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高中数学必修一练习题及答案详解


一、选择题 1.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( 2 2 A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a +b =0



?1 x ? 1( x ? 0) ? 1 ?2 2.设函数 f ( x) ? ? 若 f ( f ( a )) ? ? ,则实数 a ? ( 2 ? 1 ( x ? 0) ? ?x

>A.4 B.-2 C.4 或 ?

)

1 2

D.4 或-2 )

3.已知集合 A ? { y | y ? ln( x2 ? 1), x ? R} ,则 C R A ? ( A. ? B. (??,0] C. (??,0) D. [0, ??)

x ?1 ? 1} ,集合 N ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 (CR M ) ? N ? ( x ?1 3 3 3 3 A. ( ? ,1) B. ( ? ,1] C. [ ? ,1) D. [ ? ,1] 2 2 2 2
4.已知集合 M ? {x | 5.设 a ? log2.8 3.1, b ? log? e, c ? loge ? ,则( A. a ? c ? b B. c ? a ? b C. b ? a ? c )

)

D. b ? c ? a ) D. (2,3)

6.函数 f ( x) ? 1 ? x log 2 x 的零点所在区间是( A. ( , )

1 1 4 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1, 2)

7.若幂函数 f ( x) 的图象经过点 A( , ) ,则它在 A 点处的切线方程为 (A) 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 (C) 2 x ? y ? 0 (B) 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 (D) 2 x ? y ? 0

1 1 4 2

x x 8.y= ( ) - 3 在区间[-1,1]上的最大值等于( )

1 5

A.3

B.

14 3
m

C.5

D.

16 3


9.已知幂函数 f ( x) ? x 的图象经过点(4,2) ,则 f (16) ? ( A. 2 2 B.4 C. 4 2
2

D.8 )

10.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0时f ( x) ? 2 x ? x ,则 f (1) = ( A.—3 B.—1 C.1 D.3
答案第 1 页,总 9 页

11.已知 log 2 5 ? a, log 2 7 ? b, 则 log 2 A. a3 ? b B. 3a ? b

125 ? ( 7
D.



C.

a3 b

3a b

x 12.设集合 M ? x x2 ? 2 x ? 3 ? 0 , N ? x 2 ? 2 ,则 M ? CR N 等于(

?

?

?

?



A. ?? 1,1?

B. (?1,0)
x

C. ?1,3?
?x

D. (0,1)

13.若 x log3 4 ? 1 ,则 4 ? 4 A. 1 B. 2 C.

? ()

8 3

D.

10 3


二、填空题 14.若 f ( x) ? 3x ? sinx ,则满足不等式 f (2m ? 1) ? f (3 ? m) ? 0 的m的取值范围为 15. lg 4 ? lg 25 ? 4
? 1 2

? (4 ? ???



? 1 x ?( ) , x ? 4 16.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (2 ? log2 3) 的值为 ? ? f ( x ? 1), x ? 4
17.函数 f ( x) ? sin( x ? 象 C 关于点 (

?
3

) 的图象为 C ,有如下结论:①图象 C 关于直线 x ?

4? ? 5? , 0) 对称;③函数 f ( x) 在区间 [ , ] 内是增函数。 3 3 6
.(写出所有正确结论的序号) .

5? 对称;②图 6

其中正确的结论序号是 18.设函数 f ( x) ? ? 三、解答题 19.已知 A ? {x | (1)求 A

?4 x ? 4,
2

x ?1

? x ? 4 x ? 3, x ? 1

,则函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 的零点个数为 2

个.

1 ? 3x ? 9} , B ? {x log2 x ? 0} . 3

B和A B;

(2)定义 A ? B ? {x x ? A 且 x ? B} ,求 A ? B 和 B ? A .

20.已知幂函数 y=f(x)经过点 ? 2, ? . (1)试求函数解析式;
答案第 2 页,总 9 页

? ?

1? 8?

