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【2013门头沟一模】北京市门头沟区2013届高三一模 文科数学


门头沟区 2013 年高三年级抽样测试

数学(文史类)

2013.3

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 l 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考 试结束后,将本试卷和答题卡一并回交.

第Ⅰ卷


(选择题 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.
2 1. 已知集合 A ? x x ? 4 , B ? x x ? 1 ,则集合 A ? B 等于

?

?

?

?

(A) x 1 ? x ? 2

?

?

(B) x x ? 1

?

?

(C) x x ? 2

?

?

(D) R

? x x ? -2?

2.在等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是 (A)15 (B)30 (C)31 (D)64

3.为得到函数 y ? sin (π-2 x) 的图象,可以将函数 y ? sin (2 x ?

π ) 的图象 3

π 个单位 3 π (C)向右平移 个单位 3
(A)向左平移

π 个单位 6 π (D)向右平移 个单位 6
(B)向左平移 , f (2) ? lg 3 ? lg 5 ,

4. 如果 f ( x ) 的定义域为 R, f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , f () ?3 l 2 若 1 l g? g 则 f (3) 等于 (A)1 (C)-1 (B)lg3-lg2 (D)lg2-lg3

5.如图所示,为一几何体的三视图, 则该几何体的体积是
1

1

(A) 1

1 2 1 (C) 3 5 (D) 6
(B)

主视图 1

左视图

俯视图

6.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 (a ? b) 2 ? c 2 ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的 值为 (A) 8 ? 4 3 7. 已知函数 f ( x) ? ? 数 k 的取值范围是 (A) ? 0,? 2 (B) ? 0, 2? (C) ? -?,? 2 (D) ? 2, ? +? (B)1 (C)

4 3

(D)

2 3

x?0 ?2, 的图象与直线 y ? k ( x ? 2) ? 2 恰有三个公共点, 则实 2 ? x ? 4 x ? 2, x ? 0

8.点 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足 为 M 点,则点 M 的轨迹是 (A)抛物线 (C)双曲线 (B)椭圆 (D)圆
F1 O F2

y
Q P M

x

第Ⅱ卷(非选择题 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数

1 在复平面内对应的点到原点的距离是 1? i


1 ,既是奇函数又在定 x

10.在给定的函数中:① y ? - x3 ;② y ? 2 - x ;③ y ? sin x ;④ y ? 义域内为减函数的是 .

11.用计算机产生随机二元数组成区域 ?

? -1 ? x ? 1 ,对每个二元数组 ( x, y ) ,用计算机计算 ?-2 ? y ? 2

x 2 ? y 2 的值,记“ ( x, y ) 满足 x 2 ? y 2 <1”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为________.
12.如右图所示的程序框图,执行该程序后 输出的结果是
开始



i ?1, s ? 2 i?5
否 是

13.为了解本市的交通状况,某校高一年级的同学 分成了甲、乙、丙三个组,从下午 13 点到 18 点, 分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查, 并绘制了频率分布直方图(如图) ,记甲、乙、丙 三个组所调查数据的标准差分别为 s1 , s2 , s3 , 则它们的大小关系为

s ? 1-

1 s

输出 S 结束

i ? i ?1

. (用“ ? ”连结)

频率 组距

频率 组距

频率 组距

0.3 0.2 0.1 13 14 15 16 17 18 t 甲

0.3 0.2 0.1 13 14 15 16 17 18 t 乙

0.3 0.2 0.1 13 14 15 16 17 18 t 丙

14.设向量 a ? ?a1 , a2 ? , b ? ?b1 ,b2 ? ,定义一种向量积:

?1 ? ?? ? 已知 m = ? ,3 ? ,n = ? ,0 ? , P 在 y ? sin x 点 a ? b = ?a1 , a 2 ? ? ?b1 ,b2 ? = ?a1b1,a2 b2 ? . ?2 ? ?6 ?

的图象上运动, Q 在 y ? f (x) 的图象上运动, 点 且满足 OQ = m ? OP + n(其中 O 为 坐标原点) ,则 y ? f (x) 的最大值是
三、



解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x cos (
2

π - x) . 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及值域.

π 3

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x ,其中 b ? R . x ?b
2

(Ⅰ) f (x) 在 x ? ?1 处的切线与 x 轴平行,求 b 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间.

