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第二章小结


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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

栏目导引

1.点击指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容,要明确运 算法则, 化简或求值是本章知识点的主要呈现方式. (1)在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成 幂的形式,并尽可能地统一成分数指数幂的形式, 再利用幂的运算性质进行化简、求

值或计算,以达 到化繁为简的目的.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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(2)根式的运算中, 有开方和乘方两种运算并存的情 况.此时要注意两种运算的顺序是否可换,如当 n m n m a≥0 时, a =( a) ,而当 a<0 时,则不一定可 换,应视 m,n 的情况而定.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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2.点击对数运算 (1)同底对数化简的常用方法:将同底的两对数的 和(差)化成积(商)的对数; 将积(商)的对数拆成对数 的和(差),根据题目的条件选择恰当的方法. (2)对常用对数的化简要创设情境,充分利用 lg 5 +lg 2=1 来求解. (3)对多重对数符号的化简,应从内向外逐层化简 求值. (4)对数的运算性质,要注意只有当式子中所有的 对数符号都有意义时,等式才成立.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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3.对比学习指数函数、对数函数的性质 指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数,它们的 定义、图象、性质和运算既有区别又有联系. (1)指数函数 y=ax(a>0,a≠1),对数函数 y= logax(a>0, a≠1)的定义中对底数 a 的要求是一样的, 均为 a>0,且 a≠1. (2)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)恒过定点(0,1),对数 函数 y=logax(a>0,a≠1)恒过定点(1,0). (3)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的定义域与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的值域相同,为 R;指数函数 y =ax(a>0,a≠1)的值域与对数函数 y=logax(a>0, a≠1)的定义域相同,为(0,+∞).
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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(4)指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y= logax(a>0,a≠1)的图象和性质都与a的取值有密切 的联系,需分a>1与0<a<1进行讨论:a>1时,函 数的单调性相同,都为增函数;0<a<1时,函数 的单调性相同,都为减函数. (5)指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y= logax(a>0,a≠1)互为反函数,函数图象关于y=x 对称.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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4.详谈比较指数(对数)大小的方法 (1)当需要比较大小的两个实数均是指数 (对数 )时, 可将其看成某个指数函数或幂函数 (对数函数)的函 数值,然后利用该函数的单调性进行比较. (2)比较多个数的大小时, 先利用“0”和“1”作为分界 点,即把它们分为“小于 0”“大于 0,小于 1”“大于 1”三部分,然后在各部分内利用函数 的性质比较大小.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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5.探究指数不等式、对数不等式的解法 指数不等式、 对数不等式的解法主要是“同底法”, 即把不等式两边化为同底数, 再根据相应函数的单 调性,运用转化和化归思想转化为一般不等式求 解.同时,要注意转化的等价性.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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关于指数、对数的运算
【点拨】 指数、对数的运算应遵循的原则 1.指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先 转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若 出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分 的目的. 2.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化, 前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结 合对数恒等式,换底公式.这是对数计算、化简、 证明常用的技巧.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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4

1

a3-8a3b (1)化简
2

4b3+2 ab+a3

3

? 3 b? ? ? 3 ÷ ?× ab; 2 ?1- 2 ? a?

1 32 4 (2)求值: lg - lg 8+lg 245. 2 49 3

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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[思维点击] 第(1)题关于分数指数幂的运算,要 把握分数指数幂的运算性质,要注意运算顺序. 第(2)题关于常用对数的运算,对于底数相同的 对数式的化简,要将同底的两对数的和(差)收成 积(商)的对数.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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a3?a-8b? [规范解答]
1

1

(1)原式= 1 1 1 1 ?2b3?2+ 2a3b3+?a3?2
1 1

a3

× 1 1× a3b3 a3-2b3 a3?a-8b? 1 1 1 3 = ×a3×a3b3=a b. a- 8b
1

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1 32 4 (2)方法一: lg - lg 2 49 3 4 2 = lg -lg 4+ lg 7 5 7 ? ? 1 ?4 2 ? = lg? × × 7 5? ? 7 4 ? 1 1 = lg 10= lg 10= . 2 2

8+ lg

245

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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1 4 3 1 方法二:原式= (5lg 2- 2lg 7)- × lg 2+ (2lg 7 2 3 2 2 + lg 5) 5 1 = lg 2- lg 7-2lg 2+ lg 7+ lg 5 2 2 1 1 1 = lg 2+ lg 5= (lg 2+ lg 5) 2 2 2 1 1 = lg 10= . 2 2

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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1.化简下列各式: 3 3 3 3 (1) a b ÷ b a × a b ; 8 1 2 4+ log23 (2)lg 500+lg - lg 64+50(lg 2+lg 5) -2 . 5 2

