当前位置:首页 >> 数学 >>

第二讲二 圆锥曲线的参数方程


第二讲

参数方程



圆锥曲线的参数方程

第二讲

参数方程

学习目标
1.分析圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数写出它们的
参数方程.

2.应用圆锥曲线的参数方程解决具体的问题.

栏目 导引

第二讲

参数方程

新知初探思维启动
1.圆的参数方程 圆心在点 C(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为 ? ?x=x0+rcos θ ________________ (θ 为参数 ,0≤θ<2π).
? ?y= y0+rsin θ ?

旋转角 其中 θ 的几何意义是点 M(x,y)的_________.

栏目 导引

第二讲

参数方程

2.椭圆的参数方程 中心在原点 O,长、 短半轴分别为 a 和 b,且长轴所在的直线
? ?x=acos θ ? ? ?y= bsin θ 平行于 x 轴的椭圆的参数方程______________ 为 (θ 为参

数 ,0≤ θ<2π,a>b> 0). 椭圆的离心角 其中参数 θ 的几何意义是_________________. 3.双曲线的参数方程 中心在原点 O,实、 虚半轴分别为 a 和 b,且实轴所在的直线 平行于 x 轴的双曲线的参数方程为
? ?x=asec θ π 3π ? θ≠ , ? y = b tan θ 2 2 ? ____________(θ 为参数 ,0≤ θ<2π,____________, a>0,b>0).
栏目 导引

第二讲

参数方程

4.抛物线 y2= 2px(p>0)的参数方程
? ?x=2pt ? ? ?y= 2pt ___________( p>0,t 为参数 ,t∈ R),
2

其中参数 t 可以视为该抛物线 y2=2px(p>0)上任一点 P 与 抛物线顶点 O 所连直线 OP 的斜率的倒数 ,即对抛物线上任 x 一点 P(x,y),都有 t= . y

栏目 导引

第二讲

参数方程

典题例证技法归纳
题型探究 题型一 椭圆参数方程的应用
x 2 y2 例1 过点 B(0,b),作椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的弦,求这些弦 a b 的最大值 .

栏目 导引

第二讲

参数方程

【解】 在椭圆上任取一点 P(acos θ,bsin θ),则 |BP|2= a2cos2θ+ b2(sin θ- 1)2 = a2(1- sin2θ)+b2(sin θ- 1)2 = a2+b2- c2sin2θ-2b2sin θ 4 2 b b = a2+b2+ 2 - c2(sin θ+ 2)2. c c b2 b2 若 2 <1 即 b<c, 当 且 仅 当 sin θ = - 2 时 |BP| 有 最 大 值 : c c 2 2 2 4 b ? b + c ? b 2 2 2 a +b + 2= a+ c c2 2 2 2 a b a = a2+ 2 = . c c 若 b≥ c,当且仅当 sin θ=- 1 时 ,|BP|有最大值 2b.
栏目 导引

第二讲

参数方程

【名师点评】

参数方程的主要价值在于坐标一元化及

三角技巧的运用 . 本例运用了椭圆的参数方程 , 将一个二 元条件极值问题 , 转化为一个一元三角极值的计算 , 同时 由于设参数而创造了运用三角技巧的条件 ,从而达到了简 化运算的目的.

栏目 导引

第二讲

参数方程

变式训练 1.在椭圆4x2+9y2=36上求一点P,使以P,A(-2,-8),B(

-6,-6)为顶点的三角形面积最小.
解 :易求直线 AB 所在的直线方程为 : x+2y+18= 0. 设椭圆上点 P(3cos θ,2sin θ),则点 P 到直线 AB 的距离 d= |3cos θ+ 2· 2sin θ+ 18| 12+22 1 = |5cos(θ- α)+ 18|. 5
栏目 导引

第二讲

参数方程

3 4 其中 ,cos α= ,sin α= , 5 5 当 θ- α= π 时 ,d 取得最小值 13 , 5

9 这时 x=3cos θ= 3cos(π+ α)=-3cos α=- , 5 8 y= 2sin θ= 2sin(π+ α)=-2sin α=- , 5 9 8 所求点 P 为(- ,- ). 5 5

栏目 导引

第二讲

参数方程

题型二
例2

双曲线参数方程的应用

求证:双曲线上任一点到两渐近线的距离的乘积

是一个定值.
【证明】 设双曲线的方程为 b2x2-a2y2= a2b2(a>0,b>0), 则它的两条渐近线方程是 : bx+ ay= 0,bx-ay= 0. 设双曲线上任一点的坐标为 M(asec φ,btan φ), 它到两渐近线的距离是 d1 和 d2, |absec φ+ abtan φ| |absec φ- abtan φ| 则 d1· d2= · 2 2 a +b a2+b2 a2b2 = 2 (定值). a +b2
栏目 导引

第二讲

参数方程

【名师点评】

在研究最值和定值问题中,使用曲线的参

数方程非常简捷方便,点到直线的距离公式对参数形式的 点的坐标仍适用,注意公式sec2φ-tan2φ=1的应用.

