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2016年陕西省西安中学高考数学仿真试卷(理科)(1)(解析版)


2016 年陕西省西安中学高考数学仿真试卷(理科) (1)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z=( )2014,则在复平面内 z﹣i 所对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知 A. B. C. D.

) ) ,则 tan2α=( )

3.若命题“? x0∈R,使得 x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.[2,6] B.[﹣6,﹣2] C. (2,6) D. (﹣6,﹣2) 4. 2, 9 这 9 个数平均分成三组, …, 将 1, 则每组的三个数都可以成等差数列的概率为 ( A. B. C. D.

5.已知双曲线

的一条渐近线方程是 )

,它的一个焦点在

抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( A. B.

C.

D.

6.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3,AC=4,AB⊥AC, AA1=12,则球 O 的半径为( ) A. B. C. D. ,点 P 为 BC 边所在直线上的一个动点,则

7.已知△ABC 中,AB=AC=4,BC= 满足( ) A.最大值为 16 B.最小值为 4 C.为定值 8 D.与 P 的位置有关

8.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) ,其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f( 且 f( )>f(π) ,则 f(x)的单调递增区间是( ,kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ](k∈Z) B.[kπ,kπ+ D.[kπ﹣ ) ](k∈Z)

)|对 x∈R 恒成立,

A.[kπ﹣ C.[kπ+

,kπ](k∈Z)

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9.如图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是(



A.3

B.4

C.5

D.6 )

10.使得(3x+

)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为(

A.4 B.5 C.6 D.7 11.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体, 则有( )

A.V1<V2<V4<V3 B.V1<V3<V2<V4 C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3<V1<V4 12.设[x]表示不超过 x 的最大整数(如[2]=2,[ ]=1) ,对于给定的 n∈N*,定义 x∈[1, , +∞) , 则当 x∈ A. D. B. C. 时, 函数 [28,56) 的值域是 ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡的相应位置上.) 13.已知数列{an}满足:a1=2,an+1= S2014= . ,猜想数列{an}的前 2014 项的和

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14.椭圆 C:

+

=1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取 .

值范围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是 15. y 满足约束条件 设变量 x、

, 则目标函数 z=4x?8y 的最大值为



16. M 是 BC 的中点, △ABC 中, ∠C=90°, 若

, 则 sin∠BAC=



三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n 有 + +… + < . =an+1﹣ n2﹣n﹣ ,n∈N*.

18.如图,在多面体 ABCDE 中,DB⊥平面 ABC,AE∥DB,且△ABC 是边长为 2 的等边 三角形,AE=1,CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为 (1)若 F 是线段 CD 的中点,证明:EF⊥面 DBC; (2)求二面角 D﹣EC﹣B 的平面角的余弦值. .

19.某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所 示茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶) : (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ξ 表示抽到“极幸福”的人数,求 ξ 的分布列及数学期望.

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20.已知抛物线 y2=px(p>0)与直线 y=﹣x﹣1 相切. (1)求抛物线标准方程,及其准线方程; (2)若 P、Q 是抛物线上相异的两点,且 P、Q 的中点在直线 x=1 上,试证:线段 PQ 的垂 直平分线恒过定点 T. 21.已知函数 f(x)=x2lnx (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,存在唯一的 s,使 t=f(s) ; (3)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s=g(t) ,证明:当 t>e2 时,有 0< < .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请 写清题号.【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,半圆 O 的直径 AB 的长为 4,点 C 平分弧 AE,过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 D, 交 AE 干 F. (Ⅰ)求证:CE2=AE?AF: (Ⅱ)若 AE 是∠CAB 的角平分线,求 CD 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+3=0. (1)求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (1)若不等式 f(x)≤a 的解集为(﹣∞,1) ,求 a 的值; (2)若 g(x)= 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

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2016 年陕西省西安中学高考数学仿真试卷(理科) (1)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z=( )2014,则在复平面内 z﹣i 所对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简 ﹣i 所对应的点的坐标,则答案可求. 【解答】解:由 = , ,求出 z,进一步求出在复平面内 z

得 z=(

)2014=i2014=(i2)1007=﹣1.

∴z﹣i=﹣1﹣i. 则在复平面内 z﹣i 所对应的点的坐标为: (﹣1,﹣1) ,位于第三象限. 故选:C.

2.已知 A. B. C. D.