17. (本小题满分 13 分) 如图,已知平面 ? , ? ,且 ? ? ? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C , D 是垂足. (Ⅰ)求证: AB ? 平面 PCD ; (Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ? 否垂直,并证明你的结论.

2 ,试判断平面 ? 与平面 ? 是

?
B C

P

?
D

A

18. (本小题满分 13 分) 某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了 2 男 1 女三 名候选人,初中部也推荐了 1 男 2 女三名候选人. (I)若从初高中各选 1 名同学做代表,求选出的 2 名同学性别相同的概率; (II)若从 6 名同学中任选 2 人做代表,求选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的 概率.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点,且离心率为 (I)求椭圆的标准方程; (II) 过点 P (0, 的直线与该椭圆交于 A、 两点, 为坐标原点, AP ? 2PB , ?A B 1) B O 若 求 O 的面积.

2 . 2

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,满足下列条件 ① ?n ? N * , an ? 0 ;②点 Pn (an , S n ) 在函数 f ( x) ? (I)求数列 {an } 的通项 an 及前 n 项和 S n ; (II)求证: 0 ?| Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 1.

x2 ? x 的图象上; 2

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

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2013.3 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 C 2 A 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9 10 ① 11 π 8 12 -1 13 14 3

2 2
四、

s1 ? s2 >s3

解答题:本题共 6 小题,共 80 分.

15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x cos (
2

π - x) . 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及值域.
2 解: (I)由已知,得 f ( ) ? sin

π 3

π 3

π π π π ? cos cos( ? ) 3 3 2 3

??2 分

π 3 1 3 3? 3 f( )? ? ? = 3 4 2 2 4
(II) f ( x) ? sin x ? cos x sin x
2

??5 分

?

1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

?

2 π 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2
??11 分

函数 f (x) 的最小正周期 T ? π

值域为 [

1- 2 1+ 2 , ] 2 2

??13 分

16. (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

x ,其中 b ? R . x ?b
2

(Ⅰ) f (x) 在 x ? ?1 处的切线与 x 轴平行,求 b 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

??2 分

依题意,由 f ?(?1) ? 0 ,得 b ? 1 . 经检验, b ? 1 符合题意. (Ⅱ)① 当 b ? 0 时, f ( x) ?

??4 分 ??5 分

1 . x

故 f ( x ) 的单调减区间为 ( ??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间. ??6 分 ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ?

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2
??8 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b .

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

(??, ? b )
?

? b
0

(? b , b )
?

b
0

( b , ? ?)
?







故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) . ??11 分 ③ 当 b ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b}. 因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ;无单调增区间. ??13 分 17. (本小题满分 13 分) 如图,已知平面 ? , ? ,且 ? ? ? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C , D 是垂足. (Ⅰ)求证: AB ? 平面 PCD ;

?
B C H A

P

?
D

(Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ?

2 ,试判断平面 ? 与

平面 ? 是否垂直,并证明你的结论. (Ⅰ)证明:因为 PC ? ? , AB ? ? ,所以 PC ? AB . 同理 PD ? AB . 又 PC ? PD ? P ,故 AB ? 平面 PCD . (Ⅱ)平面 ? 与平面 ? 垂直

??5 分

证明:设 AB 与平面 PCD 的交点为 H ,连结 CH 、 DH . 因为 PC ? ? ,所以 PC ? CH , ??8 分

2, 所以 CD ? PC ? PD ? 2 ,即 ?CPD ? 900 . ??11 分 在平面四边形 PCHD 中, PC ? PD, PC ? CH ,所以 PD // CH 又 PD ? ? ,所以 CH ? ? , 所以平面 ? ? 平面 ? . ??13 分
2 2 2

在 ?PCD 中, PC ? PD ? 1, CD ?

