用 3 典例: (12 分)(2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*), 且-2S2, S3,4S4 2 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明:Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6 思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前 n 项和,根据函数的单调性证明. 规范解答 (1)解 设等比数列{an}的公比为 q, 因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, 所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4, a4 1 可得 2a4=-a3,于是 q= =- .[2 分] a3 2 3 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 2 1 3 3 - ?n-1=(-1)n-1· n.[3 分] an= ×? 2 ? 2? 2 1 - ? n, (2)证明 由(1)知,Sn=1-? ? 2? 1?n 1 Sn+ =1-? ?-2? + Sn 1 1?n 1-? ?-2?

2+ ,n为奇数, ? ? 2 ?2 +1? =? 1 2+ ,n为偶数. ? ? 2 ?2 -1?
n n n n

1

[6 分]

1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小, Sn

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1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = .[8 分] Sn S1 6 1 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小, Sn 1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = .[10 分] Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N*,有 Sn+ ≤ .[12 分] Sn 6 温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有: ①已知 Sn 与 an 的关系,要分 n=1,n≥2 两种情况. ②等比数列中遇到求和问题要分公比 q=1,q≠1 讨论. ③项数的奇、偶数讨论. ④等比数列的单调性的判断注意与 a1,q 的取值的讨论. (2)数列与函数有密切的联系,证明与数列有关的不等式,一般是求数列中的最大项或最小项, 可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.

方法与技巧 1.已知等比数列{an} 1 (1)数列{c· an}(c≠0),{|an|},{a2 n},{ }也是等比数列. an (2)a1an=a2an-1=…=aman-m+1. 2.判断数列为等比数列的方法 an+1 an (1)定义法: =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N*)?数列{an}是等比数列;也可用 =q(q 是 an an-1 不等于 0 的常数,n∈N*,n≥2)?数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是 n 的初始值不同.
* (2)等比中项法:a2 n+1=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N )?数列{an}是等比数列.

3.解题中要注意选用等比数列的性质,减少运算量.

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失误与防范 1.注意等比数列中的分类讨论. 2.由 an+1=q· an(q≠0),并不能断言{an}是等比数列,还要验证 a1≠0.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.(2014· 重庆)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 答案 D a6 a9 解析 设等比数列的公比为 q,因为 = =q3,即 a2 6=a3a9,所以 a3,a6,a9 成等比数列.故 a3 a6 选 D. 2.(2014· 大纲全国)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C 解析 数列{lg an}的前 8 项和 S8=lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1· a2· …· a8)=lg(a1· a8)4 =lg(a4· a5)4=lg(2×5)4=4. 3. (2013· 课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S3=a2+10a1, a5=9, 则 a1 等于( 1 1 1 1 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 答案 C 解析 设等比数列{an}的公比为 q, 由 S3=a2+10a1 得 a1+a2+a3=a2+10a1, ) ) )

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即 a3=9a1,q2=9, 1 又 a5=a1q4=9,所以 a1= . 9 4.一个等比数列的前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所有项的积为 729,则该数列的项 数是( )

A.13 B.12 C.11 D.10 答案 B 解析 设该等比数列为{an},其前 n 项的积为 Tn, 则由已知得 a1· a2· a3=3,an-2· an-1· an=9, (a1· an)3=3×9=33, ∴a1· an=3,又 Tn=a1· a2· …· an-1· an, Tn=an· an-1· …· a2· a1, ∴T2 an)n,即 7292=3n,∴n=12. n=(a1· 5.设各项都是正数的等比数列{an},Sn 为前 n 项和,且 S10=10,S30=70,那么 S40 等于( A.150 C.150 或-200 答案 A 解析 依题意,数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 成等比数列, 因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20), 即(S20-10)2=10(70-S20), 故 S20=-20 或 S20=30; 又 S20>0, 因此 S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40, 故 S40-S30=80. S40=150.故选 A. 6.等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 为________. B.-200 D.400 或-50 )

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答案 3 解析 由 a3=2S2+1,a4=2S3+1 得 a4-a3=2(S3-S2)=2a3, a4 ∴a4=3a3,∴q= =3. a3 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,则对任意的 n∈N*,都有 an+2+an+1 -2an=0,则 S5=________. 答案 11 解析 利用“特殊值”法,确定公比. 由题意知 a3+a2-2a1=0,设公比为 q,则 a1(q2+q-2)=0. 由 q2+q-2=0 解得 q=-2 或 q=1(舍去), a1?1-q5? 1-?-2?5 则 S5= = =11. 3 1-q 8. 设等比数列{an}的各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn, 若 a1=1, a3=4, Sk=63, 则 k=________. 答案 6 解析 设等比数列{an}公比为 q,由已知 a1=1,a3=4, a3 得 q2= =4. a1 又{an}的各项均为正数,∴q=2. 1-2k 而 Sk= =63, 1-2 ∴2k-1=63,解得 k=6. 9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,

