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四川省成都市六校协作体2014-2015学年高二数学下学期期中联考试题 文


成都市六校协作体高 2013 级第四学期期中试题 文科数学
(全卷满分:150 分 完成时间:120 分钟) 注意事项: 选择题答案用铅笔涂写在机读卡上 ,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑.其 它题答在答题卷上. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符

合题目要求的.) 1.一人连续投掷硬币两次,事件“至少有一次为正面”的互斥事件是 A.至多有一次为正面 B.两次均为正面 C.只有一次为正面 D.两次均为反面 ( ▲ )

?4),则它的标准方程为 ( ▲ ) 2.已知等轴双曲线经过点 M (5,

x2 y2 ? ?1 9 A. 9 x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1 9 9 9 C. 9
2

y2 x2 ? ?1 9 B. 9 x2 y2 ? ?1 D. 41 41
( ▲ )

3.已知 f ( x) ? x ? 3xf '(1) ,则 f '(1) 为 A.-1 B.-2 C .0 D.1

4.下列有关命题的说法正确的是 ( ▲ ) A.命题“若 x2>1,则 x>1”的否命题为“若 x2>1,则 x ? 1 ”. B. “x=-1”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件. C.命题 ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题.

x2 y2 ? ?1 2 3 5.若双曲线 a 的离心率为 2,则此双曲线的顶点到渐 近线的距离等于

( ▲ )

A. 2

B.

3 2

3 C. 2

D.

3

E:
6.已知椭圆

x2 y2 + =1 a 2 b2 的左右焦点分别为 F1,F2,过右焦点 F2 作 x 轴的垂线,交椭圆
( ▲ )
-1-

于 A,B 两点.若等边△ABF1 的周长为 4 3 ,则椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 2 A. 3

x2 y2 ? ?1 6 B. 3

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 3 4 C. 2 D. 9

7.已知函数 y ? f ( x) 的图象是下列四个图象之一,

y ? f ?( x)

? 且其导函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示,则该函
数的图象可能是 ( ▲ ) 6 题图

A

B

C

D

8.已知 A ? {x |1 ? x ? 5} , B ? {x | ( x ? a ? 1)( x ? a ? 1) ? 0} ,条件 p: x ? A , 条件 q: x ? B ,若

? p 是 ? q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 ( ▲ )

A. (2, 4]

B. [2, 4]

C.

? 2, 4?

D.

? 2,4 ?
否 y=x+3

开始 输入x x≥0? 是 y=x-5 是 x>0? 否 y=0

1 y ? x 3 ? bx 2 ? (b ? 6) x ? 3 3 9.已知 在 R 上存在三个
单调区间,则 b 的取值范围是( ▲ ) A. b ? -2或b ? 3 C. ? 2 ? b ? 3 B. - 2 ? b ? 3 D. b ? -2或b ? 3

输出y 结束

10 题图 10.执行如图所示的程序框图,在集合 A ? { x ? Z | ?9 ? x ? 10 }

3] 中随机地取一个数值作为 x 输入,则输出的 y 值落在区间[?4,
内的概率为( ▲ ) 2 3 A. 3 B. 4
4 C. 5 5 D. 6
-2-

x2 y2 + 2 =1 2 b 11.已知椭圆 a 的左右焦点分别为 F1,F2,椭圆上存在点 P,使得∠F1PF2=60°,则
椭圆的离心率的取值范围是 ( ▲ )

? 1? ? 0, ? A. ? 2 ?

?1 ? , 1? ? 2 ? ? B.

? 1? ? 0, ? C. ? 2 ?

? 3 ? 1? ? , 2 ? D. ?
,则 (a ? c) ? (b ? d ) 的
2 2

12.若实数 a,b,c,d 满足 最小值为 A.5

(b ? 2a 2 -6lna)2 ? 2c ? d ? 6 ? 0

( ▲ ) B. 2 5 C.20 D. 4 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题(本大题共有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案直接填在答题卷指定的横线上.) 13.抛物线 y ? 8x 上到焦点 F 的距离等于 6 的点的坐标是
2





14.在边长为 1 的正方体内部有一个 与正方体各面均相切的球, 一动点在正方体内运动, 则此 点落在球的内部的概率为 ▲ . 15.函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是 16 .下列五个命题: ①“ a ? 2 ”是“ f ( x) ? ax ? sin x 为 R 上的增函数”的充分不必要条件; ▲ .

1 f ( x) ? ? x3 ? x ? 1 3 ②函数 有两个零点;
1 ③集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的概率是 3 ;
2 2 y ④ 动 圆 C 既 与 定 圆 ( x ? 2) ? y ? 4 相 外 切 , 又 与 轴 相 切 , 则 圆 心 C 的 轨 迹 方 程 是

y 2 ? 8x( x ? 0) ;
x ⑤若对任意的正数 x ,不等式 e ? x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a ? 1 .

