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2014年全国高中数学联赛天津赛区预赛


3 2  

中 等 数 学 

2 0 1 4年全 国高 中数学联赛天津赛 区预赛 
中圈分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 9— 0 0 3 2— 0 4  





选择题 ( 每小题 6分 , 共3 6 分)  

并与直线 f 异面. 动点 P在平面 O l 上, 且到直线 Z 、   m的距 离相等. 则点 P的轨迹为(  
( A ) 直线  ( C ) 抛物线  ( B ) 椭圆  ( D) 双 曲线 

1 . 在 平面直角坐标系 中, 方程 
+2x s i n   x y +1=0  

) .  

所表示的图形为(  

) .  

( A) 直线  ( C ) 一个点 

( B ) 抛物线  ( D) 以上均不对 

6 . 在△ A B C中 , 若t a n   A、 t a n   B、 t a n   C均为整 
数, 且  A>   B>   C , 则 以下 选 项错 误 的是 
(   ) .   ( A)   A<8 0 。   ( B)   B< 6 0 。  

2 . 已知 圆柱 的底面半径 为 r , 高为 h , 体 积为 
2 , 表面积 为 2 4 . 则  + 了 1:(   ( A ) 6   ( B ) 8   )
.  

( C )   C< 5 0 。   ( C ) 1 2   ( D ) 2 4  

( D )   A> 6 5 。  

3 . 已知等 比数列 { a   } 的前 / - t 项 和为 S   , 并且 
对任 意 正 整 数 n均 有 S   + 2=4 S  +3 . 则 a  =  
(   ) .  

二、 填空题 ( 每小题 9分 , 共5 4分 )  
1 . 若正实数 a 、 b 满足 
l o g 8   a +l o g 4   b  =5, l o g 8   b+l o g 4   a  =7,  

( A) 2 ( B ) 6 ( C ) 2或 6 ( D ) 2 或一 6  

则l o g 4   a +l o g 8   b =


. 

4 . 若 关 于  的 不 等 式  +上 ≥4在 区 间  [ 1 , 2 ] 上恒成立 , 则实数 a的取值 范围为 (   ) .  

2 . 设 x = s i n 2 o t + s i n (   +   ) - s i n (   + 詈 ) .  
当  =   时,  的小数 点后 第一 位数 字为 

( A ) ( 0 ,   ]   ( B ) (   ,   ]  

( c ) 1 ,   】   ( D ) [ 等 ,   4 】  
5 . 直线 Z 在平 面 O t 上, 直线 m平行 于平 面 O l ,  
S   : 一   1   ( 后:1 2 , …’ ,  ) ∈已 z+ . 一  , ’ …   ,   十。  

3 . 已知数列 { a   } 满足 
a +l= a  + a 




( n ≥2 ) .  
.  
— —

若0 7 = 8 , 则a l + a 2 +… + a l 0 =

n 一 

由 于   4 _  为 整 数, 从 而, n — l 为2   0 1 3 的  
约数.  

对任意 i 、   ( 1 ≤   <   ≤n ) 均有 
J s   —   =  
/ 7 ,- -

∈ z+ .  

注意到 , 2   0 1 3 = 3× 1 1 × 6 1 不超过 4 5的最大  约数为 3 3 . 于是 , n的最大值 为 3 4 , 即参赛选手最 
多有 3 4名.   这样的 3 4名选手 的号码是可以实现 的. 如 


于是 ,  —   ≥ 一1 .  

古 定   一  l  


(   一  一 1 )+(  一 l 一  一 2 )+… +( 戈 2 一  1 )  

3 3 i 一3 2 (  =1 , 2, …, 3 3 ) ,   3 4 =2   0 1 4 .  

≥( n一1 )  

因此 , 该校参加竞赛 的选手最多有3 4 名.   ( 李延林 提供)  

(  一 1 )   ≤  一  1 = 2   0 1 3   n <4  ̄ 5 .  

