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数列之 等比数列之 计算题


目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

数列之 等比数列之 计算题
1.已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2? ?a ? a ? ? , a3 ? a4 ? 32? ?a ? a ? ?. 2 ? 4 ? ? 1 ? 3 (I)求数列 ?an ? 的通项公式;
2

(II)设 bn ? an ? log2 an , 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn.

?1

1?

?1

1?

2. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 , 公比 q ? ?1 且 q ? 0 的等比数列, 设数列 ?bn ? 的通项 bn ? an?1 ? kan?2 (n ? N ? ) , 数列 {an } , 如果存在常数 k, 使得对所有的适合条件的两个数列, 均有 Tn ? kSn {b n } 的前 n 项之和分别为 Sn , Tn , 对一切 n ? N 都成立,试求实数 k 的取值范围。
?

本类题的特征是: __________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是: __________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

答案
1 2 1.解: (I)∵ a1 ? a2 ? 2? ?a ? a ? ? ? 2? a a , 2 ? 1 2 ? 1

?1

1?

a ?a

?1 1? a3 ? a4 a3 ? a4 ? 32? ?a ? a ? ? ? 32? a a , ………………………………1 分 4 ? 3 4 ? 3
数列 ?an ?各项均为正数, ∴ a1a2 ? 2, a3a4 ? 32, ………………………………………………………2 分 ∴q ?
4

a3a4 ? 16, a1a2

∴ q ? 2 ………………………………………………………………………4 分 又 a1a2 ? a1 ? a1q ? 2, ∴ a1 ? 1 ………………………………………………………………………6 分 ∴ an ? a1q
2
n?1

? 2n?1 …………………………………………………………7 分

(II)∵ bn ? an ? log2 an

第 -1- 页 共 2 页 专注 轻重缓急 劳逸结合

目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

∴ bn ? 4n?1 ? ?n ?1? …………………………………………………………8 分 ∴ Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn

? 40 ? 41 ? 42 ? ? ? ? ? 4n?1 ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1? ……………10 分
? 4n ? 1 n?n ? 1? ………………………………………………12 分 ? 3 2

?

?

2. ∵ bn ? an?1 ? kan?2 ? an q ? kq2an ∴ Tn ? qSn ? kq2 Sn 当 q=1 时 Sn ? na1 ? 0 当 q ? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

∵ q ? ?1 且 q ? 0

∴ Sn ?

a1 (1 ? q n ) ?0 1? q

∴ Tn ? kSn 即 qSn ? kq2 Sn ? kSn 对于 n ? N ? 恒成立
2 ∴ k (1 ? q ) ? q 即 k ?

q 1 ? 2 1 1? q q? q

当 ?1 ? q ? 0 时, q ?

1 1 ? ?2 ;当 q ? 0 时 q ? ? 2 q q

∴ ?1 ? q ? 0 时 ?

1 1 1 ? ? 1 2 q? 2 q

∴k ? ?

1 2

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