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高三理科数学试题


六校尖子班联考理科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? {?1,1}, B ? {x ? R |1 ? 2 ? 4}, 则 A ? B ?
x

( D. {0,1}



A. [0, 2)

B.{ 1 }

C. {?1,1}

2. 复数 z1 ? 1 ? i, z 2 ? 2 ? i, 则

z12 ? z2
C. ?





A.

2 4 ? i 5 5

B.

2 4 ? i 5 5

2 4 ? i 5 5

D. ?

2 4 ? i 5 5
( )

3.函数 f ( x) ? log 2 x ? x ? 4 的零点所在的区间是

1 A. ( ,1) 2
2

B.(1,2)
2

C.(2,3)
2

D.(3,4)
2

的离心率为e,且抛物线y ? 2 px的焦点为(e ,0) 则 p 的值 4.已知双曲线 y ? x ? 1
为 A.-2 B.-4 C.2 D.4 5.已知函数 f ( x) ? sin(x ? ( )

?
6

) cos(x ?

?
6

), 则下列判断正确的是

A. f (x) 的最小正周期为 2? ,其图象的一条对称轴为 x ? B. f (x) 的最小正周期为 2? ,其图象的一条对称轴为 x ? C. f (x) 的最小正周期为 ? ,其图象的一条对称轴为 x ? D. f (x) 的最小正周期为 ? ,其图象的一条对称轴为 x ?

?
?
12 6

?
?

12

6 ?0 ? x ? 2 ? 6. 已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定。 M ( x, y ) 为 D 若 ? x ? 2y ???? ??? ? ? ? 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为 ( )
A.3 B.4 C. 3 2
2 2

D. 4 2

7. 若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a 、 0) b〉 始终平分圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长, 则 的最小值是( A. 4 ) B. 2 C.

1 1 ? a b

1 4

D.

1 2

8. 已知 A,B,C,D 是同一球面上的四点, 且连接每两点的线段长都等于 2, 则球心到平面 BCD 的距离为( )
1

A.

2 3 3

B.

2 6 9

C.

6 6

D.

2 3 9

9. 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互 不相同的概率为 ( ) A.

5 21
2 2

B.

2 7
5 3 2 2

C.

1 3

D.

8 21

10. 在圆 x ? y ? 5 x 内,过点 ( , ) 有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首 项 a1 ,最长弦长为 a n ,若公差 d ? ( , ] ,则 n 的取值集合为 ( A.{4,5,6} B.{6,7,8,9} C.{3,4,5} D.{3,4,5,6}

1 1 6 3

)

11.已知 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1的两个焦点, P 为椭圆上一点且 a 2 b2
( )

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? c 2 , 则此椭圆的离心率的取值范围是
A. [

3 ,1] 3

B. [ , ]

1 1 3 2

C. [

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

12.函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数, 函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点 (1,0) 对称, x, y
2 2 满足不等式 f ( x ? 2 x) ? f (2 y ? y ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y ) , O 为坐标原点,则当1 ? x ? 4

???? ???? ? OM ? ON 的取值范围为 ( 时,
A. ?12,?? ? B. ?0,3?

) C. ?3,12? D. ?0,12?

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

( x?
13.已知二项式

2

x 展开式的第 4 项与第 5 项之和为零,那么 x 等于

)7

.

14.一个圆柱形容器的内半径为 5cm,两个直径为 5 的玻璃小球被浸没于容器的水中,当取出 这两个小球后, 容器的水面下降了 x cm, 则 x= . 15. 已知两个不相等的实数 a、b 满足以下关系式:

a 2 ? sin ? ? a ? cos ? ?

?

4

? 0,

b 2 ? s i ? ? ?b c?o? n s

?

4

? 0,

则连接 A a ,a 、 B b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是_________. 16. 设 a1 , a 2 ,?, a n 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此 数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 ? n,

?

2

?

?

2

?

? ?

a1 ? ? 所组成的 d ?