,则 tan2α=(



【考点】二倍角的正切;同角三角函数间的基本关系. 【分析】由题意结合 sin2α+cos2α=1 可解得 sinα,和 cosα,进而可得 tanα,再代入二倍角的 正切公式可得答案. 【解答】解:∵ ,又 sin2α+cos2α=1,

联立解得

,或

故 tanα=

=

,或 tanα=3,

代入可得 tan2α=

=

=﹣ ,

或 tan2α=

=

=
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故选 C 3.若命题“? x0∈R,使得 x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是( ) A.[2,6] B.[﹣6,﹣2] C. (2,6) D. (﹣6,﹣2) 【考点】特称命题;命题的真假判断与应用. 【分析】先写出原命题的否定,再根据原命题为假,其否定一定为真,利用不等式对应的是 二次函数,结合二次函数的图象与性质建立不等关系,即可求出实数 m 的取值范围. 【解答】解:命题“? x0∈R,使得 “? x0∈R,都有 由于命题“? x0∈R,使得 则其否定为:“? x0∈R,都有 ∴△=m2﹣4(2m﹣3)≤0,解得 2≤m≤6. 则实数 m 的取值范围是[2,6]. 故选 A. 4. 2, 9 这 9 个数平均分成三组, …, 将 1, 则每组的三个数都可以成等差数列的概率为 ( A. B. C. D. ) ”, ”为假命题, ”,为真命题, ”的否定为:

【考点】等差关系的确定;等可能事件的概率. 【分析】先把 9 个数分成 3 组,根据排列组合的性质可求得所有的组的数,然后把三个数成 等差数列的组,分别枚举出来,可知共有 5 组,然后利用概率的性质求得答案. 【解答】解:9 个数分成三组,共有 组,其中每组的三个数均成等差数列,有{(1,

2,3) , (4,5,6) , (7,8,9)}、{(1,2,3) , (4,6,8) , (5,7,9)}、{(1,3,5) , 2 4 6 7 8 9 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1 5 9 2 3 ( , , ) , ( , , )}、{( , , ) , ( , , ) , ( , , )}、{( , , ) , ( , , 4) , (6,7,8)},共 5 组. ∴所求概率为 故选 A .

5.已知双曲线

的一条渐近线方程是 )

,它的一个焦点在

抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( A. B.

C.

D.
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【考点】双曲线的标准方程. 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为 x=﹣6,而通过双曲线的标准方程可见其焦点 在 x 轴上,则双曲线的左焦点为(﹣6,0) ,此时由双曲线的性质 a2+b2=c2 可得 a、b 的一个 方程;再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± x,可得 = 另一个方程.那么只需解 a、b 的方程组,问题即可解决. 【解答】解:因为抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=﹣6, 则由题意知,点 F(﹣6,0)是双曲线的左焦点, 所以 a2+b2=c2=36, 又双曲线的一条渐近线方程是 y= x, 所以 , ,则得 a、b 的

解得 a2=9,b2=27, 所以双曲线的方程为 故选 B. 6.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3,AC=4,AB⊥AC, AA1=12,则球 O 的半径为( ) A. B. C. D. .

【考点】球内接多面体;点、线、面间的距离计算. 【分析】通过球的内接体,说明几何体的侧面对角线是球的直径,求出球的半径. 【解答】解:因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3,AC=4, AB⊥AC,AA1=12, 所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面 B1BCC1,经过球的球心,球的直 径是其对角线的长, 因为 AB=3,AC=4,BC=5,BC1= 所以球的半径为: 故选 C. 7.已知△ABC 中,AB=AC=4,BC= 满足( ) A.最大值为 16 B.最小值为 4 C.为定值 8 D.与 P 的位置有关 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】取 BC 的中点 D,则 AD= 故 =2 ? ,由此能求出结果. =2, =2,由平行四边形法则, =2 , ,点 P 为 BC 边所在直线上的一个动点,则 . ,

【解答】解:取 BC 的中点 D,则 AD=
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=2 由平行四边形法则, ∴ =2 ? =2×| |×| |cos∠PAD =2| |2 =2×4 =8. 故选 C



8.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) ,其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f( 且 f( )>f(π) ,则 f(x)的单调递增区间是( ,kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ](k∈Z) B.[kπ,kπ+ D.[kπ﹣ ) ](k∈Z)

)|对 x∈R 恒成立,

A.[kπ﹣ C.[kπ+

,kπ](k∈Z)

