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概率中的会面问题


概率中的会面问题
江苏省如皋市第一中学 概率中的会面问题是高中数学学习中的难点, 学生往往难以用变量的思想来描述问题的实质.本 文就会面问题和读者谈谈. 会面问题 两人相约7时到8时在某地会面, 先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这 两个人能会面的概率. 分析 两个人的到达时间是随机的.因此,我 们需要用两个变量菇,Y来表示两个人的到达时间, 其中0≤髫≤60

,0≤Y≤60.两个人能会面,只有当 两个人到达某地的时间差小于或等于20分钟,即l菇
一Y

226500

吴雅琴

答:两人能会面的概率为÷.


这是一例典型的几何概型问题,以面积作为其 测度.当实际问题涉及两个变鼍时,要利用平面直角 坐标系,形成平面区域用面积作为测度来讨论. 例l 假设小明家订了一份报纸,送报人可能 在早上6:30至7:30之间把报纸送到小明家,小明 的爸爸离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之 间,问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是 多少? 分析 本题涉及两个变量,要利用平面直角坐 标系研究,当小明的爸爸离家去工作的时刻晚于送 报人把报纸送到小明家的时刻时,小明的爸爸能得 到报纸. 解 为了方便作图,记6:30为0时,设送报人 把报纸送到小明家的时刻为x,小明的爸爸离开家 的时刻为Y,则0≤石≤60,30≤Y≤90(单位:分钟) 小明的爸爸离家前能得到报纸只要y≥名. 在平面直角坐标系中作上述区域,如图2所示.

I≤20.利用直角坐标系上的区域可以反映上述 画出两个人能会面的条件 对应的可行域d,如图l,对应于

关系,

fo≤菇≤60 {0≤Y≤60

【o<l石一),I≤20
图中的阴影部分. d中的任意一点(戈,Y),其中菇,Y均有I戈一YI≤ 20.即两个人一定能会面,而除d之外正方形OABC 中的任一点I并一YI>20.这样就可以用面积的大小 反映能够会面的可能性. 解 设z,Y分别表示两 人到达时刻,则0≤算≤60,0 ≤Y≤60(单位:分钟). 这样的点(戈,Y)构成正

由图可知区域D=SA脚

=602,区域d=S五边形A胁=
602一虿1×302.

方形OABC,即区域D=s渊
=602,如图1所示.
图1

所以所求概率P=吾=l
1 1 1

图2

一寺×(寺)2=寺?
答:小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率

两人能会面,则石,,,必须且只需满足I龙一YI≤

20.即{y≤x州.
Ly≥石一2U

是詈.
评析 平面直角坐标系是解决涉及到两个变 量问题的重要工具,把实际问题转化为数学问题是 解题的关键,如本题的关键是把“小明的爸爸能看 到报纸”转化为两个时刻的关系Y≥z. 例2 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊

此条件确定区域d,即图中的阴影部分.即

d=s阴影=602一虿1×402.-虿1×402=602—
402.

设“两人能会面”为事件A,则P(A)=吾=

。。。--—- -h—- - - -一
602—402 6()2 5

两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是 等可能的.如果甲船的停泊时间是1h,乙船是2^,求 它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.

—9+

万方数据

思路点拨:设甲乙两船到达码头的时刻分别是 戈和Y,则石及Y均可能取区间[0,24]内的任一值,即 0≤石≤24,0≤Y≤24.而要求它们中的任何一艘都 不需要等待码头空出,也就是要求两船不可能会面. 那么必须甲比乙早到1h以上,也即要求Y一茗≥1. 或者乙比甲早到2^以上.即要求菇一Y≥2. 在平面上建立直角坐标 系,如图3,则(Ⅳ,Y)的所有可 能结果是边长为24的正方 形. 而两艘船不可能会面的 时间由图中阴影部分所表示, 这是一个几何概率问题. 解 等待码头空出”
图3

间到某车站乘公共汽车外出,他们到达车站的时间 是随机的.设在l:00—2:00之间有四班客车开出, 开车时间分别是1:15,l:30,l:45,2:00.求他们 在下述情况在同坐一班车的概率: (1)约定见车就乘; (2)约定最多等一班车. 分析 解决. 解 设甲乙到站时间分别是x时、Y时,则0≤ 石≤60,0≤Y≤60,区域D为点(,17,Y)所形成的正方 形,以16个小方格表示. (1)如图4,约定见车就乘的事件所表示的区域 d为图中的4个加黑的小方格表示,所求的概率为
l 4‘

分别作出表示事件的所在区域,利用构

造思想及数形结合思想,结合几何概型的知识加以

依上述分析,记A表示“两艘船都不需要

舭=笔焉淼铲
=兰————‘I三——一=0.879A
0.879.

÷(24—1)2+÷(24—2)2
^‘

,即它 7’?一

心心 愁沁心 忒蕊沁 淤忒
图4 图5

们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率为 评注 本题的难点是引入两个变量戈,,,分别用 (2)如图5,约定最多等一班车的事件所表示的 区域d为图中的10个加阴影的小方格所示,于是所

来表示两船到达的时刻,并将它们组成有序数组,即 (茗,Y),这是一种构造思想,体现了以形助数. 例3 甲、乙两人相约于下午l:00~2:00之

求的概率为嚣=詈.

一点突破

满盘皆活
李锦昱

——从一道难题的解决说起
河北省石家庄市《少年智力开发报?数学专页》编辑部050091

学习中经常会遇到各种难题(即便是专业的高 手也概莫能外),如何对待这些问题?下面把我的一 次学习经历记录下来,希望和大家共勉. 有个网友在QQ群上问了一道填空题,没怎么 在意,随手记下来了事.后来,一直没看到有人回答, 就感觉到“小题不小”,冥思苦想了半天也没能很好 的解决.


+[孚]“芋]+[芋]+…“2丁200s]=——
f,--]题初探 试解1 采用“归纳一猜想一证明”,从前 面几项具体结果推测后续各项的基本规律. 因为20=1,21=2,22=4,23=8,…,
1 一’ ,’‘

2m=1024,…,所以[寺]=o,[手]=o,[予]=1,



若[Ⅳ]表示不超过x的最大整数,则[÷]

[莩]=2,[芋]=5,[莩]=lo,[了26]=21,[了27]
=42,…,但对于数字0,0,1,2,5,10,21,42,…所满

万方数据


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