2

集合为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程. 17 . ( 本 题 满 分 12 分 ) ?ABC 中 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 向 量

m ? (2 sin B,? 3 ), n ? ( c o 2 B,2 c o 2 s s

B ? 1) ,且 m // n 2

(1)求锐角 B 的大小;(2)如果 b=2,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值

18.(本小题 12 分)设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ξ 表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数(重根按一个计). (1)求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望; 19. (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 DD1 的中点, O 为 AC 的中点,AB=2.
D1

(I)求证: BD1 // 平面 ACM ; (II)求证: B1O ? 平面 ACM ; (Ⅲ)求三棱锥 O ? AB1M 的体积.
A1 M B1

C1

D O

C

20. (本小题 12 分) 已知椭圆

A

B

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F 与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,且截抛物线 2 a b ? 的准线所得弦长为 2 ,倾斜角为 45 的直线 l 过点 F .
(1)求该椭圆的方程; (2) 设椭圆的另一个焦点为 F1 , 问抛物线 y ? 4 x 上是否存在一点 M , 使得 M 与 F1 关
2

于直线 l 对称,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x ? ax ? x ? 2 .
3 2

(Ⅰ)如果函数 g ? x ? 的单调递减区间为 (? ,1) ,求函数 g ? x ? 的解析式;

1 3

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y= g ? x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程; (Ⅲ)若不等式 2 f ( x) ? g ?( x) ? 2 的解集为 P,且 (0, ??) ? P ,求实数 a 的取值范围.

3

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号。 P 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, O 的直径 AB ? 10 , DE ? AB 于点 H ,HB ? 2 . 圆 弦 C D (Ⅰ)求 DE 的长; (Ⅱ)延长 ED 到 P ,过 P 作圆 O 的切线,切点为 C ,若

PC ? 2 5 ,求 PD 的长.

A O

H

B

E

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? ,曲线 C2 的极坐标程为, ? 曲线 C1 、 C2 相交于点 A 、 B . (Ⅰ)将曲线 C1 、 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求弦 AB 的长.

?

?
4

?? ? R ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 x ? px ? 1 ? 2 x ? p .
2

(Ⅰ)如果不等式当 p ? 2 时恒成立,求 x 的范围; (Ⅱ)如果不等式当 2 ? x ? 4 时恒成立,求 p 的范围.

4

六校尖子班联考理科数学答案
一、选择题:1. B 2.C3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8. C 9. D 10.A 11.C 12.D 二、填空题:13.2 解答题: 17.(理) 解:(1)m∥n ? ? 2 sin B(2 cos2 ? 2sinBcosB =- 3 cos2B ? 14.

5 ;15. 相交 16. 3

??4,?4?, ?4,1??

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2
……4 分

tan2B =- 3

2π π ∵0<2B<π,∴2B= 3 ,∴锐角 B=3 ……6 分 (2)由 tan2B=- 3 ①当 B= ? B =

? 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3

? 5? 或 ————————7 分 6 3

4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ……9 分 ∵△ABC 的面积 S?ABC ?

1 3 ac sin B ? ac ? 3 4 2
??10 分

∴△ABC 的面积最大值为 3 ②当 B=

5? 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6

4=a2+c2+ 3 ac≥(2+ 3 )ac (当且仅当 a=c= 6 ? 2 时等号成立) ∴ac≤4(2- 3 ) ??11 分

1 1 ∵△ABC 的面积 S△ABC=2 acsinB=4ac≤2- 3 ∴△ABC 的面积最大值为 2- 3 ……12 分

18 (1)设基本事件空间为 Ω,记“方程 x2+bx+c=0 有实根”为事件 A,则 A= {(b,c)|b2-4c≥0,b、c=1,?,6} Ω 中的基本事件总数为 6×6=36 个. A 中的基本事件总数为 6+6+4+2+1=19 个, 19 故所求概率为 P(A)=36. (2)由题意,ξ 可能取值为 0,1,2,则

5

17 2 1 17 P(ξ=0)=36,P(ξ=1)=36=18,P(ξ=2)=36. ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 17 36 1 1 18 2 17 36

17 1 17 ∴ξ 的数学期望 E(ξ)=0×36+1×18+2×36=1.
19. (I)证明:连结 BD ,则 BD 与 AC 的交点为 O ,

? AC , BD 为正方形的对角线,故 O 为 BD 中点;
连结 MO,? O , M 分别为 DB , DD1 的中点,

? OM // BD1 ,

OM ? 平面 ACM , BD1 ? 平面 ACM
? BD1 // 平面 ACM .
???4 分

(II)? AC ? BD , DD1 ? 平面 ABCD ,且 AC ? 平面 ABCD ,

? AC ? DD1 ;且 BD ? DD1 ? D ,?
OB1 ? 平面 BDD1 B1 ,?

AC ? 平面 BDD1 B1

???5 分

B1O ? AC ,

??????6 分
2

连结 B1 M ,在 ?B1MO 中, MO2 ? 12 ?