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由若 对 x∈R 恒成立,结合函数最值的定义,我们易得 f( )

等于函数的最大值或最小值,由此可以确定满足条件的初相角 φ 的值,结合 ,易求出满足条件的具体的 φ 值,然后根据正弦型函数单调区间的求法, 即可得到答案. 【解答】解:若 则 f( 即 2× 则 φ=kπ+ 又 即 sinφ<0 令 k=﹣1,此时 φ= 令 2x 解得 x∈ 故选 C ∈[2kπ﹣ ,满足条件 ,2kπ+ ],k∈Z 对 x∈R 恒成立,

)等于函数的最大值或最小值 +φ=kπ+ ,k∈Z ,k∈Z

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9.如图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是(



A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】程序框图. 【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件 k<6,跳出循环,计算输出 T 的 值. 【解答】解:由程序框图知:第一次循环 sin 第二次循环 sinπ=0<sin 第三次循环 sin =1>sin0=0,a=1,T=1,k=2;

=1,a=0,T=1,k=3;

=﹣1<sinπ=0,a=0,T=1,k=4; =﹣1,a=1,T=2,k=5;

第四次循环 sin2π=0>sin 第五次循环 sin

=1>sin2π=0,a=1,T=3,k=6.

不满足条件 k<6,跳出循环,输出 T=3. 故选:A. )n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( C.6 D.7

10.使得(3x+ A.4 B.5



【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用二项展开式的通项公式 Tr+1=3n﹣r? 求得展开式中含有常数项的最小的 n. 【解答】解:设 则:Tr+1=3n﹣r? ?xn﹣r? (n∈N+)的展开式的通项为 Tr+1, =3n﹣r? ? , ? ,令 x 的幂指数 n﹣ r=0 即可

令 n﹣ r=0 得:n= r,又 n∈N+, ∴当 r=2 时,n 最小,即 nmin=5. 故选 B. 11.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体, 则有( )
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A.V1<V2<V4<V3 B.V1<V3<V2<V4 C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3<V1<V4 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状,分别求出几何体的体积,即可判断出正 确选项. 【解答】解:由题意以及三视图可知,该几何体从上到下由:圆台、圆柱、正四棱柱、正四 棱台组成, 体积分别记为 V1= V2=12×π×2=2π, V3=2×2×2=8 V4= ∵ ∴V2<V1<V3<V4 故选 C. 12.设[x]表示不超过 x 的最大整数(如[2]=2,[ ]=1) ,对于给定的 n∈N*,定义 x∈[1, , +∞) , 则当 x∈ A. D. 【考点】函数的值域. 【分析】将区间 分为[ ,2) 、[2,3)两段分别考虑进行求值. B. C. 时, 函数 [28,56) 的值域是 ( ) , = ; = .

【解答】解:当 x∈

时,

,当 x→2 时,[x]=1,所以



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当[2,3)时, 故函数 C8x 的值域是 故选 D.

,当 x→3 时,[x]=2, .



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡的相应位置上.) 13. a1=2, an+1= 已知数列{an}满足: 【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】利用数列的递推关系,可求得 a2、a3、a4,从而发现数列{an}是以 3 为周期的数列, 从而可求得答案. 【解答】解:∵a1=2,an+1= ∴a2= , , , 猜想数列{an}的前 2014 项的和 S2014= .

a3=



a4= …



∴数列{an}是以 3 为周期的数列, 又 S3=a1+a2+a3=2+ = , +2= .

∴S2014=S2013+a2014=671× +a1= 故答案为: .

14.椭圆 C:

+

=1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取 [ , ] .

值范围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由题意求 A1、A2 的坐标,设出点 P 的坐标,代入求斜率,进而求 PA1 斜率的取值 范围. 【解答】解:由椭圆的标准方程可知, 左右顶点分别为 A1(﹣2,0) 、A2(2,0) , 设点 P(a,b) (a≠±2) ,则
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…①,

=



=





=

?

=



将①式代入得 ∵ ∴ ∈[﹣2,﹣1], ∈[ , ].

=﹣ ,

故答案为:[ , ].

15.设变量 x、y 满足约束条件

,则目标函数 z=4x?8y 的最大值为 512 .