其中正确的命题序号是





三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

-3-

17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p:对任 意实数 x 都有 x ? ax ? a ? 0 恒成立;
2

2 命题 q:关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根;

如果“或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)

3 点 P(x,y)与定点 ( F 3 3,0) 的距离和它到直线 l : x ? 4 3 的距离的比是常数 2 ,
(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 m 与 P 的轨迹交于不同的两点 B、C,当线段 BC 的中点为 M(4,2)时, 求直线 m 的方程.

-4-

19.为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 人有关回答 问题,统计结果如下图表. 组号 分组 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 [15,25) [25,35) [35,45) 回答 正确 的人数 a 18 b 9 3 回 答正确 的人数占本 组的频率 0.5 x 0.9 0.36 y

频率 组距

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

(Ⅰ)分别求出 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样 的方法抽取 6 人,再从这 6 人中随机抽取 2 人, 求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率. 20.(本小题满分 12 分) x3 设函数 f(x)= 3 -(a+1)x2+4ax+b,其中 a,b∈R. 1 (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=3 处取得极小值2,求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递增区间; 21. (本小题满分 12 分)

15 25 35

45

55

65 年龄

17 题图

C:
以椭圆

ab y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的中心 O 为圆心,以 2 为半径的圆称为该椭圆

3 2 的“伴随”.已知椭圆的离心率为 2 , 抛物线 x ? 8 y 的准线过此椭圆的一个顶点.
(Ⅰ) 求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (Ⅱ)斜率为 1 的直线 m 经过抛物线 x ? 8 y 的焦点 F,且与抛物线交于 M,N 两点,
2

求线段 MN 的长度;

uur uuu r 2 OA ? OB = P ? 0, m? 5, (Ⅲ) 过点 作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,若
求切线 l 的方程。

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 3x.
x 2

-5-

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求证:函数 f ( x) 在区间上存在唯一极值点;

1 5 x ? 时, 若关于 x的不等式 f ( x) ? x 2 ? (a ? 3) x ? 1恒成立 , 2 2 (Ⅲ)当 试求实数 a 的取值范
围.

-6-

成都市六校协作体高 2013 级第四学期期中试题 文科数学参考答案 一.选择题 1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 二.填空题

6.A 7.C 8.B

9.D 10.C 11.B

12.C

? 4 2) 13( . 4,
三.解答题

? 14. 6

15.

??3, ???

16. ①③⑤

17. 解:对任意实数 x 都有 x ? ax ? a ? 0 恒成立
2

? ?<0 ? 0 ? a ? 4
命题

p :? 0 ? a ? 4

??????????????????2 分
? 1 ? 4a ? 0 ? a ? 1 4;

2 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根 ? ? ? 0

命题 :

q

?a?

1 4

??????????????4 分 ??????????????6 分

∵“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题, ∴p 与 q 一真一假.

?0 ? a ? 4 1 ? ?? ? ?a?4 1 4 a? ? p q ? 4 如果 正确,且 不正确 ;

?????8 分

?a ? 0或a ? 4 ? ?? ?a?0 1 a? ? q p ? 4 如果 正确,且 不正确

????10 分

所以实数 a 的取值范围为

? ??,0? ? ? ?

1 ? ,4 ? ? 4 ? ??????????????12 分

( x ? 3 3)2 ? y 2

18. 解:(Ⅰ)动点

P ( x, y )

满足

|x?4 3|

?

3 2

,

x2 y2 ? ?1 化简得 36 9

????????????????6 分

(Ⅱ)法一:由题意可设直线 l 的方程为 y-2=k(x-4),
-7-

而椭圆的方程可以化为 x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆的方程有 (4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2) 2-36=0.(*)

8k (4k ? 2) ?8 2 1 ∴x1+x2= 4k ? 1 ,∴k=-2.
k=-代入方程(*) ,经检验 ? ? 0 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=-2(x-4), 即 x+2y-8=0. ????????????????12 分 本题也可用点差法,但要注意检验的过程。若未检验,酌情扣分。

9 ? 25 19.解: (Ⅰ)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为 0.36 , 25 ? 100 再结合频率分布直方图可知 n= 0.025 ? 10 ,
∴ a=100 × 0.01 × 10 × 0.5=5 , b=100 × 0.03 × 10 × 0.9=27 ,

x?

18 ? 0.9, 20

y?

3 ? 0.2 15

???????????4 分

(Ⅱ)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人,

18 ?6 ? 2 所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: 54 人;第 27 9 ?6 ? 3 ?6 ?1 3 组: 54 人;第 4 组: 54 人????????????????8 分
设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B 1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1), (A2,B1), (A2,B2) ,(A2,B3) , (A2,C1) ,(B1 ,B2), (B1,B3) , (B1,C1) ,(B2,B3) ,(B2,C1) , (B3,C1)共 15 个基本事件,其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件, ?????????10 分

P?
∴ 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: 20.解:(Ⅰ)因为 f′(x)=x2-2(a+1)x+4a, 3 所以 f′(3)=9-6(a+1)+4a=0,得 a=2.

3 1 ? 15 5 . ????????12 分

-8-

1 由 f(3)=2,解得 b=-4.