2 0 1 4年第 9期 

3 3  
3. C.  

4 . 若a =1 + i , b = 2+ i , C = 3+ i ,  
1  
一  

.  

设 公 比为 q . 由 于  q S   q ( a I +a 2 +… +a   )  
= a2 + a3 + … + an+1,  

+ 芎 

贝 U   I   a+   + c x   I =  

5 . 将集合 { 2   + 2   + 2   I  、 y , z∈ N,  < Y<  }  
中的数从 小到大排列. 第1 0 0 个数 为— — ( 用数  字作答 ) .  
6 . 已知 函数  ) 满足 
f x一3,   ≥1   0 0 0;  

于是 , S   =q S  +a 1 .  

故S   + 2 = q ( q S   + a 】 )+ a l  
= q 2 S   +a l ( q+1 ) .  

与 已知条件 比较知 
q   : 4 , a l ( q+ 1 ) = 3 .   从而 , ( q , Ⅱ 。 ) :( 2 , 1 ) 或( 一 2 , 一 3 ) .   因此 , a : : 2或 6 .  
4. A.  

i 八  + 5 ) ) ,  < l   0 0 o .  
则, ( 8 4 ) = 一   三、 解答题 ( 每小题 2 O分 , 共6 0 分)  
1 . 设 A、 B是椭 圆  + , ,   =1 上 的两个动 点 , 0   为坐标原点 , 且  .   : 0 . 又设 点 尸在 A B上 , 且  O P   j _ A B . 求I O Pl 的值.   2 . 在 四面体 A B C D内部有一点 0, 满 足 
O A =OB =OC =4. O D =1 .  

取  =1 , 得 


≥3   j  0<n ≤  4( 口∈ R


) .  

于是 , 原不等式变为对于任意的 ∈[ 1 , 2 ] , 有 
4  
n≤  

求四面体 A B C D体积 的最大值.   3 . 设 函数  ) =1 一e - X . 证明:  
( 1 ) 当  > 0时 ,   ) >   ;  

从而 , 只需求 函数厂 (  ) =  
的最小值. 易知 ,  

在 区间[ 1 , 2 ]  

( 2 ) 若数列 { a   } 满足 a   : 1 , a n e - a n + I =  a   ) ,  

则数列 { n   } 递减 , 且口   <   .  

在 区间 [ 1 , 2 ] 上恒 为正数 , 即  ) 在 区间 [ 1 , 2 ] 上 
单调递增.  

参 考 答 案 


故  ) 的最小值 为  1 ) =   4
.  



1?D.  

5. D.  

易知 ,  =一1 , s i n   x y =1 , 或 
= 1. s i n   x y   一1 .  

设 m在平面  上的投影 为 m   , m   与直线 Z 交 
于点 0 .  

故 该 方 程 所 表 示 的 图 形 由 点 列 ( 一 1 , 2 / o r 一 号 )   直角坐标 系. 则设 m   的方程为 Y = k x .   (   ∈ z ) 和 点 列 ( 1 , 2 k T r - 詈 ) ( 后 ∈ z ) 构 成 .  
2 . A.  

在平 面  上 , 以 0为原点 、 直线 Z 为 Y轴建立 

又设 点 P(  , Y ) .  

则点 P到直 线 Z 的距 离 为 I  f , 点 P到直线 
m, 的距离 为  .  

由条件知丁 c   r Z h = 2 , 2 r t   r   + 2 7 c   r h= 2 4 .  
两式相除得  + _ 1: 6
.  

√1+k  

r  

从而 , 点 P到直线 m的距离平方等于 

中 等 数 学 

,  

s i n  T 丌 ) =   1   .  十 4  ̄   - c o s  
两式相乘得 

其 中, a 为直线 m到平面 o t 的距离.  
因此 , 点 P的轨迹方程为 
,  

s i n (   +   ) . s i n ( a + 詈 ) = ' - C o s 2   一   1   s i n 2   .  
因此 ,  =   3


即为双 曲线.  
6 . B .   3 。 8 8 .  