【考点】简单线性规划. 【分析】 作出不等式组对应的平面区域, 根据指数幂的运算法则先化简 z, 然后令 m=2x+3y, 利用 m 的几何意义以及利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:z=4x?8y=z=22x?23y=22x+3y, 设 m=2x+3y 作出不等式组对应的平面区域如图: 由 m=2x+3y 得 y=﹣ x+ m, 平移直线 y=﹣ x+ m,由图象可知当直线 y=﹣ x+ m 经过点 B 时, 直线 y=﹣ x+ m 的截距最大,此时 z 最大,





,即 B(3,1) ,

此时 mmax=2×3+3×1=9, 则 zmax=29=512, 故答案为:512.

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16.△ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点,若 【考点】正弦定理.

,则 sin∠BAC=



【分析】作出图象,设出未知量,在△ABM 中,由正弦定理可得 sin∠AMB=

,进而可

得 cosβ=

,在 RT△ACM 中,还可得 cosβ=

,建立等式后可得 a=

b,再由

勾股定理可得 c= 【解答】解:如图

,而 sin∠BAC═

= ,代入化简可得答案.

设 AC=b,AB=c,CM=MB= ,∠MAC=β,

在△ABM 中,由正弦定理可得

=



代入数据可得

=

,解得 sin∠AMB=



故 cosβ=cos(

﹣∠AMC)=sin∠AMC=sin(π﹣∠AMB)=sin∠AMB=



而在 RT△ACM 中,cosβ=

=



故可得 解之可得 a=

=

,化简可得 a4﹣4a2b2+4b4=(a2﹣2b2)2=0, ,

b,再由勾股定理可得 a2+b2=c2,联立可得 c= = = = ,

故在 RT△ABC 中,sin∠BAC= 故答案为:

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三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n 有 + +… + < . =an+1﹣ n2﹣n﹣ ,n∈N*.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)利用 =an+1﹣ n2﹣n﹣ ,代入计算,即可求 a2 的值;

(2)再写一式,两式相减,即可求数列{an}的通项公式; (3)分类讨论,证明当 n≥3 时,n2>(n﹣1)?(n+1) ,可得 用裂项法求和,可得结论. 【解答】 (1)解:∵ =an+1﹣ n2﹣n﹣ ,n∈N?. < ,利

∴当 n=1 时,2a1=2S1=a2﹣ ﹣1﹣ =a2﹣2. 又 a1=1,∴a2=4. (2)解:∵ =an+1﹣ n2﹣n﹣ ,n∈N?.

∴2Sn=nan+1﹣ n3﹣n2﹣ n =nan+1﹣ ,① ,②

∴当 n≥2 时,2Sn﹣1=(n﹣1)an﹣

由①﹣②,得 2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣(n﹣1)an﹣n(n+1) , ∵2an=2Sn﹣2Sn﹣1,∴2an=nan+1﹣(n﹣1)an﹣n(n+1) , ∴ ∴ ﹣ =1,∴数列{an}是以首项为 1,公差为 1 的等差数列.

=1+1×(n﹣1)=n,∴an=n2(n≥2) ,

当 n=1 时,上式显然成立.∴an=n2,n∈N*. (3)证明:由(2)知,an=n2,n∈N*,
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①当 n=1 时, ②当 n=2 时,

=1< ,∴原不等式成立. + =1+ < ,∴原不等式成立.

③当 n≥3 时,∵n2>(n﹣1)?(n+1) , ∴ ∴ < + +…+ <1+ , + +… + ﹣ + + ﹣ )

=1+ ( ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ =1+ ( ﹣ ﹣ )< ,

∴当 n≥3 时,∴原不等式亦成立. 综上,对一切正整数 n,有 + +… + < .

18.如图,在多面体 ABCDE 中,DB⊥平面 ABC,AE∥DB,且△ABC 是边长为 2 的等边 三角形,AE=1,CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为 (1)若 F 是线段 CD 的中点,证明:EF⊥面 DBC; (2)求二面角 D﹣EC﹣B 的平面角的余弦值. .