B1O2 ? 22 ?
2

? 2?
2

2

? 6 , B1M 2
2

? 2? ? 1 ? ?2 2 ?
2

? 3, ?9,
?? 8 分 ?? 9 分

2

∴ B1M ? MO ? B1O ,? B1O ? OM 又 OM ? AC ? O ,? B1O ? 平面 AMC ; 法二:?

MD DO 1 ? ? , ∠ODM=∠B1BO=Rt∠, BO BB1 2
?

∴ΔMDO∽ΔOBB1 , ∴∠MOD=∠OB1B, ?MOD ? ?B1OB ? 90 ,∴ B1O ? OM . (Ⅲ)求三棱锥 O ? AB1M 的体积

1 1 1 ? VO ? AB1M ? VB1 ? AOM ? ? OB1 ? S?AOM ? ? 6 ? ? OA ? OM , 3 3 2

6

1 1 ? ? 6 ? ? 2 ? 3 ?1. 3 2
法二:可证 AO ? 平面 OB1M , 则

????? 12 分

1 1 1 1 1 VO ? AB1M ? VA?OB1M ? ? AO ? S?OB1M ? ? 2 ? ? OB1 ? OM ? ? 2 ? ? 6 ? 3 ? 1 3 3 2 3 2
20.解: (1)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 ,???????2 分
2



a2 ? b2 ? 1



???????3 分

又椭圆截抛物线的准线 x ? ?1 所得弦长为 2 , ∴ 得上交点为 (?1,

2 ), 2



1 1 ? 2 ?1 a2 b2
4

②???????4 分
2 2

由①代入②得 2b ? b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 1 或 b 2 ? ? 从而 a ? b ? 1 ? 2
2 2
2

1 (舍去) , 2

???????5 分

x y2 ???????6 分 ? ?1 2 1 ? (2)∵ 倾斜角为 45 的直线 l 过点 F , ? ∴ 直线 l 的方程为 y ? tan 45 ( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 ,???????7 分 由(1)知椭圆的另一个焦点为 F1 (?1,0) ,设 M ( x0 , y 0 ) 与 F1 关于直线 l 对称,
∴ 该椭圆的方程为 ??????8 分

? y0 ? 0 ? x ? 1 ? 1 ? ?1 ? 则得 ? 0 ? y 0 ? 0 ? x 0 ? ( ?1) ? 1 ? 2 2 ? ? x0 ? 1 解得 ? ,即 M (1,?2) ? y 0 ? ?2
又 M (1,?2) 满足 y ? 4 x ,故点 M 在抛物线上。
2 2

???????9 分

???????10 分 ???????11 分

所以抛物线 y ? 4 x 上存在一点 M (1,?2) ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称。 ???????12 分 21 解:(Ⅰ) g ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1
2

??1 分

由题意 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是 ? ? 即 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 的两根分别是 ?

? 1 ? ,1? ? 3 ?

1 ,1 . 3
7

将 x ? 1或 ?

1 代入方程 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 得 a ? ?1 . 3
??3 分
2

? g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: g ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ,? g ?(?1) ? 4 ,

?点 P(?1,1) 处的切线斜率 k ? g ?(?1) ? 4 , ?函数 y= g ? x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程为:
y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 5 ? 0 .
(Ⅲ) ? (0, ??) ? P ,? 2 f ( x) ? g ?( x) ? 2 即: 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 对 x ? ?0,?? ? 上恒成立

??5 分

??7 分

??8 分

3 1 对 x ? ?0,?? ?上恒成立 x? 2 2x 3x 1 设 h?x ? ? ln x ? , ? 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 则 h ' ?x ? ? ? ? ?? 2 x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ? x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3
可得 a ? ln x ? 当 0 ? x ? 1 时, h ? x ? ? 0 ;当 x ? 1时, h ? x ? ? 0
' '

??10 分

?当 x ? 1时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? max =-2

?a ? ?2 .

?a 的取值范围是 ?? 2,?? ? .
22.(Ⅰ) DE ? 8
2 2

??12 分

??5 分

(Ⅱ) PD ? 2

??10 分

23.(Ⅰ) x ? y ? 6 x ? 0 (Ⅱ) AB ? 3 2 24.(Ⅰ) x ? ?1 或 x ? 3 (Ⅱ) p ? ?1

x? y ?0
??10 分 ??5 分 ??10 分

??5 分

8


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