? ?a1+d=2, 则由已知得? ∴a1=0,d=2. ?a1+4d=8. ?
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∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b1?1-qn? 1×?1-2n? ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = 1-q 1-2 =2n-1. 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N*). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N*),且 b1=2,求数列{bn}的通项公式. (1)证明 依题意 Sn=4an-3(n∈N*), n=1 时,a1=4a1-3,解得 a1=1. 因为 Sn=4an-3,则 Sn-1=4an-1-3(n≥2), 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 4 整理得 an= an-1. 3 又 a1=1≠0,所以{an}是首项为 1, 4 公比为 的等比数列. 3 4 (2)解 因为 an=( )n-1, 3 由 bn+1=an+bn(n∈N*), 4 得 bn+1-bn=( )n-1. 3 可得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) 4 1-? ?n-1 3 =2+ 4 1- 3

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4 =3· ( )n-1-1(n≥2), 3 当 n=1 时也满足, 4 所以数列{bn}的通项公式为 bn=3· ( )n-1-1. 3 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项 数 n 为( )

A.12 B.14 C.15 D.16 答案 D 解析 a5+a6+a7+a8 4 =q =2, a1+a2+a3+a4

由 a1+a2+a3+a4=1, 1-q4 得 a1· =1,∴a1=q-1, 1-q a1?1-qn? 又 Sn=15,即 =15, 1-q ∴qn=16,又∵q4=2,∴n=16.故选 D. 12.(2013· 福建)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn =am(n-1)+1· am(n-1)+2· …· am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是( A.数列{bn}为等差数列,公差为 q
m

)

B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm 答案 C 解析 ∵bn=am(n-1)(q+q2+…+qm) bn+1 amn?q+q2+…+qm? amn ∴ = = =qm(常数). bn am?n-1??q+q2+…+qm? am?n-1?
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bn+1-bn 不是常数. 又∵cn=(am(n-1))mq1+2+


+m=(a

m(n-1)q

m+1 m ) , 2



cn+1 amn m =( ) =(qm)m=qm2(常数). cn am?n-1?

∴选 C. 13.已知数列{an}是等比数列,a1,a2,a3 依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一 格内,又 a1,a2,a3 中任何两个都不在同一列,则 an=________(n∈N*). 第一列 第一行 第二行 第三行 答案 2· 3n
-1

第二列 10 14 18

第三列 2 4 8

1 6 9

解析 观察题中的表格可知 a1,a2,a3 分别为 2,6,18, 即{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列, ∴an=2· 3n-1. 14.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (1)证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. (1)证明 由题设 an+1=4an-3n+1, 得 an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*. 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1, 且公比为 4 的等比数列. (2)解 由(1)可知 an-n=4n-1, 于是数列{an}的通项公式为 an=4n-1+n, 4n-1 n?n+1? 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= + . 3 2

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中小学一对一课外辅导专家
3 15.(2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}不是 递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 S3 .. 2 +a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn- (n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn 解 (1)设等比数列{an}的公比为 q, 因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列, 所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3, a5 1 于是 q2= = . a3 4 3 1 又{an}不是递减数列且 a1= ,所以 q=- . 2 2 故等比数列{an}的通项公式为 1 3 3 - ?n-1=(-1)n-1· n. an= ×? 2 ? 2? 2 1+ ,n为奇数, 1? ? 2 ? (2)由(1)得 S =1-?-2? =? 1 ?1-2 ,n为偶数.
n n n n

1

当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小, 3 所以 1<Sn≤S1= , 2 1 1 3 2 5 故 0<Sn- ≤S1- = - = . Sn S1 2 3 6 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大, 3 所以 =S2≤Sn<1, 4 1 1 3 4 7 故 0>Sn- ≥S2- = - =- . Sn S2 4 3 12 综上,对于 n∈N*,总有- 7 1 5 ≤Sn- ≤ . 12 Sn 6

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中小学一对一课外辅导专家
5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 6 12

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