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 【分析】 (1)取 AB 的中点 O,连结 OC,OD,则 OC⊥面 ABD,∠CDO 即是 CD 与平面 ABDE 所成角.求出 BD=2.以 O 为原点,建立空间直角坐标系.取 BC 的中点为 G,则 AG⊥面 BCD,利用 ,证明 EF⊥面 DBC. (2)求出平面 DEC 的一个法向量和平面 BCE 的一个法向量.利用两个法向量的夹角求二 面角 D﹣EC﹣B 的平面角 【解答】解: (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OD. DB DB? 面 ABD, ∵ ⊥平面 ABC, 根据直线和平面垂直的判定定理得, 面 ABD⊥平面 ABC. 取 AB 的中点 O,连结 OC,OD. ∵△ABC 是等边三角形,∴OC⊥AB, 根据平面和平面垂直的性质定理得则 OC⊥面 ABD, ∴OD 是 CD 在平面 ABDE 上的射影,
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∴∠CDO 即是 CD 与平面 ABDE 所成角. ∴sin∠CDO= ,而 OC= ,

∴CD=2 ,∴BD=2. 取 ED 的中点为 M,以 O 为原点,OC 为 x 轴,OB 为 y 轴,OM 为 z 轴建立如图空间直角 坐标系,则 A(0,﹣1,0) , , 取 BC 的中点为 G,则 G( , ,0) ,则 AG⊥面 BCD,因为 , 所以 ,所以 EF⊥面 DBC. (2)解:由上面知:BF⊥面 DEC, 又 ,

取平面 DEC 的一个法向量

设平面 BCE 的一个法向量

,则





所以

,令 x=1,则 y=

,z=2



由此得平面 BCE 的一个法向量





,所以二面角 D﹣EC﹣B 的平面角的余弦值





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19.某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所 示茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶) : (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ξ 表示抽到“极幸福”的人数,求 ξ 的分布列及数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;众数、中位数、平均数. 【分析】 (1)根据所给的茎叶图看出 16 个数据,找出众数和中位数,中位数需要按照从小 到大的顺序排列得到结论. (2)由题意知本题是一个古典概型,至多有 1 人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零 个人是极幸福,根据古典概型公式得到结果. (3) 由于从该社区任选 3 人, 记 ξ 表示抽到“极幸福”学生的人数, 得到变量的可能取值是 0、 1、2、3,结合变量对应的事件,算出概率,写出分布列和期望. 【解答】解: (1)由茎叶图得到所有的数据从小到大排,8.6 出现次数最多, ∴众数:8.6;中位数:8.75; (2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A,则

(3)ξ 的可能取值为 0、1、2、3. ; ξ 的分布列为 ξ 0 P 七彩教育网 所以 Eξ= 另解:ξ 的可能取值为 0、1、2、3.则 ξ 的分布列为 ξ 0 . ,



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2

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P 所以 Eξ= .

20.已知抛物线 y2=px(p>0)与直线 y=﹣x﹣1 相切. (1)求抛物线标准方程,及其准线方程; (2)若 P、Q 是抛物线上相异的两点,且 P、Q 的中点在直线 x=1 上,试证:线段 PQ 的垂 直平分线恒过定点 T. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)由抛物线 y2=px(p>0)与直线 y=﹣x﹣1 联立可得 x2+(2﹣p)x+1=0,由直 线和抛物线相切知△=0,求出 p,即可求抛物线标准方程,及其准线方程; (2)分类讨论,由已知条件推导出 PQ 的垂直平分线方程,由此能证明线段 PQ 的垂直平 分线恰过定点. 【解答】解: (1)由抛物线 y2=px(p>0)与直线 y=﹣x﹣1 联立可得 x2+(2﹣p)x+1=0, 由直线和抛物线相切知,△=(2=p)2﹣4=0,解得 p=0(舍)或 p=4, ∴抛物线方程为 y2=4x,其准线方程为 x=﹣1. (2)证明:因为 P、Q 是抛物线 y2=4x 上不同的两点,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 又因为 PQ 的中点在直线 x=1 上,所以 PQ 的中点 N(1, )

①当 PQ 的斜率存在时,由 kPQ=

=



可得 PQ 的垂直平分线的斜率 k=﹣



所以 PQ 的垂直平分线的方程为 y﹣

=﹣

(x﹣1)

整理得

(x﹣3)+y=0,

令 x﹣3=0,得 x=3,y=0. 所以当 PQ 的斜率存在时,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 T(3,0) . ②当 PQ 的斜率不存在时,M(1,0) ,PQ 的垂直平分线是 x 轴,仍过定点 T(3,0) . 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 T(3,0) . 21.已知函数 f(x)=x2lnx (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,存在唯一的 s,使 t=f(s) ; (3)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s=g(t) ,证明:当 t>e2 时,有 0< 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
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< .