即小数点后第一位数字为 7 .  

由于  A>   B>   C , 则  角, t a n   B 、 t a n   C均为正整数.  

、   G均 为锐 

由题 意知 a 7 :8 a 2 + 5 a 1 .  

故a l + a 2 + …+ a 】 0  


故t a n   A:一 t a n ( B+ C )  
:   一

8 8 a 2+5 5 aI =1 l a 7=8 8 .  

t a n   B? t a n   C 一1, ‘  
. 

旦墨±  

> 0

4  

注意到 ,  满 足  +   +1= 0 .   从而 ,   也 为锐 角 , 此时,  
从而,   =1 ,   :1 , 疵 =1 .  
t a n   C≥ 1 , t a n   ≥ 2, t a n   A> 13 .  

又a 、 b 、 C 的虚部 相等 , 结合 戈   +  +1= 0 , 知 
只需针对 a =1 , b = 2 , c = 3进行计算 即可.  
故I 口 +  +   I 。 = ( a+  +   ) ( a + b k +   )  
=a   +b  + c  + a b ( x+ Y c )+ b c ( x J c   +   )+   a c ( x   +  、  
=a  +b  +C  一口 b—b c一∞ .  

则 

: t a n   c ≥  

j ( t a n   A一1 ) ( t a n   B一1 ) ≤2 .  

而t a n   A一 1 ≥2 , t a n   B一1 ≥1 , 故 
t a n   A =3, t a n   B =2。 t a n   C =1 .  

因此 ,   C= 4 5 。 .  

选项 C正确.  

将a =1 , b = 2 , c = 3 代人上式得 

由t a n日≥2 ≥√ §  
选 项 B错 误 .  

B> 6 0 o .  

  1 0+   +  

I   =3 .  

从而 , I a +   +   I =   .  
A<7 5 。 .  
5 . 5 7 7 .  

由t a n   7 5 。 =2+   >t a n   A  

选项 A正确.   由/ A+   B= 1 3 5 。 及  A>   B , 知  A> 6 5  
选 项 D正 确.  
二 、 1. 4.  

注意到 , 使得 0 ≤  < Y<  ≤n的(  , Y , z ) 组合  共有 c   +   个.  
因为 C   = 8 4<1 0 0<1 2 0 = c  , 所 以, 第1 0 0个 
数 满 足 =9 .  

令 口 = 2 x   b = 2   ? 则 詈 + Y = 5 , 手 +   = 7 .  
从而 ,  =6 , Y=3 .  

再注意到 , 使得 0 ≤  < y ≤m的 (  , Y ) 组合共 

有c m 2 +   个.  
因为 c ; +C : = 9 9 , 所 以, 第1 0 0个 数满 足  
Y : 6 ,  = 0 , 即第 1 0 0 个数为 
2 。+2  +2  =5 7 7
.  

因 此 , l 。 g 4 。 + 1 o g s   b = 手 + 予 = 4 .  
2 . 7 .  

6 . 9 9 7 .  

注意到 ,  

记  ( 戈 ) =  厂 ( ? ?   ) ) ) . 则 
—  

s i n (   +   ) l = _   + 譬 c o s   a ,  

8 4 ) = f ( f ( 8 9 ) ) = …= ,( 1 8 4 ) ( 9 9 9 )  

2 0 1 4年第 9期 

3 5  

( 1 8 5 ) ( 1   0 0 4 ):  ( 1 8 4 ) ( 1   0 0 1 )= ,( 1 8 3 ) ( 9 9 8 )   = 厂( 1 8 4 ) ( 1   0 0 3 ):  ( 1 8 3 ) ( 1   0 0 0 )=  ( 1 8 2 ) ( 9 9 7 )   ( 1 8 3 ) ( 1   0 0 2 )= 厂( 1 8 2 ) ( 9 9 9 )   ( 1 8 3 ) ( 1   0 0 4 )  

从而 , 所求最大值为 9 7 3.  
3 . ( 1 ) 若证 
)>   甘 e   <   甘 一   < 一I n (   +1 ) .  

