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函数的值域


——星海实验中学 史霞芬

函数的值域
? 若A是函数 y ? f ( x) 的定义域,则对于A中的 每一个 x ,都有一个输出值 y 与之对应。 我们将所有输出值 y 组成的集合称为函数 的值域。

注意:函数的值域是一个集合!

高中阶段已学的几种重要函数的值域
1.一次函数 y ? kx ? b(k ? 0)

R
(??,0) ? (0, ??)
4ac ? b 2 a ? 0,[ , ??) 4a 4ac ? b 2 a ? 0, (??, ] 4a

k 2.反比例函数 y ? (k ? 0) x

2 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 3.二次函数

例题解析
例1.求下列函数的值域

(1) f ( x) ? ( x ?1) ?1, x ?{?1,0,1, 2,3}
2

(2) f ( x) ? ( x ?1) ? 1
2

总结:求函数的值域时要看清 定义域
解: (1)函数的定义域为{-1, 0, 1, 2,3},因为 f (?1) ? 5, f (0) ? 2, f (1) ? 1, f (2) ? 2, f (3) ? 5, 故值域为{1,2,5}
(2)函数的定义域R,又最小值是1 故值域为[1,+?).

例题解析
例2.求函数y ? x ? 4x ? 5, x ?[0,5]的值域
2

例题解析
变式:将上题中的x ?[0,5]变成x ?[-1,1 ),求值域

例题解析
例3.求函数y= 1 ? x ? x ? 1的值域
2 2

思考
求函数f (x) ? x ? 2 x ? 3,x ?[?5,2]的值域
2

你会画这个函 数的图像吗?


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