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2010年广西高二数学竞赛初赛题试卷


2010 年广西高二数学竞赛初赛试卷
考试时间:2010 年 9 月 26 日(星期日)8:30-10:30

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、已知 a, b 是两个互相垂直的单位向量,而 | c |= 13, c ? a = 3, c ? b = 4 ,则对于任意实 数 x, y , | c ? xa ? yb | 的最小值是 ( A. 5 B. 7 ) C. 12
3 4

D. 13 ). D. 无法确定

2、 ?ABC 中, a 2 + b2 = c 2 + ab ,且 sin A sin B = ,则 ?ABC 是( A.等边三角形 B.等腰直角三角形
3 2

C. 锐角三角形
1 2

3、对于任意 x ∈ R ,函数 f ( x) 表示 ? x + 3, x + , x 2 ? 4 x + 3 中的较大者,则 f ( x) 的最 小值是( A. 2 ) B. 3 C. 8 D. -1

4、设实数 a 满足 a 5 ? a3 + a = 2 ,则( ) A. a < 6 3 B.
6

2<a< 63

C.

6

3<a< 3 2

D. a > 3 2

5、给定集合 P、Q 满足 P = { x cot [ x ] ? cot { x} = 1, x ∈ R} (其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大 整数, { x} = x ? [ x ] ) Q = ? x sin 2 x + sin 2 ( x + ) = , x ∈ R ? ,则 P ∩ Q = ( , ? ?
? 4 3 2 ?

π



A. P

B. Q

C. ?

D. P ∪ Q

6、设数列 {an } 满足: a0 = 2, a1 = 16, an+ 2 = 16an+1 ? 63an (n = 0,1, 2,?) ,则 a2010 被 64 除的 余数是( A. 0 ) B. 2 C. 16 D. 48

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1、设 a, b 为实数,则关于 x 的二次方程 a(1 ? x 2 ) = 1 + x 2 和 b(1 ? x 2 ) = 2 x 有公共实根的 充分必要条件是(用 a, b 表示)
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2、若实数 x, y 满足条件: x 2 ? y 2 = 1 ,则

1 2y + 的取值范围是 x2 x

。 。

3、数列 {an } 满足 a1 = 1, an = 2an ?1 + n ? 2 (n ≥ 2) ,则通项 an =
1 2

4、函数 f ( x) = sin x + sin 2 x 的值域是 5、已知实数 a、b、x、y 满足 xy = 20102010 , 值为 。


1 1 + = 1 ,则 2010 a+b 的 a b ? 2011 1 + 2010 x 1 + 2010 y

6、已知函数 f ( x) = 2 x 2 ? 2 x ? 1 和 g ( x) = ?5 x 2 + 2 x + 3 的图象交于两点,通过这两个 交点的直线的解析式为 y = ax + b ,则 a ? b 的值为 三、 (20 分)求方程组 ?
?x + y = 2
2 ? xy ? z = 1



的实数解。

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四、 (20 分)已知 M 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的一个动点, BM = λ BC ,∠B= 60?,若 AM ? BC < MB ? MC ,求实数 λ 的取值范围。

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五、 (20 分)设 f ( x) = ax 2 + bx + c 是整系数二次三项式, m 和 n 都是整数,且 m 与 n 的差大于 2010. 证明:若 f (m) 与 f (n) 之差小于 2010,则 f (m) = f (n) .

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