18. (本小题满分 13 分) 某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了 2 男 1 女三 名候选人,初中部也推荐了 1 男 2 女三名候选人. (I)若从初高中各选 1 名同学做代表,求选出的 2 名同学性别相同的概率; (II)若从 6 名同学中任选 2 人做代表,求选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的 概率 解:设高中部三名候选人为 A1,A2,B.初中部三名候选人为 a,b1,b2 (I)由题意,从初高中各选 1 名同学的基本事件有 (A1,a)(A1,b1)(A1,b2) , , , (A2,a)(A2,b1)(A2,b2) , , , (B,a)(B,b1)(B,b2) , , , 共9种 ??2 分 设“2 名同学性别相同”为事件 E,则事件 E 包含 4 个基本事件, 概率 P(E)=

4 9 4 . 9
??6 分

所以,选出的 2 名同学性别相同的概率是

(II)由题意,从 6 名同学中任选 2 人的基本事件有 (A1 ,A2)(A1,B)(A1,a)(A1,b1)(A1,b2) , , , , , (A2,B) (A2,a)(A2,b1)(A2,b2)(B,a) , , , , , (B,b1)(B,b2) , ,(a,b1), (a,b2)(b1,b2) , 共 15 种 ??8 分 设“2 名同学来自同一学部”为事件 F,则事件 F 包含 6 个基本事件, 概率 P(F)=

6 2 ? 15 5
2 . 5
??13 分

所以,选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是 19. (本小题满分 14 分)

已知椭圆与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点,且离心率为 (I)求椭圆的标准方程;

2 . 2

(II) 过点 P (0, 的直线与该椭圆交于 A、 两点, 为坐标原点, AP ? 2PB , ?A B 1) B O 若 求 O 的面积. 解: (I)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, a ? b ? 0 , a2 b2

由c ?

2 ,可得 a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2
x2 y2 ? ?1 4 2
??5 分

既所求方程为

(II)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由 AP ? 2PB 有

? ? x1 ? 2x2 ? ?1 ? y1 ? 2( y2 ? 1)

设直线方程为 y ? kx ? 1 ,代入椭圆方程整理,得

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 2 ? 0
解得

??8 分

x?

? 2k ? 8k 2 ? 2 2k 2 ? 1

??10 分



x1 ?

? 2k ? 8k 2 ? 2 ? 2k ? 8k 2 ? 2 , x2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ? ? 2k ? 8k 2 ? 2 ? 2k ? 8k 2 ? 2 ? 2? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
k2 ? 1 14
??12 分

则 解得

又 ?AOB 的面积 S ?

1 1 2 8k 2 ? 2 126 | OP | ? | x1 ? x2 |? ? ? 2 2 2 2k ? 1 8
126 8
??14 分

答: ?AOB 的面积是 20. (本小题满分 14 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,满足下列条件

① ?n ? N * , an ? 0 ;②点 Pn (an , S n ) 在函数 f ( x) ? (I)求数列 {an } 的通项 an 及前 n 项和 S n ; (II)求证: 0 ?| Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 1.

x2 ? x 的图象上; 2

解: (I)由题意

a ? an Sn ? n 2
a n ? S n ? S n?1 ?
2 2 a n ? a n a n ?1 ? a n?1 ? 2 2

2

??2 分

当n ? 2时

整理,得

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0

??5 分

又 ?n ? N * , an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 0 或 an ? an?1 ? 1 ? 0

an ? an?1 ? 0 时, a1 ? 1 ,

an ? ?1 , a n ?1
1 ? (?1) n 2
??7 分



an ? (?1) n?1 , S n ?

an ? an?1 ? 1 ? 0 时, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 1 ,


an ? n , S n ?

n2 ? n 2
n ?1

??9 分

(II)证明: an ? an?1 ? 0 时, Pn ((?1)

1 ? (?1) n , ) 2
??11 分

| Pn?1 Pn?2 |?| Pn Pn?1 |? 5 ,所以 | Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 0
an ? an?1 ? 1 ? 0 时, Pn (n,
n2 ? n ) 2

| Pn ?1 Pn ?2 |? 1 ? ( n ? 2) 2 , | Pn Pn ?1 |? 1 ? ( n ? 1) 2

| Pn ?1 Pn ?2 | ? | Pn Pn ?1 |? 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 ?

1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2
??13 分

?

2n ? 3 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2

因为 所以

1 ? (n ? 2) 2 ? n ? 2, 1 ? (n ? 1) 2 ? n ? 1

0?

2n ? 3 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2

?1
??14 分

综上

0 ?| Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 1

注:不同解法请教师参照评标酌情给分.


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