解析:
1 0

(1)原式=a2 3

1 1 1
- +

b6 3 6 2 3·

1 1 1
- +

=a3b = a;

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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(2)方法一:原式 ? 8? ? ? = lg?500× ?-lg 64+50[lg(2×5)]2- 16· 2log23 5? ? = lg 800- lg 8+ 50- 16×3 800 = lg +50- 48 8 = lg 100+2=2+2= 4. 方法二:原式 1 = lg 5+lg 100+ lg 8- lg 5- lg 82+50-16· 2log23 2 = lg 100+50-48=4.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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数的大小比较

【点拨】 指数式与对数式的大小比较是基本初等 函数中的一类重要题目类型,其主要方法有以下三 种: (1)根据函数的单调性 (如根据一次函数、二次函数、 指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调 性的定义求解; (2)采用中间量的方法 (实际上也要用到函数的单调 性),常用的中间量如 0,1,-1 等; (3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.

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比较下列各组数的大小: ?1 ? ? ?- 0.9, 0.48 (1)4 8 ,? ? 1.5; ?2 ? (2)log20.4,log30.4,log40.4. [思维点击] (1)观察三个数的特点,都可以化为 以2为底的指数式,故可以利用函数y=2x的单调 性解决; (2)通过换底公式都可以用函数y=log0.4x的倒数表 示三个数,再通过幂函数y=x-1的单调性解决.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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[规范解答]

(1)4 = 2 8

0.9

1.8, 0.48

=2

1.44

∵ y=2x 在 (-∞,+∞)上是增函数, ? ? 0.9 ?1 ?- 1.5 0.48 ∴4 >? ? >8 ; ?2 ? (2)∵对数函数 y= log0.4x 在 (0,+∞)上是减函数, ∴ log0.44<log0.43<log0.42<log0.41=0. - 又幂函数 y=x 1 在 (-∞,0)上是减函数, 1 1 1 所以 < < , log0.42 log0.43 log0.44 即 log20.4<log30.4<log40.4.

?1 ? ? ?- 1.5 1.5 , ? ? =2 , ?2 ?

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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2.设 a=log32,b=ln 2,c=5 2,则( A.a<b<c C.c<a<b B.b<c<a D.c<b<a



1

)

1 1 解析: a= log32= ,b= ln 2= ,而 log23 log2e 1 1 - log23>log2e>1,所以 a<b,又 c= 5 2= ,而 5>2 5 = log24>log23,所以 c<a,综上知 c<a<b.故选 C.

答案:
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C
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指数函数、对数函数、幂函数性质的 综合应用
【点拨】 指数函数、对数函数是中学数学中主要 的函数,它们的图象和性质是考查的重点,应熟练 掌握图象的画法及形状,熟记性质,特别要注意指 数函数与对数函数的底数,在取不同值时,对图象 和性质的影响,请看下表:

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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函数

底数

图象

定义域

值域

单 调 性

a>1 y=ax (a>0, 且 a≠ 1)

(0,+∞) 增 当 x<0 时 0<y<1; 函 当 x= 0 时,y=1; 数 当 x>0 时, y>1 R (0,+∞) 减 当 x<0 时, y>1; 函 当 x= 0 时,y=1; 数 当 x>0 时, 0<y<1

0<a <1

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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a>1 y= logax (a>0, 且 a≠ 1) 0<a<1

R 当 0<x<1 时, y<0; 增 当 x= 1 时,y= 0; 函 当 x>1 时, y>0 数 (0, +∞) R 当 0<x<1 时, y>0; 当 x= 1 时,y= 0;减 当 x>1 时, y<0 函 数

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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幂函数的图象与性质:
y= 函数 y=x y=x x3 R R 定义域 R 值域 R {y|y≥0} R 奇函 奇偶性 奇函数 偶函数 数
2

1 y=x 2 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 函数

1 y= x {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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在R 单调性 上递 增

在(-∞, 在(-∞,0) 在 R 在(0, + 0) 上递减, 和(0,+ 上递 ∞) 在(0,+∞) 增 上递增 ∞) 上递 上递增 减

图象

过定点
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(0,0),(1,1)
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(1,1)
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1-ax 设 f(x)=log 为奇函数,a 为常数. 2 x- 1 (1)求 a 的值; (2)试说明 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;
1

(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值,不等式 +m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?1? ? ?x f(x)>? ? ?2?

[思维点击] 根据奇函数的定义可求a的值;应用 复合函数的单调性,可讨论f(x)的单调性;第(3) 问结合第(2)问的结论,确定新构建函数的单调性, 根据函数的最值可求m的取值范围.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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[规范解答] (1)∵ f(x)为奇函数,∴f(- x)=-f(x), 1+ ax 1- ax x- 1 1 1 1 ∴ log =- log = log . 2- x- 1 2 x- 1 21- ax 1+ ax x- 1 ∴ = , -x-1 1- ax 即 (1+ax)(1-ax)=- (x+ 1)(x-1), ∴a=-1(a= 1 舍去).