(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间.

x x 21.画出函数 y= 3 -1 的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程 3 -1 =k 无解?有

一个解?有两个解?

22.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x .( a 为常数) (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (2)求函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最值;
n ? (3)试证明对任意的 n ? N 都有 ln(1 ? ) ? 1

1 n

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:是奇函数有 f(0)=0,得 b=0,f(-1)=-f(1) ,得 a=0,∴答案是 D. 考点:函数的奇偶性. 2.C

?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? 【解析】因为 f ( x) ? ? ,所以得到 ? 1 1 或 ?1 1 所以解得 x ? 1 或 x ? ?2 . 2 x ?1 ? ? ?? ? ? ?2 2 ?x 2
所以 f (a) ? 1 或 f (a) ? ?2 .当可 f (a) ? 1 时解得 a ? 4 .当 f (a) ? ?2 时可解得 a ? ? 【考点】1.复合函数的运算.2. 分类讨论的思想. 3.C 【解析】 试题分析: 因为 y ? ln( x ? 1) ? ln1 ? 0, 所以 A ? [0, ??), CR A ? (??,0]. 选 C.解这类问题,
2

1 . 2

需注意集合中代表元素,明确求解目标是定义域,还是值域. 考点:函数值域,集合补集 4.B
答案第 3 页,总 9 页

【解析】 试题分析:因为

x ?1 2 ? 3 ? ?1? ? 0 , ? x ? 1 , ? M ? ?1, ??? ,而 N ? ? ? , ?? ? , x ?1 x ?1 ? 2 ?

? (CR M )

? 3 ? ? 3 ? N ? ? ??,1? ? ? , ?? ? ? ? ? ,1? ,故选 B. ? 2 ? ? 2 ?

考点:1.分式不等式;2.一次不等式;3.集合的运算. 5.C 【解析】 试题分析:易知 0 ? b ? 1 ,1 ? a ? log2.8 3.1 ? log2.8 ? ,又 1 ? log ?2.8 ? log
?

e0 ? ,所以

1 ? log2.8 ? ? loge ? ? c ,∴ 1 ? a ? c ,∴ b ? a ? c ,故选 C
考点:1 对数函数的单调性;2 对数函数的图像。 6.C 【解析】 试题分析:解:

1 1 1 3 ?1? f ? ? ? 1 ? log 2 ? 1 ? ? ? 0 4 4 2 2 ?4?

1 1 1 3 ?1? f ? ? ? 1 ? log 2 ? 1 ? ? ? 0 2 2 2 2 ?2?

f ?1? ? 1 ? log2 1 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 f ? 2? ? 1 ? 2log2 2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? 0
根据函数的零点存在性定理可以判断,函数 f ( x) ? 1 ? x log 2 x 在区间 (1, 2) 内存在零点. 考点:1、对数的运算性质;2、函数的零点存在性定理. 7.B α 【解析】解:∵f(x)是幂函数,设 f(x)=x ∴图象经过点 A( , )

1 1 4 2

1 1 α =( ) 2 4 1 1 ∴α = ∴f(x)=x 2 2
∴ f'(x)=

1 2 x

它在 A 点处的切线方程的斜率为 f'(

1 )=1,又过点 A 4

所以在 A 点处的切线方程为 4x-4y+1=0
答案第 4 页,总 9 页

故选 B 8.B

1 5 14 时,函数有最大值 .故答案为 B. 3
9.B 【解析】

x x 【解析】解:由 y= ( ) 是减函数,y=3 是增函数,可知 y= ( ) - 3 x 是减函数,故当 x=-1
x

1 5

试题分析:因为幂函数 f ( x) ? x 的图象经过点(4,2) ,所以有 2 ? 4 ,解得 m ?
m
m

1 ,所 2

以 f (16) ? 4 . 考点:幂函数解析式与图象. 10.A 【解析】 试题分析:由 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时f ( x) ? 2 x ? x ,
2

得 f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1)2 ? (?1)] ? ?3 ,选 A. 考点:函数的奇偶性 11. B 【解析】 试 题 分 析





















,



log 2

125 ? log 2 125 ? log 2 7 ? log 2 5 3 ? log 2 7 ? 3 log 2 5 ? log 2 7 ? 3a ? b . 7

考点:对数的运算法则. 12.C 【解析】 试题分析:直接化简得 M ? ?x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0? ? (?1,3) , N ? (??,1) , CR N ? [1, ??) ,利用 数轴上可以看出 M

CR N ? [1,3) .