??????????????6 分

(Ⅱ)因为 f′(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2a)(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=2a 或 x=2. 当 a>1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2),(2a,+∞); 当 a=1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); 当 a<1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2a),(2,+∞).??????12 分

-9-

3 21.解: (Ⅰ)椭圆 C 的离心率为 2 , 则 a = 2b ,

y2 x2 + =1 2 b2 设椭圆 C 的方程为 4b
2

????????????????1 分

y 抛物线 x ? 8 y 的准线方程为 y ? ?2 ,它与 轴的交点 (0, ?2) 是椭圆的一个顶点
故 a ? 2 ,∴ b ? 1 , ??????????????????????.2 分

y2 ? x2 ? 1 C 4 ∴椭圆 的标准方程为 ,
椭圆 C 的“伴随”方程为 x ? y ? 1.
2 2

???????????????3 分

(Ⅱ)设 M(x3,y3) ,N(x4,y4) 得, y2-12y+4=0 则 x3+x4=8 , ∴y3+y4=12 |MN|=∴y3+y4+p=16 (Ⅲ) 由题意知, | m |? 1 .

??????????????6 分

易知切线 l 的斜率存在,设切线 l 的方程为 y ? kx ? m,

? y ? kx ? m, ? 2 ?y 2 ? ? x ? 1 (k 2 ? 4) x2 ? 2k mx ? m2 ? 4 ? 0 ? 4 由 得 ????????????????7 分

( x , y ) ( x2 , y2 ) , 则 设 A , B 两点的坐标分别为 1 1 ,
x1 ? x2 ? ?

m2 ? 4 2km x ? x ? 1 2 k2 ? 4 , k 2 ? 4 .???????????????8 分

|m|
2 2 又由 l 与圆 x + y =1 相切, 所以

k2 + 1

=1
,

k 2 = m2 - 1 . ? ? ? ? ? ?

??????????????????9 分

y1 ? y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k 2 x1 ? x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2
? k2 ? m2 ? 4 4(m2 ? k 2 ) ? 2km ? 2 ? km ? ? m ? ? 2 ? k2 ? 4 k2 ? 4 ? k ?4?
2

又 m ? k ? 1,故
2

y1 ? y2 ?

4 k ?4
2

- 10 -

于是

x1 ? x2 ? y1 y2 ?

??? ? ??? ? 2 m2 OA ? OB ? 5 k 2 ? 4 ,而

k 2 ?1 2 ? 2 2 2 故 k ? 4 5 ,解得 k ? 1 ? k ? ?1 , m ? 2, m ? ? 2 ??????11 分
因 此 , 所 求 切 线 的 方 程 是

y?

x? 2

,

y?

? x或 2 ?

y ? x ? 2, y ? ? x ? 2, ????????????????????12 分

? ? 22 解: (Ⅰ) f ?x? ? e ? 4 x ? 3, 则f ?1? ? e ? 1 又 f ?1? ? e ? 1 ,
x

?曲线y ? f ?x ?在点?1, f ?1?? 处的切线方程为: y ? e ? 1 ? ?e ? 1??x ? 1?,即?e ? 1?x ? y ? 2 ? 0 ?????????4 分
(Ⅱ)

? f ? ?0? ? e0 ? 3 ? ?2 ? 0, f ? ?1? ? e ? 1 ? 0 ? f ? ?0? ? f ? ?1? ? 0,


月分

x h? ? x ? ? e x ? 4x ? 0,? f ? ? x ? 在?0,1? ? ? ? ? ? h x ? f x ? e ? 4 x ? 3 令 ,则 上单调递增,

? f ??x ?在?0, 1? 上存在唯一零点,? f ?x ?在?0,1? 上存在唯一的极值点???8 分
f ?x ? ? 5 2 5 x ? ?a ? 3?x ? 1得e x ? 2 x 2 ? 3x ? x 2 ? ?a ? 3?x ? 1 2 2 ,
1

(Ⅲ)由

ex ? x2 ?1 1 2 1 2 ax ? e ? x ? 1,? x ? ?a ? 2 2, x 即 , ??????10 分
x



g ?x ? ?

ex ?

1 2 1 x ?1 e x ? x ? 1? ? x 2 ? 1 2 2 , 则g ?? x ? ? x x2 ,



? ?x ? ? e x ?x ? 1? ? x 2 ? 1, 则? ??x ? ? x?e x ? 1?
1 2



1 ?1 ? ? x ? ,?? ? ? x ? ? 0,?? ? x ? 在 ? , ? ?? 2 2 ? ? 上单调递增, ?1? 7 1 ?? ? x ? ? ? ? ? ? ? e ?0 ?2? 8 2 , ?1 ? g ? ? x ? ? 0, 故g ? x ? 在 ? , ?? ? ?2 ? 上单调递增, 因此
- 11 -

?????????????12 分

1 e 2 ? ?1 9 ?1? 8 g ?x ? ? g ? ? ? ?2 e? 1 4 ?2? 2 则 ,

1

? a 的取值范围是

a?2 e?

9 4

??????????????14 分

- 12 -


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