栏目 导引

第二讲

参数方程

变式训练 2.如图,设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1、F2是

两个焦点,求证:|PF1|· |PF2|=|OP|2.

栏目 导引

第二讲

参数方程

证明:设 P(sec φ,tan φ), ∵ F1(- 2,0),F2( 2,0), ∴ |PF1|= = |PF2|= ? sec φ+ 2?2+tan2φ ? secφ- 2?2+tan2φ 2sec2φ+2 2sec φ+ 1,

= 2sec2φ-2 2sec φ+ 1 |PF1|· |PF2|= ?2sec2φ+1? 2-8sec2φ = 2sec2φ- 1. |OP|2= sec2φ+ tan2φ = 2sec2φ- 1, ∴ |PF1|· |PF2|= |OP|2.
栏目 导引

第二讲

参数方程

题型三
例3 OA、OB.

抛物线参数方程的应用

过抛物线y2=2px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦

(1)求线段AB中点M的轨迹方程; (2)分别以弦OA、OB为直径画圆,求两圆另一交点H的轨迹.
2 【解】 (1)设点 A(2pt2 ,2 pt ), B (2 pt 1 1 2,2pt2),M(x,y), 2 则 x=p(t2 1+ t2),① 2 y= p(t1+t2),y2= p2(t2 1+ t 2+ 2t1t2).② 1 1 又 OA⊥ OB,且 kOA= ,kOB= , t1 t2 11 则 · =- 1,t1· t2=- 1.③ t1 t2
栏目 导引

第二讲

参数方程

将①、③代入②化简 ,得所求中点 M 的轨迹方程 y2= p(x- 2p). (2)设点 A、 B 坐标同题 (1),且由 OA⊥ OB 得 t1· t2=- 1,④ 又设点 H(x,y),则由题意得 OH⊥ AB,直线 AB 方程为 2pt1- 2pt2 2 y- 2pt1= 2 2(x- 2pt1),即 x-(t1+ t2)y+ 2pt1t2= 0.⑤ 2pt1- 2pt2 而直线 OH 方程为 y=- (t1+ t2)x, y 即 t1+ t2=- .⑥ x 将④、⑥代入⑤并整理得点 H 的轨迹方程 x2+ y2-2px=0(x≠0,p>0). 所求点 H 轨迹是以 (p,0) 点为圆心 ,p 为半径的圆 (除去点 (0,0)).
栏目 导引

第二讲

参数方程

【名师点评】

此例是用参数法求多动点轨迹的典型题.

题(1)中求得x=f(t1,t2),y=g(t1,t2)后,要注意重审题意 ,发现 t1· t2=-1这个关键式子.题(2)是变换视角求两动直线交点 的轨迹,也可先求出以OA、OB为直径的圆的方程,再通过 方程相减等变形消参求解.

栏目 导引

第二讲

参数方程

变式训练 3. 过抛物线 y2 = 2px(p>0) 的顶点 O 作两条互相垂直的弦

OA、OB.
(1)设OA的斜率为k,试用k表示点A、B的坐标; (2)求弦AB中点M的轨迹方程.(用不同于例3的方法求解)
? ?y = 2px, 解:(1)直线 OA 与抛物线相交得? 点 A 的坐标是 ? ?y= kx,
2

2p 2p ( 2 , ).同理,点 B 的坐标是 (2pk2,-2pk). k k
栏目 导引

第二讲

参数方程

? ?y = 2px, 解 :(1)直线 OA 与抛物线相交得? 点 A 的坐标是 ? ?y= kx,

2

2p 2p ( 2 , ).同理 ,点 B 的坐标是 (2pk2,- 2pk). k k (2)设 M(x,y)是 AB 中点轨迹上的任意一点 ,则

? ? 1 ?y=p?k-k?,

1 x=p? 2+ k2?, k

y2 x 所以 ,中点 M 的轨迹方程是 2= - 2, p p

即 y2=p(x-2p)(p>0).

栏目 导引

第二讲

参数方程

题型四
例4

应用参数求曲线的轨迹方程

设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,焦点为F,顶点为

O,P为抛物线上任一点,PQ⊥l于Q,求QF与OP的交点M的轨
迹方程.
【解】 设 P 点的坐标为 (2pt2,2pt),当 t≠ 0 时 ,直线 OP 的方 1 p 程为 y= x,QF 的方程为 y=-2t(x- ),它们的交点 M(x,y) 2 t

? 由方程组? p ?y=-2t?x-2?

