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任意角的三角函数


人民教育出版社A版数学必修4第一章第二节第一课时

济宁市实验中学: 陈 辉
1

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类比概括 形成概念

典例精析 巩固概念

合作探究 深化概念

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东升西落照苍穹, 影短影长角不同.

昼夜循环潮起伏, 冬春更替草枯荣.
“循环往复、周而复始” ——周期变化规律

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问题1:在初中学习过锐角三角函数,你还记得它们 的定义吗?

sin ? ?

cos? ?
tan ? ?

MP OP OM OP MP OM

P

O

?

M

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问题1:初中学习过锐角三角函数,你还记得它们的 定义吗?你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标 来表示锐角三角函数吗? 与点在终边上的位置有关吗?

r ? OP ? x 2 ? y 2
MP y sin ? ? = OP r OM x cos ? ? = OP r MP y tan ? ? ? OM x

y

P( x, y)

P?

O

?

M? M

x

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问题2:能否使锐角三角函数的定义更加简洁 ? 单位圆:在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长 度为半径的圆称为单位圆.

y sin ? ? sin ? ? y r x r ?1 cos? ? x cos ? ? r y y tan ? ? tan ? ? x x

锐角 ?

锐角 ?

y

O

r =1 ?

P( x, y)
x A(1, 0)

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y 问题3:若将锐角? 改为任意角,那么y、x、 还是? x 的函数吗?
任意角 终边唯一

交点P(x,y)唯一 几何画板

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(1) y 叫做? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? =y ; (2) x 叫做? 的余弦,记作 cos ? ,即 cos ? =x;

任意角的三角函数:如图,设 ? 是一个任意角,它 P( x, y) ,那么: 的终边与单位圆交于点

y y (3) 叫做? 的正切,记作 tan ? ,即tan ? = ( x ? 0) . x x y P( x, y)

正弦,余弦,正切都是以 角(实数)为自变量,以单位 圆上点的坐标或坐标的比值为 函数值的函数,我们将它们统 称为三角函数.

O

A(1, 0)

x

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练习. 口算:
角? 0 0 1 0
?
2

?
0 -1 0

sin ?

3? 2

1 0
不存在

-1 0
不存在

cos?
tan ?

小结:利用定义求三角函数值的步骤: 作角、画圆、求交点、求值.

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例1

5 求 ? 的正弦、余弦和正切值. 3

y

分析:作角、画圆、求交点、求值. 5 解:在直角坐标系中,作?AOP ? ? 作 PB ? x 轴,在 Rt ?OBP 中, 1 3 ? , ?BOP ? ,? OB ? , PB ? 3 2 2 故 ?AOP 的终边与单位圆的交点
1 3 坐标为 P( , ? ) 2 2

3

5 ? 3

O

B P

A

x

5 3 5 1 5 ? sin ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? ? 3. 3 2 3 2 3 小结:利用定义求三角函数值,关键是求出角的终边 与单位圆交点的坐标.

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练1. 已知角? 的终边经过点 P0 (?3, ?4) , 求角 ? 的正弦、余弦和正切值.
解:由已知得 设角

y

? 的终边与单位圆交于点 P( x, y) , 分别过点 P、P 作 x 轴的垂线 MP、M P
? ?OMP
∽ ?OM 0 P0
0
0 0

OP0 ? (?3)2 ? (?4)2 ? 5

M0

M

O
P( x, y)

x

OM MP 1 ? ? ? , 即 ? ? OP0 OM 0 M 0 P0 5 3 4
3 4 得 OM ? , MP ? . 5 5

OP

OM

MP

P0 (?3, ?4)

3 4 ?x ? ? , y ? ? . 5 5

4 3 y 4 所以, sin ? ? y ? ? , cos? ? x ? ? , tan? ? ? . 5 5 x 3

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引申: 一般地,设角 ? 终边上任意一点的坐标为( x, y ) , 它与原点的距离为 r ,则

y x y sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? . (r ? x 2 ? y 2 ) r r y x
M0
M

x
P

P 0 ( x, y)

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根据任意角的三角函数定义,探究: 1.三角函数在弧度制下的定义域. 2. 三角函数值在各象限的符号. 3. 终边相同的角的同一三角函数值的关系.

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1.根据任意角的三角函数定义,确定它们 在弧度制下的定义域.
三角函数 定义域

sin ? =y cos ? =x
P( x, y)
y

R R

? ? ? y tan ? = ( x ? 0) ?? ? ? 2 ? k? (k ? Z )? ? ? x

O

A(1, 0)

x

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y

2.根据任意角的三角函数定义,确定三角 函数值在各象限的符号.

? ?
O

+

+

x

? ?

y

+
O

+

x

?

y

O

+

sin ? ? y

cos ? ? x

练2 不求值,判断下列三角函数值的符号. ? (1) cos 250? (2) sin(? ) (3) tan(?672?) (4) tan 3? . 4

y tan ? ? x

?

+
x

?

?

?

0

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终边相同

3.根据任意角三角函数的定义,终边相同 的角的同一三角函数值有什么关系? 角的终边与单位圆 同一函数值相等 的交点的坐标相同

公式一:终边相同的角的同一三角函数的值相等.

P( x, y) y sin(? ? k ? 2? ) ? sin ?

cos(? ? k ? 2? ) ? cos? x O k ? 2? )A t an( ?? ? t an (1, 0) ?
其中 k ? Z

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例2

9? 11? ;(3)tan( ? ) (1) sin 780? ;(2) cos 4 6

求下列三角函数值:

解:(1)

sin 780? ? sin( 60? ? 2 ? 360?)
3 60 ?sin ? sin(? ? ? k sin ? 2? )? ? 2

( 2)

(3) tan( ? ) ? tan( ? 2 ? ) ? tan ? tan ? k ? Z 其中6 6 6 6 3

9? ? ? 2 cos ?? cos( ?)2 ? cos ) ? cos ? cos(? k ? 2? ? ? 4 4 4 2 t an( ? ? k ?2 11? ?? ) ? t an? ? ? 3

小结:利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求

0 到 2? (或0?到360?)角的三角函数值.

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小结:通过本节课的学习,你对三角函数有什么新认识?

数形 类比 单位圆 任意角的三角函数 锐角三角函数 结合
作业: (1)书面作业:课本20页A组1、2、3题; (2)探究作业:证明任意角三角函数的“等价定义 ” 一般地,设角 ? 终边上任意一点的坐标为( x, y ) , 它与原点的距离为 r ,则

y x y sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? . (r ? x 2 ? y 2 ) r r x
(3)上网搜查:三角函数概念的发展历程,体会用 单位圆定义三角函数的优越性.

2016年8月11日星期四

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