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最新高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)


轨 迹 方 程 的 经 典 求 法

轨迹方程的经典求法
一、定义法:运用有关曲线的定义求轨迹方程. 例 2:在 △ABC 中, BC ? 24,AC,AB 上的两条中线长度之和为 39,求 △ABC 的重心的轨迹方程. 解:以线段 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,如图 1, M 为重心,则有
2 B

M ? CM ? ? 39 ? 26 . 3 ∴ M 点的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆,

其中 c ? 12,a ? 13 .∴b ? a 2 ? c2 ? 5 .
x2 y2 ? ? 1( y ? 0) . 169 25 二、直接法:直接根据等量关系式建立方程. ??? ??? ? ? 例 1:已知点 A(?2,,B(3, ,动点 P( x,y) 满足 PA PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹是( · 0) 0)

∴ 所求 △ABC 的重心的轨迹方程为



A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线
2

??? ? ??? ? ?? ?? ?? ? ? 解析: 由题知 PA ? (?2 ? x, y) ,PB ? (3 ? x, y) , P · B x 由 AP ?

, (?2 ? x)(3 ? x) ? y 2 ? x 2 , y 2 ? x ? 6 , 得 即

∴P 点轨迹为抛物线.故选 D.
三、代入法:此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例 3:已知△ABC 的顶点 B(?3,,C (1 0) ,顶点 A 在抛物线 y ? x 2 上运动,求 △ABC 的重心 G 的轨迹方程. 0) ,
?3 ? 1 ? x0 ? , ? x ? 3 x ? 2, ?x ? 0 ? 3 ∴? 解:设 G( x,y ) , A( x0,y0 ) ,由重心公式,得 ? y0 ?y ? , ? y0 ? 3 y. ? 3 ?
2 又∵ A( x0,y0 ) 在抛物线 y ? x 2 上,∴ y0 ? x0 .

① ②



4 将①,②代入③,得 3 y ? (3x ? 2)2 ( y ? 0) ,即所求曲线方程是 y ? 3x 2 ? 4 x ? ( y ? 0) . 3 四、待定系数法:当曲线的形状已知时,一般可用待定系数法解决. ???? ??? 1 ??? ???? ? ? 例 5:已知 A,B,D 三点不在一条直线上,且 A(?2, , B(2, , AD ? 2 , AE ? ( AB ? AD) . 0) 0) 2 (1)求 E 点轨迹方程;

(2)过 A 作直线交以 A,B 为焦点的椭圆于 M,N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 与 E 点的轨迹相切,求椭圆方程. ??? 1 ??? ???? ? ? 解: (1)设 E ( x,y ) ,由 AE ? ( AB ? AD) 知 E 为 BD 中点,易知 D(2 x ? 2,y) . 2 2 ???? 又 AD ? 2 ,则 (2 x ? 2 ? 2)2 ? (2 y)2 ? 4 . 即 E 点轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ; (2)设 M ( x1,y1 ),N (x2,y2 ) ,中点 ( x0,y0 ) . 由题意设椭圆方程为
x2 y2 ? 2 ? 1 ,直线 MN 方程为 y ? k ( x ? 2) . 2 a a ?4
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4 ,且直线 MN 5

轨 迹 方 程 的 经 典 求 法

∵ 直线 MN 与 E 点的轨迹相切,∴

2k k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

3 . 3

将y??

x ? x2 a2 3 , ?? ( x ? 2) 代入椭圆方程并整理,得 4(a 2 ? 3) x2 ? 4a 2 x ? 16a 2 ? 3a 4 ? 0 ,∴ x0 ? 1 2 2(a 2 ? 3) 3

a2 4 x2 y 2 4 又由题意知 x0 ? ? ,即 ? ,解得 a 2 ? 8 .故所求的椭圆方程为 ? ?1. 2(a 2 ? 3) 5 8 4 5 五、参数法:如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数) ,把 x , y 联系起来
??? ???? ? ? 例 4: 已知线段 AA? ? 2a , 直线 l 垂直平分 AA? 于 O , l 上取两点 P,P? , 在 使其满足 OP OP? ? 4 , 求直线 AP ·

与 A?P? 的交点 M 的轨迹方程. 解:如图 2,以线段 AA? 所在直线为 x 轴,以线段 AA? 的中垂线为 y 轴建立直角坐 标系. 设点 P(0,t )(t ? 0) ,
? 4? 则由题意,得 P ? ? 0, ? . ? t?

由点斜式得直线 AP,A?P? 的方程分别为 y ?

t 4 ( x ? a),y ? ? ( x ? a) . a ta

两式相乘,消去 t ,得 4 x2 ? a 2 y 2 ? 4a 2 ( y ? 0) .这就是所求点 M 的轨迹方程. 评析:参数法求轨迹方程,关键有两点:一是选参,容易表示出动点;二是消参,消参的途径灵活多变.