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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(2)由 (1)可知 ? ? x + 1 2 ? ? 1 1 1+ f(x)= log = log ? ?(x>1), x - 1 ? 2x- 1 2? 2 令 u(x)=1+ (x>1),对任意的 1<x1<x2,有: x- 1 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 1 + u(x1)- u(x2)=?1+ - ? ? ? x - 1 x - 1 ? ? ? ? 1 2 2?x2-x1? = . ?x1-1??x2-1?

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∵1<x1<x2,∴x1-1>0,x2-1>0,x2- x1>0, 2?x2-x1? ∴ >0, ?x1-1??x2-1? 即 u(x1)-u(x2)>0. 2 ∴函数 u(x)=1+ 在 (1,+∞)上是减函数. x- 1 又∵函数 y= log1u 在 (0,+∞)上是减函数,
2

x+ 1 ∴ f(x)= log 在 (1,+∞)上为增函数. 2 x- 1
1

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?1 ? x + 1 ? ? (3)设 g(x)= log1 -? ?x, ?2 ? 2x- 1 x+ 1 1 由 (2)知:函数 y= log 在 [3,4]上是增函数, 2x- 1 ?1 ? ? ? 又∵ y=? ?x 在 [3,4]上是减函数, ?2 ? ?1 ? x + 1 ? ? ∴g(x)= log1 -? ?x 在 [3,4]上是增函数. ?2 ? 2x- 1 ∴x= 3 时, ?1 ? 3 + 1 ? ?3 1 g(x)min= g(3)= log -? ? ?2 ? 23- 1 1 9 =-1- =- . 8 8

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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又∵对任意 x∈[3,4]时,g(x)>m, ?1 ? x + 1 ? ? 即 log1 -? ?x>m 恒成立, 2 2 x- 1 ? ? ? 9 9? ? ? ∴ m<- ,即所求 m 的取值范围是?-∞,- ?. 8 8? ?

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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3.已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x) (1)判断函数的奇偶性; (2)若f(x)=lg g(x),判断函数g(x)在(0,1)上的单调 性并用定义证明.
解析:
?1+ x>0 (1)由? ,得-1<x<1,∴x∈ (-1,1), ?1- x>0

又 f(- x)= lg(1-x)+ lg(1+x)= f(x), ∴ f(x)为偶函数.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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(2)g(x)在 (0,1)上单调递减. 证明如下: ∵ f(x)= lg(1-x2)= lg g(x), ∴g(x)= 1-x2, 任取 0<x1<x2<1, 2 则 g(x1)-g(x2)= 1-x2 - (1 - x 1 2) = (x1+x2)(x2- x1), ∵0<x1<x2<1, ∴x1+x2>0,x2- x1>0, ∴g(x1)- g(x2)>0, ∴g(x)在 (0,1)上单调递减.
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已知幂函数 y=x



1 3 p2+ p+ 2 2(p∈ Z),在 (0,+∞ )内

y

随 x 的增大而增大,且在定义域内其图象关于 y 轴对称,求 p 的值及相应的 f(x).

[思维点击] 性求解p.

利用幂函数的定义,奇偶性、单调

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[规范解答] ∵ y= x



1 3 p2+ p+ 2 2在 (0,+ ∞ )上为增函数,

1 2 3 ∴- p + p+ >0,解得-1<p<3. 2 2 而 p∈ Z,∴p=0,1,2. 当 p=0 或 2 时,f(x)=x2不关于 y 轴对称,舍去; 当 p=1 时, f(x)=x2 符合题意, 2 ∴p=1, f(x)= x .
3

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4.已知函数 y=x3. (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性; (3)已知该函数在第一象限内的图象 如图所示,试补全图象,并由图象 确定单调区间.

2

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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解析:

(1)y=x3= x2,定义域为 R. 3
2

2

3

(2)设 y= f(x ),因为 f(- x )= ?- x? = x = f(x ), 且定义域关于坐标原点对称,所以函数 y=x3是偶 函数.
2

3

2

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

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(3)因为该函数为偶函数, 所以 可作出它在第一象限内的图 象关于 y 轴的对称图象,即得 函数 y=x3的图象,如图所 示.根据图象易知:函数 y= x3在区间 (0,+∞)上是增函数, 在区间 (-∞, 0]上是减函数.
2 2

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1.计算 0.25 A. 7 C. 7 或 3

- 0.5

?1 ? 1 4 ? ?- +? ? 3- ?27?

16的值为(

)

B. 3 D. 5
- 0.5

解析: 0.25 4

?1 ? 1 4 ? ?- + ? ? 3- ?27 ?