: 厂( 1 8 2 ) ( 1   0 0 1 )  

( 1 8 1 ) ( 9 9 8 )   ( 1 8 2 ) ( 1   0 0 3 )  

( 1 8 1 ) ( 1   0 0 0 )= …= - 厂 ( 1   0 0 0 ) = 9 9 7 .   因此 , 八8 4 ) = 9 9 7 .  
三、 1 . 设A ( a c o s   O t , a s i n   O t ) , B ( - b s i n  , b o o s  ) .  

令h (  ) =  一 I n (  +1 ) . 贝 0  
):1 一   .  

代人椭圆方程得 
。2  

1  



Q + s i n 2   ) = 1 , 6   ( 吉 s i n 2   + c o s 2 a ) = -  

于是 , h (  ) 在 区间 [ 0 , +∞) 上单调递增.  

因此 , 当  > 0时 , h (   )> h ( O ) = 0 .  
( 2 ) 记 g(  )= 一I n  。 =   . 贝 u 口   + 。 =g ( 口   ) .  



古 = 吉 小詈  
=  
.  

=   .  

在 R t △ O A B中 ,  
1 0PI   I A   I= 1 0 Al I D  I .  

要证 明数列 { a   } 递减 , 只需证 明当 戈> 0时 ,  
g (  )<  .  

于是 , l   0 pi   E_  a 2 b 2

事实上 ,  

g (   )<  甘 l n   £ >一  
从而, I   O PI :   .  
§ l—e   >f : e一 .  

2 . 首先 , 固定点 A、 B 、 C 、 0, 要 使 四面体 A B C D  

注意 到 ,   戈 )=1 一e - x .  

的体积最 大 , 则点 D到平面 A B C的距离应 最大.  
而点 D在以 0为球 心 、 4为 半径 的球 面上 运 

于是 , 上式也等价 于 
)>  ( 1 一   ) )铮  )>   .  

动, 故 当体积取最大值时 , D D上平面 A B C .  
设 0在平面 A B C的投影点为 E , 且I   D EI =   .   则点 D到△ A B C的距离 为 1 +   .  
而  =肋 =E c=  
一  

由( 1 ) 显然.  
要证 明 。  <   1


只需证 明当 > 0时 ,  

1 6 s   ≤  ̄3( 3


g ( 小: 詈 .  
) .  

这等价于 
>e一 号  

( 此处用 到 : 若A 、 B、 C是半 径为 R的圆上三 
点,   ≤   . )  
=  e

手 一e一 手>   e   2 一 e 一  >   .  
. 

①  ( 1 )  

因 此 ,   面   呦 ≤ 譬 ( 1 6  ) ( 1 +  
考虑函数  ) = ( 1 6 一  ) ( 1 +   ) (  ∈( 0 , 4 ) ) .   易知 , ,   (  ) =一 3 x   一 2 x+ 1 6 .  

令F (  ) : e 寺一 e 一 手一   . 贝 0  

F   (   ) = ÷( e 丁 + e 一  ) 一 1   > t 0 ,  
且等号成立当且仅 当 e 寺= e 一 手= 1 , 即  = 0 .  
因此 , F (   ) 在区间 [ 0 , +。 o ) 上单调递增 , 则 
F ( x ) >F ( 0 ) = 0 .  
于是 , e 手一e 一 手>  .  

1  

于是 , , ( 戈 ) 在 区间 ( 0 , 3 ) 上有唯一 的临界点 
=2 .  

故  ) 在区间( 0 , 3 ) 上的最大值 为 
厂 ( 2)=3 6 .  

( 丁龙云

提供 )  


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