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高二下期理科数学综合测试含答案


命题人:

做题人:

审题人:

2017.4

2016——2017 学年高二下期综合测试 理科数学
一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1.若复数 z 满足 z(1+i)=3+i,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的共轭复数为 A.2+i B.2﹣i C.﹣2+i D.﹣2﹣i 2.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 3 ”时,假设的内容是 3 ( ( ) )

a? b

A. 3

a ? 3 b C. 3 a ? 3 b 且 3 a ? 3 b D. 3 a ? 3 b 或 3 a ? 3 b f ? 2 ? ?x ? ? f ? 2 ? 1 3 已知 f ? x ? ? ,则 lim 的值为 ( ?x ?0 x ?x 1 1 A. B. ? C. 2 D. -2 4 4 a ?3 b
4. ? ( 1 ? x 2 ? x)dx ?
?1 1

B. 3

)

( C.



A.

? 4

B.

? 2

? 3

D.

?
2

?1

5.设 a∈R,若函数 y=ex+2ax,x∈R 有大于 0 的极值点,则





A.a ? ?
2

1 e
5

B.a ? ?

1 e
5 2

C.a ? ?

1 2

D.a ? ?

1 2
( )

6.(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为 A.10 B.20 C.30 D.60

7.从 0,2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数 为 ( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

1 3 x ? ax 2 ? x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 ( 3 1? ? A. ? ??, ? ? ? ?1, ?? ? B. ? ??, ?1? ? ?1, ??? 2? ? ? 1 ? C. ? ??, ?1? ? ?0, ??? D. ? ? , ?? ? ? 2 ? 9.已知在等比数列 ?an ?中, a1 ? 2, a8 ? 4 函数 f ( x) ? x( x ? a1 )(x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则
8.若曲线 y ?

)

f ?(0) ? A.22 B.29 C.212 D.215





' ' 10.对于在 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若其导函数为 f (x ) ,且满足 (x ? 1)f (x ) ? 0 ,则

必有





命题人:

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审题人:

2017.4

A. f (0) ? f (2) ? 2f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2f (1)

B. f (0) ? f (2) ? 2f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2f (1) ( )

11.自然数按照下表的规律排列,则上起第 2013 行,左起第 2014 列的数为

A.

2013? 2014? 3 B.

2013? 2014? 2 C.

2013? 2014? 1 D.

2013? 2014

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) 12.已知函数f ( x) ? ? 若 f ( x) ? ax, 则a的取值范围是 ln( x ? 1 )( x ? 0 ) ? A.?? ?,0? B.?? ?,1? C.?? 2,1? D.?? 2,0?
二、填空题(共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13.若复数 z 满足 | z ? 3 ? 4i |? 2 ,则 | z | 的最大值为___________. 14.某工程队有 5 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙 必须在工程乙完成后立即进行,那么安排这 5 项工程的不同排法种数是 答) 15.已知函数 f ( x) ? x (e ? e ) ? (2x ? 1) (e
2 x 2 ?x 2 x ?1

.(用数字作

? e?2 x?1 ) ,则 f ( x) ? 0 的解集 _________.

16.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数, 得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列 {an},若 an=2015,则 n= .

三、解答题(本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,其余各题均为 12 分,共 70 分)

命题人:
3 17.已知二项式 ? ? x?

做题人:

审题人:

2017.4

? ?

1 ? ? ? 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. 2 x?
3

n

(1)求展开式的常数项. (2)求展开式中各项的系数绝对值之和. 18.设函数 f ( x) ? ax ?

b ( x ? 0) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x

7 x ? 4 y ? 12 ? 0
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 上任意一点的切线与 y 轴和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定 值,并求此定值. 19.有 5 名男生和 3 名女生,从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表,分别求符合下列 条件的选举法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某男生必须包括在内,但不但任数学课代表; (3)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表. 20.已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数. 若关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 21.是否存在常数 a,b,c 使得 1·2 +2·3 +3·4 +?+n(n+1) = 对一切 n∈N+都成立?证明你的结论. 22.已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?
2 2 2 2

n?n ? 1? 2 (an +bn+c) 12

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 x

(I)求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使得函数 y ? g (

2a ) ? m ? 1 的图象与函数 y ? f (1 ? x2 ) 的 x ?1
2

图象恰有四个不同的交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

命题人:

做题人:

审题人:

2017.4

2016——2017 学年高二下期综合测试
一、选择题 ADBBC 二、填空题 CBBCC BD 15. ( ?1,? )

13.7 14.12

1 3

16.1030

16.解析:由图乙,可得①第 k 行有 k 个数,则前 k 行共有 ②第 k 行最后的一个数为 k2,

个数,

③从第三行开始,以下每一行的数,从左到右都是公差为 2 的等差数列, 又由 44 =1936,45 =2025,则 44 <2015<45 ,则 2015 出现在第 45 行, 第 45 行第一个数为 442+1=1937,这行中第 前 44 行共有 三、解答题 =40 个数为 2015,
2 2 2 2

=990 个数,则 2015 为第 990+40=1030 个数.故答案为:1030.

35 ? 1? 17.解:(1)常数项为 T5 ? C ? ? ? ? 8 ? 2?
4 8

4

?3? (2) ? ? ?2?

8

18.解:(1)方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ?

7 1 x ? 3 .当 x ? 2 时, y ? . 4 2

b 1 ? 2a ? ? ? ?a ? 1 b 1 ? ? ? 2 2 又 f ?( x ) ? a ? 2 ,且点 ? 2, ? 在曲线 y ? f ( x) 上,所以 ? 解得 ? x ? 2? ?b ? 3 ?a ? b ? 7 ? 4 4 ?
故 f ( x) ? x ?

