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2014-2015学年点拨高中数学必修3R-A版过关测试卷第三章概率过关测试卷


第三章过关测试卷 (100 分,45 分钟) 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1.下列结论正确的是( ) A.事件 A 的概率 P(A)必有 0<P(A)<1 B.事件 A 的概率 P(A)=0.999,则事件 A 是必然事件 C.用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人治疗,结果有 380 人有明显的疗效, 现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其有明显的疗效的

可能性为 76% D.某奖券中奖率为 50%,则某人购买此券 10 张,一定有 5 张中奖 2.下列五种对某生活现象发生的表示: ① “一定发生的”, ② “很可能发生的”, ③ “可 能发生的”,④ “不可能发生的”,⑤ “不太可能发生的”,其发生的概率由小到大的 排列为( ) A.① ② ③ ④ ⑤ B.④ ⑤ ③ ② ① C.① ③ ② ⑤ ④ D.② ③ ④ ⑤ ① 3.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品 的概率为 0.03, 出现丙级品的概率为 0.01, 则对产品抽查一次抽得正品的概率是 ( ) A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96 4.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红 牌”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.必然事件 5.先后抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,设出现的点数之和是 12,11,10 的概 率依次是 P 1,P 2,P 3 ,则( A. P 1=P 2<P 3 C. P 1<P 2=P 3 ) B. P 1<P 2<P 3 D. P3 = P2 < P 1

6.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是正方形 ABCD 四边的中点, 将均匀的粒子撒在正方形中, 则粒子落在如图 1 所示的四个图中阴影部分区域的 概率依次为 P 1、P 2、P 4 ,则关于它们的大小比较,正确的是( 3、P )

① A. P 1<P 2=P 4 3<P C. P 1=P 4<P 2<P 3

② 图1





B. P4 < P2 = P3 < P 1 D. P 1=P 4<P 2 3<P

7.〈海淀二模,文〉如图 2,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 Ω. 向正方形

内随机撒豆子,若撒在图形 Ω 内和正方形内的豆子数分别为 m,n,则图形 Ω 面 积的估计值为( )

图2 A.
ma n

B.

na m

C.

m a2 n

D.

na 2 m

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 8.〈义二模,文〉如图 3 所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人 1 天加工的 零件数,则甲组工人 1 天每人加工零件的平均数为 ;若分别从甲、乙两组 中 随 机 选 取 一 名 工 人 , 则 这 两 名 工 人 加 工 零 件 的 总 数 超 过 了 38 的 概 率 为 .

图3 图4 9.设 a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b 是从集合{1,2,3}中随机 取出的一个数,构成一个基本事件(a,b) .记“这些基本事件中,满足 logb a ≥ 1”为事件 E,则 E 发生的概率是 . 10.某汽车站每天均有 3 辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准 备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为 了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好 则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为 . 11.如图 4,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 y=
x2 与两直线 x=2 及 y=0 2

所围成的阴影部分的面积 S:① 先产生两组 0~1 的均匀随机数,a=RAND( ) , b=RAND( ) ;② 做变换,令 x=2a,y=2b;③ 产生 N 个点(x,y) ,并统计落在 阴影内的点(x,y)的个数 N1 ,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当 N= 1 000 时, N1 =332,则据此可估计 S 的值为 .

三、解答题(13 题 15 分,其余每题 22 分,共 59 分) 12.〈济宁高三第一次模拟,文〉 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统 计了 40 名学生的政治成绩,这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间,据 此绘制了如图 5 所示的样本频率分布直方图.

(1)求成绩(单位:分)在[80,90)的学生人数; (2)从成绩大于或等于 80 分的学生中随机选 2 名学生, 求至少有 1 名学生成绩 (单 位:分)在 [90,100]内的概率.

图5

13.下面有两个关于“袋子中装有红、白两种颜色的相同小球,从袋中无放回地取 球”的游戏规则,这两个游戏规则公平吗?为什么? 游戏 1 游戏 2 2 个红球和 2 个白球 3 个红球和 1 个白球 任取 1 个球, 再任取 1 个球 任取 1 个球,再任取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙 取出的两个球不同色→乙 胜 胜

14.设有关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b 2 =0. (1)若 a 是从集合 A={x∈ Z|0≤x≤3}中任取一个元素,b 是从集合 B={x∈ Z|0≤x≤ 2}中任取一个元素,求方程 x 2 ? 2ax ? b 2 =0 恰有两个不相等实根的概率;

(2) 若 a 是从集合 A={x|0≤x≤3}中任取一个元素,b 是从集合 B={x|0≤x≤2}中 任取一个元素,求上述方程有实根的概率.