考点:1、集合的交集、补集;2、一元二次不等式;3、指数函数单调性. 13. D 【解析】
x 试题分析:由 x log3 4 ? 1 得 4 ? 3 ,所以 4 ? 4
x ?x

? 3?

1 10 ? . 3 3

考点:指对数式的互化,指数运算法则. 14.m>-2 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? 3x ? sinx 的定义域为 R 关于原点对称切满足 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数 , 又 因 为 f '(x ) ? 3? cosx>0 , 所 以 函 数 f(x) 在 R 上单 调 递 增 . 则
答案第 5 页,总 9 页

f (2m ?1) ? f (3 ? m) ? 0 ? f (2m ? 1) ? ? f (3 ? m) ? f (2m ?1) ? f (m ? 3) ? 2m ? 1 ? m ? 3 ? m>-2,故填 m>-2.
考点:奇偶性 单调性 不等式 15.

3 2

【解析】 试题分析:原式= lg100 ? 2 考点:指数与对数 16.

? ?

1 2 ?2

?1 ? 2 ?

1 3 ?1 ? 2 2

1 24
解 析 】 解 : 因 为 函 数



? 1 x ?( ) , x ? 4 f ( x) ? ? 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 4





1 f (2 ? log 2 3) ? f (3 ? log 2 3) ? ( )3? 2
17.①②③ 【解析】 试题分析: ①把 x ?

2

l

?

1 24
o

g

3

?
6

代入 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? 5? ? 得: f ? 3? ? 6

? ? ? 5? ? ? ? ? ? sin ? 1 , ? ? sin ? 2 ? ? 6 3?

所以图象 C 关于直线 x ? ②把 x ?

5? 对称; 6

4? 3

代入 f ? x? ? sin ? x ?

? ?

??

? 5? ? 得: f ? 3? ? 6

? ? 4? ? ? ? ? ? sin ? ? 0 , 所以图 ? ? sin ? ? ? 3 3?

象 C 关于点 ?

? 4? ? , 0 ? 对称; ? 3 ?
的 单 调 增 区 间 为

?? ? f ? x ? ? sin ? x ? ? 3? ?
x?

?

? 5? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? ? x ? ?? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? , 取 k ? 0 3 ? 2 2 6 ? ? 6 ?
? ? 5? ? ? ? 5? ? ? ? 5? ? , ? ,显然有 ? , ? ? ? ? , ? . ?3 6 ? ? 6 6 ? ? 6 6 ?

得到一个增区间 ? ?

考点:三角函数的对称轴及对称中心的性质,三角函数的单调区间求法.
答案第 6 页,总 9 页

18.3 【解析】将 f ( x) ? ?

?4 x ? 4,
2

x ?1

? x ? 4 x ? 3, x ? 1

的图象向上平移个单位得 g ( x) 的图象,由图象可知,

g ( x) 有 3 个零点.
y
2 1

x
–4 –3 –2 –1

O
–1 –2

1

2

3

–3 考点:函数的零点 .

19. (1 )A –4

(2) A ? B ? ? ?1,1? , B ? A ? ? 2, ??? . B ? (1, 2) , A B ? (?1, ??) ;

–5 【解析】 试题分析: (1)分别求出 A 与 B 中不等式的解集,然后根据交集、并集的定义求出 A 和 A B ;﹙2﹚根据元素与集合的关系,由新定义求得 A ? B 和 B ? A .

