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2.2.2.1椭圆的简单几何性质


2.2.2

椭圆的简单几何性质

椭圆的标准方程
焦点在x 轴上

y
M

x y ? 2 ?1 2 a b
F1(-c,0)

2

2

F

?a ? b ? 0 ?
2



1

o
2

F

2

x

F2(c,0)

a ? b ?c
y

2

焦点在y 轴上

.F 1

y x ? 2 ?1 2 a b
F1(0,c)

2

2

?a ? b ? 0 ?
F2(0,-c)
2

o

x

.F 2

a ? b ?c
2

2

椭圆的一般方程

mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

特点:没有规定焦点的位置。

一、椭圆的范围
-a
o
2

y

b a
x

代数角度
2 2

x y x y 由 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1和 2 ? 1 a b a b

-b

2

即: x ? a和 y ? b
几何角度 结论:椭圆位于直线x=±a和y=±b围成 即 -a≤x≤a -b ≤y≤b 的矩形里.

二、椭圆的对称性

y

F1 O 结论:椭圆既是轴对称图形, 又是中心对称图形
对称轴是x轴和y轴,对称中心是原点 中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

F2

x

三、椭圆的顶点
顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,叫做椭 圆的顶点。 y
x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
令x=0,得y=?说明椭圆
A1(-a,0)
2 2

B1(0,b)

o

A2(a,0 ) x

与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
令y=0,得x=?说明椭圆 与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)

B2(0,-b)

三、椭圆的顶点
长轴、短轴:线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长 A1 轴和短轴。

y B1(0,b)

o
B2(0,-b)

A2 x

a、b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。

思考:椭圆的焦点落在椭圆的长轴上还是短轴上?

焦点落在椭圆的长轴上

小 结:
由椭圆的范围、对称性和顶点, 再进行描点画图,只须描出较少的 点,就可以得到较正确的图形.

四、椭圆的离心率

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 半焦距与长半轴长的比 a 椭圆的离心率.
[1]离心率的取值范围:因为 a > c > 0,所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响:

观察思考:随着c的变化,b是如何变化的? 椭圆的形状有何变化
1) c越大,c 越接近 a,e就越接近 1,b就越小,椭圆就越扁 2)c 越小,c越接近 0,e就越接近 0,b就越大,椭圆就越圆

3)c=0(即两个焦点重合)e =0,则 b= a, 椭圆方程变为x2+ y2=a2(圆)

结论:离心率e越大,椭圆越扁; 离心率e越小,椭圆越圆
练.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁,哪个更圆?

x y x y (1) + =1与 ? ? 1; 9 5 16 12 2 2 2 x y 2 y (2)x + =1与 ? ? 1。 2 6 10

2

2

2

2

标准方程 图象
范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

|x|≤ a,|y|≤ b

|x|≤ b,|y|≤ a

关于x轴,y轴,原点对称 ( a ,0 );(0, b) ( b ,0 ); (0, a) ? ? ? ? (0,?c) ( ?c, 0) 长半轴长为a,短半轴长为b.

焦距为2c a2=b2+c2 a>b>0 a>c>0
c e ? a

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图.
x2 y2 解:把已知方程化成标准方程 2 ? 2 ? 1 5 4

这里, a ? 5, b ? 4, c ?

25 ?16 ? 3

椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ? 10,2b ? 8 焦点坐标分别为 F1 ?? 3,0?, F2 ?3,0? 四个顶点坐标分别为 A1 (?5,0), A2 (5,0), B1 (0,?4), B2 (0,4)
c 3 离心率 e ? a ? 5 ? 0.6

基本量:a、b、c、e、(共四个量) 基本点:四个顶点、两个焦点(共六个点)

2.说出椭圆 的范围,长轴长,短 轴长,焦点坐标,顶点坐标:

x y2 ? ?1 9 16

2

?3 ? x ? 3, ?4 ? y ? 4 2a ? 8, 2b ? 6

(0, ? 7) (0, ?4), (?3, 0)

练习1.求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在x轴上,设椭圆方程为 :
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0), 2 a b ?a ? 2b ? ?a ? 2 5 依题意有:? 得: ? ?16 1 ? b? 5 ? ? 2 ? 2 ?1 ?a b
x y 故椭圆方程为 : + = 1. 20 5
2 2

练习1. 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在y轴上,
4x 同理求得椭圆方程为: ? ? 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为:

y

2

2

x

2

20

?

y

2

5

?1 或

y

2

65

?

x

2

65 4

? 1.

2.椭圆的长短轴之和为18,焦距为6,则椭圆 的标准方程为( C ) 2 2 2 2 x y x y A. ? ? 1. B. ? ? 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. ? ? 1或 ? ? 1. D. ? ?1 25 16 16 25 16 25
3、下列方程所表示的曲线中,关于x轴和y 轴 都对称的是( D ) A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4

4.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1). 经过点P(-3,0)、Q(0,-2);
注意:焦点落在椭圆的长轴上

3 (2). 长轴的长等于20,离心率等于 5
注意:不知道焦点落在哪个坐标轴上, 必须讨论两种情况

.


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