1 y= x t

确定 ,两式相乘 ,消去 t 后 ,

栏目 导引

第二讲

参数方程

p 得 y =-2x(x- ). 2
2

∴M 的轨迹方程为 :2x2-px+y2= 0(x≠0). 当 t= 0 时, M(0,0)满足题意且适合方程 2x2-px+y2=0, 故所求的轨迹方程为 2x2- px+y2=0(p>0).

【名师点评】

用参数法求动点的轨迹方程,其基本思想

是选取适当的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参 数有关,从而得到动点的参数方程 ,然后再消去参数 ,化为

普通方程 , 如果动点轨迹与圆锥曲线有关 , 通常以圆锥曲
线的参数方程中的参数作为中间变量.
栏目 导引

第二讲

参数方程

变式训练 4.△ABC一边AB固定,顶点C在一条平行于AB的定直线l

上移动,设△ABC的垂心在三角形内,求垂心的轨迹方程.
解 :建系如图 .A(0,0),B(a,0),选点 C 的横坐标 t 为参数 ,设 C(t,h),H(x,y). a- t h ∵kBC= ,∴ kOD= . h t-a CF: x=t ? ? 由? 消去 t,得 a- t OD: y= x ? h ? hy= ax-x2(0<x<a,0<y<h).
栏目 导引

第二讲

参数方程

方法感悟
1.与圆锥曲线上的动点有联系的最值和定值问题,运用
参数方程往往可以化难为易. 2.设参数求曲线的轨迹方程,主要有以下五步: (1)建立坐标系; (2)选参:常用的物理参数有时间、路程、速度等.几何 参数有角θ,斜率k,线参数t等; (3)用参:求动点的两个坐标与参数的关系式; (4)消参; (5)考查曲线纯粹性与完备性.
栏目 导引

第二讲

参数方程

知能演练轻松闯关

栏目 导引

第二讲

参数方程

本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放

栏目 导引


相关文章:
2.2.2 圆锥曲线的参数方程
2.2.2 圆锥曲线的参数方程_数学_高中教育_教育专区。请 白城实验高中 高二...第二讲 参数方程 编制人:李荣雪 包科领导: 2016 年 § 2.2.2 圆锥曲线...
选修4-4 第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程)
圆锥曲线的参数方程 教学目的:圆锥曲线的参数方程及其与普通方程的关系,系数 a, b 的含义; 教学重点、难点:圆锥曲线参数方程的推导及应用,参数方程与普通方程的...
...数学《第二讲 参数方程· 二、圆锥曲线的参数方程(...
09.04.10高二文科数学《第二讲 参数方程· 二、圆锥曲线的参数方程(四)》 隐藏>> 第二讲 参数方程· 二、圆锥曲线的参数方程(四)知识与技能:理解抛物线的参数...
...数学《第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程(三)...
湖南省蓝山二中高二数学 《第二讲 参数方程 二、 圆锥曲线的参数方 程(三) 》教案 新人教 A 版知识与技能:理解双曲线的参数方程,掌握参数方程的应用. 过程与...
...数学《第二讲 参数方程 二、圆锥曲线的参数方程(二)...
湖南省蓝山二中高二数学 《第二讲 参数方程 二、 圆锥曲线的参数方 程(二) 》教案 新人教 A 版知识与技能:理解椭圆的参数方程 ,掌握参数方程的应用. 过程与...
...数学《第二讲 参数方程· 二、圆锥曲线的参数方程(...
第二讲 参数方程· 二、圆锥曲线的参数方程(二)知识与技能:理解椭圆的参数方程,掌握参数方程的应用. 过程与方法:通过学习圆锥曲线的参数方程,得出参数方程与普通...
...数学《第二讲 参数方程· 二、圆锥曲线的参数方程(...
09.04.07高二文科数学《第二讲 参数方程· 二、圆锥曲线的参数方程(一)》 隐藏>> 第二讲 参数方程· 二、圆锥曲线的参数方程(一)知识与技能:理解椭圆的参数...
...第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第2课...
2017年高中数学第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第2课时圆的参数方程检测北师大版4-4._高考_高中教育_教育专区。第二讲 第二节 第二课时 圆的...
...第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第1课...
2017年高中数学第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第1课时直线的参数方程检测北师大版4-4._高考_高中教育_教育专区。第二讲 第二节 第一课时 直线的...
...第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第3课...
2017年高中数学第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第3课时椭圆的参数方程检测北师大版4-4._高考_高中教育_教育专区。第二讲 第二节 第三课时 椭圆的...
更多相关标签: