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数列提高题第二讲


清华附中第二轮复习讲义第 1 页 共 4 页

第二讲:数列基本性质的应用 知识点:等差等比数列的判定、 a n 与 S n 的关系 典型例题: 例 1.在数列 { a n }中 , a1 ? 1, a n ? 1 ? 1 ? 并求数列 { a n } 的通项公式 a n ; 证明:? b n ?1 ? b n ?
2 2 (1 ? 1 4an )

?1
2 2 a n ?1 ? 1 ? 2 2an ? 1 1 4an , bn ? 2 2an ? 1 ,其中n ? N
*

。求证:数列 { b n } 是等差数列,

?

?

2 2an ? 1

?

4an 2an ? 1

?

2 2an ? 1

? 2(n ? N )
*

从而数列 { b n } 是等差数列
? a 1 ? 1,? b1 ? 2 2 a1 ? 1 ? 2

? b n ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n

由 bn ?

2 2an ? 1

得 , 2an ? 1 ?

2 bn

?

1 n

(n ? N ) ? an ?
*

n ?1 2n

例 2.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比 数列{bn}的第二项,第三项,第四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式. (2)设数列{cn}对任意正整数 n,均有
c1 b1 ? c2 b2 ? c3 b3 ? ?? ? cn bn ? a n ? 1 ,求

c1+c2+c3+…+cn 的

值. 解:由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得 d=2,∴an=2n-1,bn=3n-1. 当 n=1 时,c1=3 当 n≥2 时,∵ c n
bn ? a n ?1 ? a n , ∴ c n ? ?
? 3 ( n ? 1) ?2 ? 3
n ?1

(n ? 2)

故 cn

? 2 ?3

n ?1

例 3.正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 Sn=an+1.试求数列{an}的通项公式; 解: (1)∵an>0, 2
2 2

S n ? a n ? 1 ,∴ 4 S n

? ( a n ? 1) , 4 S n ? 1 ? ( a n ? 1 ? 1 )
2

2

,则当 n≥2 时,
? a n ?1 ? 2 ( n ? 2 )

4 a n ? a n ? 2 a n ? a n ?1 ? 2 a n ?1 , 即 ( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2 ) ? 0 ,而

an>0,∴ a n

又2

S 1 ? a 1 ? 1,? a 1 ? 1, 则 a n ? 2 n ? 1

清华附中第二轮复习讲义第 2 页 共 4 页

例 4.设数列 {a n } 的前 n 项和 S n

?

n2 ? ? c ( c 为常数, n ? N ? ) 3

.求证: (1)若 c ? 0 ,则 {a n } 不是等差
2

数列.(2)若 c ? 0 ,则对任意大于 1 的自然数 n, cos 2 常数,并求出这个常数 解:(1)当 n ? 1时 ,
?c ? 0

a n ?1 ? cos

a n ? cos

2

a n ? 1 是一个与

n 无关的

a1 ?

? ?c 3

当 n ? 2时 , a n
?

? S n ? S n ?1 ? (

,

? a1 不符合上式.

故 ?a n ? 不是等差数列

( n ? 1) 2 n2 2? ? ? ? c) ? [ ? ? c] ? n? 3 3 3 3

………6 分

(2)当 c ? 0时 ,由(1)得 a n
? {a n } 是公差为
2? 3

2? ? 2? n ? ( n ? N * ) ,则 a n ? 1 ? a n ? 3 3 3

的等差数列,
2? 2 ) ? cos 2 a n ? cos 2 ( a n ? ? ) 3 3

? 当 n ? 2 时 , cos 2 a n ?1 ? cos 2 a n ? cos 2 a n ? 1 ? cos 2 ( a n ?

?