参考答案及点拨 一、1.C 点拨:A 错误,应为 0≤P(A) ≤1;B 错误,必然事件的概率为 1;C 中,380÷ 500=76%,正确;D 中,购买此券 10 张,可能 1 张也不中奖. 2.B 3.D 4.B 点拨:根据题意,把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,事件“甲分 得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生, 故两者是互斥事件, 但除了“甲分得红牌” 与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”,故两者不是对立事件,所以事件“甲 分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件. 5.B 点拨:我们列出先后抛掷两枚质地均匀的骰子各一次出现的点数的所有的 基本事件个数,再分别求出点数之和是 12,11,10 的基本事件个数,进而求出 点数之和是 12,11,10 的概率 P 1 ,P 2 ,P 3 ,即可得到它们的大小关系.先后抛 掷两枚质地均匀的骰子各一次,出现的点数有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1, 4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3, 1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4, 4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6, 1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) ,共 36 种,其中点数之和是 12 1 2 1 的有 1 种,故 P ;点数之和是 11 的有 2 种,故 P2 = = ;点数之和是 10 1= 36 36 18 3 1 的有 3 种,故 P3 = = ,故 P 1<P 2<P 3 ,故选 B. 36 12 6.D 点拨:正方形 ABCD 的面积为 2× 2=4,对于题图① ,阴影部分区域的面积 1 2 1 为 4-4× ,所以概率为 P = ;对于题图② ,阴影部分区域的面积为 π,所 1= 2 4 2 ? 1 以概率为 P2 = ;对于题图③ ,阴影部分区域的面积为 4-2× =3,所以概率 4 2 3 1 为 P3 ? ; 对 于 题 图 ④, 阴 影 部 分 区 域 的 面 积 为 × 2× 2=2,所以概率为 4 2 2 1 P4 ? ? ,故选 D. 4 2 7.C 选 C.
11 1 二、 8. 20; 点拨: 甲组工人 1 天每人加工零件的平均数为 × (18+19+21+22) 16 4 =20.所有的基本事件共有 4× 4=16(个) ,满足这两名工人加工零件的总数超过了 11 38 的基本事件有 11 个,故这两名工人加工零件的总数超过了 38 的概率为 . 16 5 9. 点拨:首先将已知的不等关系转化为 a,b 的关系,再求基本事件的个 12 数,最后求概率.试验发生包含的事件是分别从两个集合中随机取两个数,共有

点拨:设图形 Ω 的面积为 S,则由试验结果得

S m ma 2 ≈ ,解得 S ≈ ,所以 a2 n n

4× 3=12(种)结果,满足条件的事件是满足 logb a ≥1,可以列举出所有的事件,

当 b=2 时,a=2,3,4,当 b=3 时,a=3,4,共有 3+2=5(种) ,所以根据古典 5 概型的概率公式得到所求概率是 . 12 1 10. 点拨:共有 6 种发车顺序:① 上、中、 下 ;② 上、下、 中;③ 中、 上 、 2 下;④ 中、下、 上 ;⑤ 下、 中、上;⑥ 下、 上 、中(其中画线的表示王先生所乘
3 1 的车),所以他乘上上等车的概率为 = . 6 2 11. 1.328 点拨:先由试验结果估计落入阴影内的点(x,y)的概率,再转化为 几何的概型概率问题求解. 332 根据题意:落入阴影内的点(x,y)的概率是 ,易知矩形的面积为 4,所以 1000 S 332 ≈ ,所以 S≈1.328. 4 1000 三、12.解:(1)因为各组的频率之和为 1,所以成绩(单位:分)在区间[80,90) 的频率为: 1- (0.005× 2+0.015+0.020+0.045)× 10=0.1, 所以 40 名学生中成绩 (单 位:分)在区间[80,90)的学生人数为 40× 0.1=4. (2)设 A 表示事件“在成绩大于或等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,至少有 1 名学生成绩(单位:分)在区间[90,100]内”,由已知和(1)的结果可知成绩(单 位:分)在区间[80,90)内的学生有 4 人,记这四个人分别为 a,b,c,d, 成 绩(单位:分)在区间[90,100]内的学生有 2 人,记这两个人分别为 e,f. 则选 取学生的所有可能结果为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b, d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),基本事件数 为 15,事件 A 的可能结果为:(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d, 9 3 e),(d,f),(e,f), 基本事件数为 9,所以 P ? A ? ? ? . 15 5 13. 解:游戏 1:给 2 个红球编号 A、B, 2 个白球编号 1、2,事件“任取 1 个球, 再任取 1 个球”,基本事件有:AB,A1,A2,BA,B1,B2,1A,1B,12,2A, 2B,21,共 12 个.“取出的两个球同色”包含的基本事件有:AB, BA,12,21, 4 1 1 2 共 4 个.所以 P(甲胜)= = ,P(乙胜)=1- = .因此规则是不公平的. 12 3 3 3 游戏 2:给 3 个红球编号 1、2、3,1 个白球编号 m,事件“任取 1 个球, 再任取 1 个球” ,基本事件有:12,13,1m,21,23,2m,31,32,3m,m1, m2,m3,共 12 个.“取出的两个球同色”包含的基本事件有 12,13,21,23,31, 1 1 1 32,共 6 个. 所以 P (甲胜)= ,P(乙胜)=1- = .因此规则是公平的. 2 2 2 14. 解: (1)由题意知 a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b 取集合{0,1,2}中 任一个元素,a,b 取值的所有情况是:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1), (1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示 a

的取值, 第二个数表示 b 的取值, 即基本事件总数为 12. 记 “方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 恰有两个不相等的实根”为事件 A, 其等价于 a>b. 而当 a>b 时,a,b 取值的 情况有(1,0), (2,0),(2,1), (3,0),(3,1),(3,2),即 A 包含的基本事件

数为 6,所以方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 恰有两个不相等实根的概率 P(A)=

6 1 = . 12 2

(2) 设 事件 B 为 “ 方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根 ” .当 a ≥ 0 , b ≥ 0 时,方程
x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根需满足 a≥b.试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|0

≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件 B 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}(如 1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 答图 1 所示的阴影部分).因此所求的概率为 P(B)= ? . 3? 2 3

答图 1


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