配套训练 一、选择题 1. 已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆
2

) B.椭圆
2

C.双曲线的一支

D.抛物线

2. 设 A1、A2 是椭圆 交点的轨迹方程为( A.

x y =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则直线 A1P1 与 A2P2 ? 9 4
) B.

x y ? ?1 9 4

2

2

y2 x2 ? ?1 9 4

C.

x2 y2 ? ?1 9 4

D.

y2 x2 ? ?1 9 4

二、填空题 3. △ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(- 迹方程为_________. 4. 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上, 且相距 10 m, 如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(-5, 0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.

1 a a ,0),C( ,0),且满足条件 sinC-sinB= sinA,则动点 A 的轨 2 2 2

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轨 迹 方 程 的 经 典 求 法 三、解答题 5. 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A,又过 B、C 作⊙O′异于 l 的 两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.

6. 双曲线

x2 y2 =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P,A1Q 与 A2Q ? a 2 b2

的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程.

7. 已知双曲线

x2 y2 =1(m>0,n>0)的顶点为 A1、A2,与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、Q. ? m2 n2

(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

8.已知椭圆

x2 y2 =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外角平分线为 l, ? a 2 b2
点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R.

(1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l:y=k(x+ 2 a)与曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值 时,求 k 的值.

参考答案 配套训练
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轨 迹 方 程 的 经 典 求 法 一、1.解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆. 答案:A 2.解析:设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0) ∵A1、 1、 共线, P P ∴

y ? y0 y ? y0 y y ∵A2、 2、 共线, P P ∴ ? ? x ? x0 x ? 3 x ? x0 x ? 3
2 2

x y 9 3y x2 y2 解得 x0= , y0 ? , 代入得 0 ? 0 ? 1,即 ? ?1 x x 9 4 9 4
答案:C 二、3.解析:由 sinC-sinB=

1 1 sinA,得 c-b= a, 2 2
16 x 2 16 y 2 a a ,故方程为 2 ? ? 1( x ? ) . 2 4 2 a 3a

∴应为双曲线一支,且实轴长为

答案:

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a
5 ( x ? 5) ? y
2 2

4.解析: P(x,y) 依题意有 设 ,

?

3 ( x ? 5) ? y
2 2

,化简得 P 点轨迹方程为 4x2+4y2-85x+100=0.

答案:4x2+4y2-85x+100=0 三、 5.解: 设过 B、 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、 两点, C E 两切线交于点 P.由切线的性质知: |BA|=|BD|, |PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆,以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点 P 的轨迹方程为 6.解:设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y).∵A1(-a,0),A2(a,0).

x2 y2 =1(y≠0) ? 81 72

y0 ? y ? x0 ? ? x ( x0 ? ? a ) ? x ? a ? x ? a ? ?1 ? ? 0 得? 由条件 ? x2 ? a2 y0 y y0 ? ? ? ? ? ?1 y ? ? x ? a x0 ? a ?
而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2,即 b2(-x2)-a2( 化简得 Q 点的轨迹方程为:a2x2-b2y2=a4(x≠±a). 7.解:(1)设 P 点的坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-m,0),A2(m,0), 则 A1P 的方程为:y=

x2 ? a2 2 2 2 ) =a b y

y1 ( x ? m) x1 ? m
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轨 迹 方 程 的 经 典 求 法 A2Q 的方程为:y=-

y1 ( x ? m) x1 ? m
2 2



①?②得:y2=-

y1
2

x1 ? m

(x2 ? m2 )



又因点 P 在双曲线上,故

x1 y n2 2 2 ? 12 ? 1,即y1 ? 2 ( x1 ? m 2 ). 2 m n m

2

2

代入③并整理得

x2 y2 ? 2 =1.此即为 M 的轨迹方程. m2 n

(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆. (ⅰ)当 m>n 时,焦点坐标为(± m 2 ? n 2 ,0),准线方程为 x=±

m2 m2 ? n2 n2 n2 ? m2

,离心率 e=

m2 ? n2 ; m n2 ? m2 . n

(ⅱ)当 m<n 时,焦点坐标为(0,± m 2 ? n 2 ),准线方程为 y=± 8.解:(1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|

,离心率 e=

又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线, 故点 F1、 Q 在同一直线上, P、 设存在 R(x0,y0) 1,y1),F1(-c,0),F2(c,0). ,Q(x |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.

x1 ? c ? ? x0 ? 2 ? 又? ? y ? y1 ? 0 2 ?
得 x1=2x0-c,y1=2y0. ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2. 故 R 的轨迹方程为:x2+y2=a2(y≠0)

1 a2 |OA|?|OB|?sinAOB= sinAOB 2 2 1 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a2. 2
(2)如右图,∵S△AOB= 此时弦心距|OC|=

| 2 ak | 1? k2

.

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,

?

| OC | | 2ak | 2 3 ? ? cos 45? ? ,? k ? ? . 2 | OA | a 1 ? k 2 3

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