1 ? cos( 2 a n ? 2

4? 4? ) 1 ? cos( 2 a n ? ) 3 ? 1 ? cos 2 a n ? 3 ? 3 2 2 2

是一个与 n 无关的常数.…12 分
1 2 1 b1 n (bn ? n bn ) .求 S n

例 5.已知正数数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ?
1 2 n bn 1 2

的表达式;

解:因为 S n ?

(bn ?

) , bn ? 0

,所以 b1 ?

( b1 ?

)

,解得 b1 ? 1 ,即 S 1 ? 1 .

当 n≥ 2 时, b n ? S n ? S n ?1 ,所以 2 S n ? S n ? S n ? 1 ?
n S n ? S n ?1

S n ? S n ?1

.

S n ? S n ?1 ?

,即 S n 2 ? S n ?1 2 ? n . ………………5 分

所以, S n ?1 2 ? S n ? 2 2 ? n ? 1 , S n ? 2 2 ? S n ? 3 2 ? n ? 2 ,…, S 2 2 ? S 1 2 ? 2 , 累加,得 S n 2 ? S 1 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n . 所以, S n 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
n ( n ? 1) 2

,即 S n ?

n ( n ? 1) 2

. …………..8 分

2 ? , 例 6. 数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 1 ? ( n 2 ? n ? ? ) a n ( n ? 1,, ) ? 是常数.

(Ⅰ)当 a 2 ? ? 1 时,求 ? 及 a 3 的值; (Ⅱ)数列 ? a n ? 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; (Ⅲ)求 ? 的取值范围,使得存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 a n ? 0 .
2 ? 解: (Ⅰ)由于 a n ?1 ? ( n 2 ? n ? ? ) a n ( n ? 1,, ) ,且 a1 ? 1 .

所以当 a 2 ? ? 1 时,得 ? 1 ? 2 ? ? ,故 ? ? 3 .从而 a 3 ? (2 2 ? 2 ? 3) ? ( ? 1) ? ? 3 . (Ⅱ)数列 ? a n ? 不可能为等差数列,证明如下:由 a1 ? 1 , a n ? 1 ? ( n 2 ? n ? ? ) a n 得 a 2 ? 2 ? ? , a 3 ? (6 ? ? )( 2 ? ? ) , a 4 ? (1 2 ? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ) . 若存在 ? ,使 ? a n ? 为等差数列,则 a 3 ? a 2 ? a 2 ? a1 ,即 (5 ? ? )( 2 ? ? ) ? 1 ? ? ,

清华附中第二轮复习讲义第 3 页 共 4 页

解得 ? ? 3 .于是 a 2 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 2 , a 4 ? a 3 ? (11 ? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ) ? ? 24 . 这与 n 为等差数列矛盾.所以,对任意 ? , n 都不可能是等差数列. 2 ? (Ⅲ)记 b n ? n 2 ? n ? ? ( n ? 1,, ) ,根据题意可知, b1 ? 0 且 b n ? 0 ,即 ? ? 2 且 ? ? n 2 ? n ( n ? N * ) ,这时总存在 n 0 ? N * ,满足:当 n ≥ n 0 时, b n ? 0 ; 当 n ≤ n 0 ? 1 时, b n ? 0 .所以由 a n ? 1 ? b n a n 及 a1 ? 1 ? 0 可知,若 n 0 为偶数, 则 a n ? 0 ,从而当 n ? n 0 时, a n ? 0 ;若 n 0 为奇数,则 a n ? 0 ,
0 0

?a ?

?a ?

从而当 n ? n 0 时 a n ? 0 .因此“存在 m ? N * ,当 n ? m 时总有 a n ? 0 ” 2 ? 的充分必要条件是: n 0 为偶数,记 n 0 ? 2 k ( k ? 1,, ) ,
? b2 k ? ( 2 k ) 2 ? 2 k ? ? ? 0 ? 则 ? 满足 ? 2 ? b 2 k ? 1 ? ( 2 k ? 1) ? 2 k ? 1 ? ? ? 0 ?