B

试题解析: (1) A ? {x ? 1 ? x ? 2} , B ? {x x ? 1} ,

A B ? (1, 2) ; A B ? (?1, ??) .
(2) A ? B ? ? ?1,1? , B ? A ? ? 2, ??? . 考点:1、指数与对数不等式的解法;2、集合的运算;3、创新能力. 20. (1)f(x)=x (2) ? ??,0? , ? 0, ???
-3

【解析】(1)由题意,得 f(2)=2 = 故函数解析式为 f(x)=x .
-3

a

1 8

a=-3,

(2)定义域为 ? ??,0? ∪ ? 0, ??? ,关于原点对称, 因为 f(-x)=(-x) =-x =-f(x),故该幂函数为奇函数. 其单调减区间为 ? ??,0? , ? 0, ??? 21.当 k=0 或 k≥1 时,方程有一个解;当 0<k<1 时,方程有两个解.
-3 -3

答案第 7 页,总 9 页

【解析】由图知,当 k<0 时,方程无解;当 k=0 或 k≥1 时,方程有一个解;当 0<k<1 时, 方程有两个解.

22.解(1)当 a ? 1 时,函数 f ( x ) = x ? ln x ∵ f '( x) ? 1 ?

, x ? (0, ??)

1 ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 x
∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上为减函数 ∴函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上为增函数

∵当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 ∵当 x ? (1, ??) 时 f '( x) ? 0

∴当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 有最小值, f ( x)最小值 ? f (1) ? 1 (2)∵ f '( x) ? a ?

1 x

若 a ? 0 ,则对任意的 x ? [1, ??) 都有 f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上为减函数 ∴函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上有最大值,没有最小值, f ( x)最大值 ? f (1) ? a ; 若 a ? 0 ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 当 0 ? a ? 1 时,

1 a

1 1 1 ? 1 ,当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (1, ) 上为减函数 a a a 1 1 当 x ? ( , ??) 时 f '( x) ? 0 ∴函数 f ( x ) 在 ( , ??) 上为增函数 a a 1 1 1 ∴当 x ? 时,函数 f ( x ) 有最小值, f ( x)最小值 ? f ( ) ? 1 ? ln a a a 1 当 a ? 1 时, ? 1 在 [1, ??) 恒有 f '( x) ? 0 a
∴函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上为增函数, 函数 f ( x ) 在 [1, ??) 有最小值, f ( x)最小值 ? f (1) ? a . 综上得:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上有最大值, f ( x)最大值 ? a ,没有最小值; 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 有最小值, f ( x)最小值 ? 1 ? ln

1 ,没有最大值; a

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在 [1, ??) 有最小值, f ( x)最小值 ? a ,没有最大值.

答案第 8 页,总 9 页

(3)由(1)知函数 f ( x ) = x ? ln x 在 (0, ??) 上有最小值 1 即对任意的 x ? (0, ??) 都有 x ? ln x ? 1 ,即 x ? 1 ? ln x , 当且仅当 x ? 1 时“=”成立

n ?1 n ?1 ? 0且 ?1 n n n ?1 n ?1 1 n ?1 1 1 ? 1 ? ln ? ? ln ? 1 ? n ln(1 ? ) ? 1 ? ln(1 ? ) n ∴ n n n n n n 1 n ∴对任意的 n ? N ? 都有 ln(1 ? ) ? 1 . n
∵ n? N? ∴ 【解析】略 23.解 (1)

? a >0



ax 2 ? 1 ? 0 ? x ? R

?

定义域为 (??,??) ?

f ( ? x) ?

b ? ( ? x) bx ?? 2 ? ? f ( x) 2 a (? x) ? 1 ax ? 1

? f ( x)是奇函数
(2)

? f (1) ?

b 1 ? a ?1 2

1 ① 又? log 3 (4a ? 1) ? log 2 4 ? 1 2

? 4a ? b ? 3



由 ① ②得 a ? 1, b ? 1

答案第 9 页,总 9 页


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