【分析】 (1)函数的定义域为(0,+∞) ,求导数令 f′(x)=0,然后判断其单调性; (Ⅱ)当 0<x≤1 时,f(x)≤0,设 t>0,令 h(x)=f(x)﹣t,x∈[1,+∞) ,由(Ⅰ) 可得函数 h(x)的单调性,可得结论; (Ⅲ)令 u=lns,原命题转化为 0<lnu< ,一方面由 f(s)的单调性,可得 u>1,从而 lnu >0 成立,进而得证. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知函数的定义域为(0,+∞) , 求导数可得 f′(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1) , 令 f′(x)=0,可解得 x= ,

当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0, ﹣ 单调递减 ) 0 极小值 ( ,+∞)

+ 单调递增 ,+∞) ;

所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,

) ,单调递增区间为(

(Ⅱ)证明:当 0<x≤1 时,f(x)≤0,设 t>0,令 h(x)=f(x)﹣t,x∈[1,+∞) , t 2t t 由(Ⅰ)可知,h(x)在区间(1,+∞)单调递增,h(1)=﹣t<0,h(e )=e lne ﹣t=t(e2t ﹣1)>0, 故存在唯一的 s∈(1,+∞) ,使得 t=f(s)成立; (Ⅲ)证明:因为 s=g(t) ,由(Ⅱ)知,t=f(s) ,且 s>1, 从而 其中 u=lns, 要使 0< < 成立,只需 lnu>0, = = = =

当 t>e2 时,若 s=g(t)≤e,则由 f(s)的单调性,有 t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾, ∴s>e,即 u>1,从而 lnu>0 成立, ∴当 t>e2 时,有 0< < .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请 写清题号.【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,半圆 O 的直径 AB 的长为 4,点 C 平分弧 AE,过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 D, 交 AE 干 F. (Ⅰ)求证:CE2=AE?AF: (Ⅱ)若 AE 是∠CAB 的角平分线,求 CD 的长.

【考点】相似三角形的判定;相似三角形的性质.
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【分析】 (I)利用点 C 平分 ,可得 ,CE=CA,∠CAE=∠CEA=∠FCA,进而得到 △AFC∽△ECA.即可得出. (II)由 AE 平分∠CAB,可得∠BAE=∠EAC=∠CEA,可得 CE∥AB,于是∠ECD=90°, ∠CAB=60°,即可得出. 【解答】 (I)证明:∵点 C 平分 ,∴ ,∴CE=CA, ∴∠CAE=∠CEA=∠FCA, ∴△AFC∽△ECA. ∴ ,

∴CE2=AE?AF. (II)解:∵AE 平分∠CAB,∴∠BAE=∠EAC=∠CEA, ∴CE∥AB, ∴∠ECD=90°,∠BAE=∠EAC=∠CEA=30°, ∴∠CAB=60°, ∴CD=2sin60°= . 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+3=0. (1)求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围. 【考点】参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系;点的极坐标和直角坐标的互化. 【分析】 (1)利用直角坐标与极坐标间的关系:ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即 得 C 的直角坐标方程,将直线 l 的参数消去得出直线 l 的普通方程. (2)求出圆心到直线的距离 d,结合圆的性质即可求得点 P 到直线 l 的距离的取值范围. 【解答】解: (1)由 ρ2﹣4ρcosθ+3=0,化为直角坐标方程:x2+y2﹣4x+3=0, 即曲线 C 的方程为 x2+y2﹣4x+3=0, 由直线 l 的参数方程为 (t 为参数)消去 t,得直线 l 的方程是: x﹣y+3 =0…

(2)曲线 C 的标准方程为 (x﹣2)2+y2=1,圆心 C(2,0) ,半径为 1. ∴圆心 C 到直线 l 的距离为:d= 所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围是[ = ﹣1, . …

+1].

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (1)若不等式 f(x)≤a 的解集为(﹣∞,1) ,求 a 的值; (2)若 g(x)= 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.
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【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)画出 f(x)的图象,根据图象求出 a 的值即可; (2)问题转化为 y=f(x)的图象与 y=﹣m 无交点,根据图象求出 m 的范围即可.

【解答】解: (1)f(x)=



其图象如图所示:

由图可知当 x=1 时,y=1,故 a=1. (2)由题意得 f(x)+m≠0 在 R 上恒成立, 即 f(x)+m=0 在 R 上无实数解, 即 y=f(x)的图象与 y=﹣m 无交点, ∴﹣m<﹣3 或﹣m>3, ∴m>3 或 m<﹣3.

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2016 年 8 月 26 日

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