?1 ? ? 1? ?1 ? ? 1? ? ?- ? ? ?2×? - ? ? × 3 16=? ? ??? 2???+? ? ??? 3??? - ?2 ? ? ? ?3 ? ? ?

24=2+3- 2=3.

答案:
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B
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2.已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(3)· g(3)<0, 那么 f(x)与 g(x)在同一坐标系内的图象 可能是下图中的( )

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解析: 首先分清这两类函数图象在坐标系中的 位置和走向.另外,还应知道f(x)=ax与g(x)= logax(a>0,a≠1)互为反函数,于是可排除A、D, 因图中B、C关于y=x对称,最后利用函数值关 系式f(3)·g(3)<0,排除B. 答案: C

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3.若 0<x<y<1,则( ) A.3y<3x B.log4x<log4y ?1 ? ?1? ? ? ? ? C.logx3<logy3 D.? ?x<? ?y ?4 ? ?4? 解析: 对于 A,函数 y=3x 单调递增,3x<3y,故 A 错;对于 B,函数 y= log4x 单调递增,可得 log4x<log4y,故 B 正确;对于 C,因为 y>x,结合 对数函数的图象 (图略), 可得 logx3<logy3, 故 C 错; ?1 ? ?1? ?1 ? ? ?x ? ? x ? ?y 对于 D, 函数 y=? ? 单调递减, 故 D 错. ? ? >? ? , ?4 ? ?4? ?4 ? 答案: B
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4.若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其 定义域上是( ) A.单调递减的奇函数 B.单调递增的偶函数 C.单调递减的偶函数 D.单调递增的奇函数

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解析: 方法一(数形结合法): 先画出f(x)=x3的图象,再将其关 于y轴对称,得到y=f(-x)的图象 如右图,由图象下降得y=f(-x) 为减函数,由图象关于原点对称 得f(x)为奇函数,故选A. 方法二(直接法):∵f(x)=x3, ∴f(-x)=-x3, ∴y=-x3是单调递减的奇函数. 答案: A
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5.(1)函数 f(x)= 1-2 的定义域为________; (2)函数 f(x)=log2x-1 3x-2的定义域为________. 解析: (1)要使函数有意义,则 1-2x≥0,即 2x≤1, 解得 x≤0. 所以原函数的定义域为(-∞,0]. ? 1 ? x> 2 ?2x- 1>0 ? ? (2)由题意得?2x-1≠1 ,即? x≠1 ,从而原函数的 ? ? ?3x- 2>0 ? x>2 ? 3 ?2 ? ? ? ? ? ?1,+∞ ? 定义域为? ,1?∪? ?. ?3 ? ?2 ? ? ? ? ? ?-∞, 0 ? 答案: (1)? (2)? ,1?∪(1,+∞) ? ?3 ?
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x

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?2- x-1,x≤0 ? 6.设函数 f(x)=? 1 ?x2,x>0 ?

,若 f(x0)>1,则 x0

的取值范围是________.

解析:

若 x0≤0,则有 2

- x0

-1>1,得 x0<-1;

若 x0>0,则有 >1,得 x0>1. 综上可知,x0∈ (-∞,-1)∪ (1,+∞). 答案: (-∞,-1)∪(1,+∞)

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7.设 a>0,且 a≠1,函数 y=alg(x2 2x 3)有最大值, 求函数 f(x)=loga(3-2x)的单调区间.
- +

解析: 设 t= lg(x2-2x+3)= lg[(x- 1)2+2]. 当 x∈R 时, t 有最小值为 lg 2. lg(x2- 2x+ 3) 又∵ y=a 有最大值, ∴0<a<1. ? 3? ? ? 由 f(x)= loga(3-2x),得其定义域为?-∞, ?. 2? ?

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? 3? ? ? 设 u(x)=3- 2x,x∈?-∞, ?,则 y= logau(x). 2? ? ? 3? ? ? ∵u(x)= 3-2x 在?-∞, ?上是减函数, 2? ? ? 3? ? ? ∴ y= logau(x)在?-∞, ?上是增函数. 2? ? ? 3? ? ? ∴ f(x)= loga(3- 2x)的单调增区间为?-∞, ?. 2? ?

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2 1 8.(1)设 3 =4 =36,求 + . x y - (2)已知 lg 3=m,lg 5=n,求 1003m 2n.
x y

解析:

(1)因为 3 =36,4 =36,所以 x=log336, y 1 1 2 1 = log436,从而有 =log363, = log364,所以 + = x y x y 2log363+ log364= log36(32×4)=1. lg 36 6 10 3 729 3m- 2n 6m- 4n 6lg 3- 4lg 5 (2)100 = 10 =10 = lg 54= 4= . 10 5 625

x

y

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