3 ( x ? 0) x 3 知曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处 x2

(2)设点 P( x0 , y0 ) 为曲线上任意一点,由 y ? ? 1 ? 的切线为 y ? y0 ? (1 ? 令 x ? 0, 得 y ? ?

3 3 3 )(x ? x0 ) ,即 y ? ( x0 ? ) ? (1 ? 2 )(x ? x0 ) . 2 x0 x0 x0

6 , 即 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P( x0 , y0 ) 处 的 切 线 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 x0

命题人:

做题人:

审题人:

2017.4

(0,?

6 ) . 将 y ? x 与 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 联 立 , 得 x0

?y ? x ? x ? 2 x0 ? 即曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线与直线 y ? x 的 3 6 解得 ? ? y ? ( 1 ? ) x ? y ? 2 x 0 ? ? x0 x0 ?
交点坐标为 ?2 x0 ,2 y0 ? 所以,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线与直线 y ? x 所围成的三 角形面积为

1 6 ? 2 x0 ? 6 .即曲线 y ? f ( x) 上任意一点处的切线与 y 轴和直线 y ? x 所围 2 x0

成的三角形的面积为定值,此定值为 6. 19.解:(1)5400(2)3360(3)360 20.解: mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 ? m(e ? e ) ? e
x ?x ?x

? m ?1 ,即 m(ex ? e? x ?1) ? e? x ?1 ;

令t ?

e

x

(t>1);因为 e ? e
x

?x

1 ?1 ? t ? ?1 ? 2 ?1 ? 1; t

1 ?1 t (t ? 2) 1? t 1? t t 故m ? ,令 h(t ) ? 2 ,只要 m ? hmin (t ) . h '(t ) ? 2 ;则 ? 2 1 t ? t ?1 (t ? t ? 1) t ? ?1 t ? t ? 1 t
当 t ? 2 时, h '(t ) ? 0 ;则当 0 ? t ? 2 时, h '(t ) ? 0 ;因此可知当 t ? 2 时,

1 1 1 hmin (t ) ? h(2) ? ? ;则 m ? ? . 综上可 知,实数 m 的取值范围为 ( ??, ? ] . 3 3 3
21.解 此题可用归纳猜想证明来思考.假设存在 a,b,c 使题设的等式成立.令 n= 1 1,得 4= (a+b+c);当 n=2 时, 6 1 22= (4a+2b+c);当 n=3 时,70=9a+3b+c,联立得 a=3,b=11,c=10. 2 ∴当 n=1,2,3 时,等式 1·2 +2·3 +3·4 +?+n(n+1) =
2 2 2 2

n?n ? 1? 3n 2 ? 11n ? 10 成立. 12
2 2

?

?

猜想等式对 n∈N+都成立,下面用数学归纳法来证明.记 Sn=1·2 +2·3 +?+n(n+ 1) ,设当 n=k 时,上面等式成立, 即有 Sk=
2

k ?k ? 1? 3k 2 ? 11k ? 10 . 12

?

?

命题人:

做题人:

审题人:
2

2017.4

则当 n=k+1 时,Sk+1=Sk+(k+1)(k+2) =

k ?k ? 1? 2 2 ·(3k +11k+10)+(k+1)(k+2) 12 k ?k ? 1? 2 ·(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2) 12





?k ? 1??k ? 2? ·(3k +5k+12k+24)
2

12 12



?k ? 1??k ? 2? ·[3(k+1) +11(k+1)+10].
2

∴当 n=k+1 时,等式成立. 综上所述,当 a=3,b=11,c=10 时,题设的等式对 n∈N+均成立. 22.解(I) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

a ( x ? 0) x

F '( x) ?

1 a x?a ? ? 2 ( x ? 0) (2 分) x x2 x

因为 a ? 0 ,由 F '( x) ? 0, x ? (a, ??) ,所以 F ( x) 在 (a, ??) 上单调递增。 由 F '( x) ? 0, x ? (0, a) ,所以 F ( x) 在 (0, a ) 上单调递减。 所以 F ( x) 的单调递减区间为 (0, a ) ,单调递增区间为 (a, ??) (6 分) (Ⅱ)若 y ? g (

2a 1 1 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图像与 y ? f (1 ? x2 ) ? ln( x2 ? 1) 的图 x ?1 2 2
2

像恰有四个不同的交点。 即

1 2 1 1 1 x ? m ? ? ln( x 2 ? 1) 有四个不同的根,亦即 m ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? 有四个不 2 2 2 2 1 2 1 x ? 2 2

同的根。 令 G ( x) ? ln( x ? 1) ?
2

2x 2 x ? x3 ? x ? x( x ? 1)( x ? 1) ?x? ? 则 G '( x) ? 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x ?1 x2 ? 1 x2 ? 1
当 x 变化时, G '( x) 、 G ( x) 的变化情况如下表:

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做题人:

审题人:

2017.4

x
G '( x) 的
符号

(??, ?1)
+

(?1, 0)

(0,1)
+

(1, ??)

?

?

G ( x) 的
单调性

?

?

?

?

由表格知; G ( x)极小值 ? G (0) ?

1 , G ( x)极大值 ? G (1) ? G (?1) ? ln 2 ? 0 2 1 1 ? 2 2

画出草图和验证可知 G (2) ? G ( ?2) ? ln 5 ? 2 ?

所以当 m ? ( , ln 2) 时, y ? G ( x) 与 y ? m 恰有四个不同的交点。

1 2

1 2a 1 , l n ) ? m ? 1 2? 时 2,) y ? (g 2 2 x ?1 2 2 2 y ? f (1 ? x ) ? ln( x ? 1) 的图像恰有四个不同的交点。
即 当

m?(

x

1 ?m 的 ? 图 像 与 2


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