故 ? 的取值范围是 4 k 2 ? 2 k ? ? ? 4 k 2 ? 2 k ( k ? N * ) . 巩固练习 1. a+b+c, -a, -b, 若 b+c c+a a+b-c 依次成等比数列, 公比为 q, q3+q2+q= 则 . 2 3 2 3 解:设 x=a+b+c,则 b+c-a=xq,c+a-b=xq ,a+b-c=xq ,∴xq+xq +xq =x(x≠0) ∴q3+q2+q=1. 2.当 a 0 , a1 , a 2 成等差数列时,有 a 0 ? 2 a1 ? a 2 ? 0 ,则探索当 a 0 , a1 , a 2 , ? , a n 成等差数列时相应 的关系式为 . 1 2 .C n0 a 0
? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? ? ? 1 ? C n a n ? 0, ? n ? 2, n ? N
1 2 n n

?.
?

3. 定义: F ( x , y ) ? y x ? x ? 0 , y ? 0 ? ,已知数列 { a n } 满足 a n ? 数 n ,都有 a n ≥ a k ( k ? N ? ) 成立,则 a k 的值为 A.
8 9

F ? n ,2 ? F ?2 , n ?

(n ? N )

,若对任意正整

(A)

B.1

C.

32 25

D.2

4.由 1,2,3,……,n 按一定顺序排成的 n 项数列满足,每项都大于它前面的所有项或小于它 前面的所有项,则满足这样的条件的所有数列 { a n } 的个数为 。 2 n ?1
?

a 5. 数列 { a n } 满足: 1 ? 1, a 2 ? 3 , a n ? 2 ? | a n ? 1 | ? a n ( n ? N * ) . { a n } 前 n 项的和为 S n , S001 且 记 则

89


1 4

6.已知数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a 2 ? (1)求数列 { a n } 的通项公式;

,且 a n ? 1 ?

( n ? 1) a n n ? an

( n ? 2 ,3 , 4 , ? ) .

(2)求证:对一切 n ? N * ,有 ? a k2 ?
k ?1

n

7 6



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解 (1)由已知,对 n ? 2 有
1 na n ? 1 ? ?(

1 a n ?1

?

n ? an ( n ? 1) a n
?

?

n ( n ? 1) a n

?

1 n ?1



两边同除以 n,得

?

1 ( n ? 1) a n 1 ? 1 n

1 n ( n ? 1)





1 na n ? 1

?

1 ( n ? 1) a n

n ?1

)



………………4 分

于是, ? ?
k ?2

n ?1

?

1

?

? ka k ? 1
? 1 a2 ?

n ?1 ? 1? 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ( k ? 1) a k ? k ? n ?1 k ?2 ? k ? 1

1





1 ( n ? 1) a n 1

? ? (1 ?

1 n ?1 1

), n ? 2 ,

所以

1 a2

( n ? 1) a n

? (1 ?

n ?1

) ?

3n ? 2 n ?1

,an ?
*

1 3n ? 2

,n ? 2



又 n ? 1 时也成立,故 a n ? (2)当 k ? 2 ,有
ak ?
2

1 3n ? 2

,n ? N



……………………8 分

1 (3k ? 2 )
2

?

1 ( 3 k ? 4 )( 3 k ? 1)

?

1

3 3k ? 4

(

1

?

1 3k ? 1

) ,………………12



所以 n ? 2 时,有

?a
k ?1

n

2 k

?1?

?a
k ?2

n

2 k

?1?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ?( 2 ? 5 ) ? ( 5 ? 8 ) ? ? ? ( 3n ? 4 ? 3n ? 1)? 3? ?

?1?

1?1 1 ? 1 7 ? . ? ? ? ?1? 3 ? 2 3n ? 1 ? 6 6

又 n ? 1 时, a 12 ? 1 ?

7 6

.
n

故对一切 n ? N * ,有 ? a k2 ?
k ?1

7 6



…………………16 分


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