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江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题


徐州市 2013 年高考考前信息卷

数学Ⅰ卷
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本试卷满分 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用的 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题纸上的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:
样本数据 x1 , x2 ,? , xn 的标准差 s ?
1 n

? ( xi ? x ) 2 ,其中 x ?
i ?1

n

1 n

?x
i ?1

n

i



一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上. . 1.若集合 A ? ??1 , 0 , 1? , B ? x x ? m 2 ? 1 , m ? R ,则 A ? B = 2.设 i 是虚数单位,复数

?

?

▲ .



1 ? ai 3?i

为纯虚数,则实数 a 的值为



3.已知样本 7,8,9, x, y 的平均数是 8 ,且 xy ? 60 ,则此样本的标准差是 4.在集合 M ? { x | x ?
n? 6 , n ? 1, 2,? ,10} 中任取一个元素, 1





Read x If

x ≤ ?1 Then f(x)←x+2 所取元素恰好满足方程 cos x ? 的概率是 ▲ . 2 Else 2 x 2 If ?1 <x ≤ 1 Then ? y ? 1 有相同的焦点,且它们的 5.已知双曲线与椭圆 2 f(x)←x 2 离心率互为倒数,则该双曲线的方程为 ▲ . Else f(x)← ? x +2 6.已知某算法的伪代码如右,根据伪代码,若函数 End If End If 7. g ( x ) ? f ( x ) ? m 在 R 上有且只有两个零点,则实数 Print f(x)

m 的取值范围是
7.已知 cos(
3? ? ? 2 )??


2 3

. (第 6 题图) ▲ .

,则 cos 2? ?

8.有一个正四面体的棱长为 3 ,现用一张圆形的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可 以折叠) ,那么包装纸的最小半径为 ▲ .

9.过点 P (1,1) 的直线将圆 x 2 ? y 2 ? 4 分成两段圆弧,要使这两段弧长之差最大,则该直线 的方程为 ▲ .

1 10.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? ? n 2 ? kn ( k ? N ? ) ,且 S n 的最大值为 8,则 a 2 ? 2 ▲ .

11.已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2,点 M , N 分别为线段 BC , CD 上的两个不同 点,且 MN ? 1 ,则 OM ?ON 的取值范围是
???? ?
???? ???? ?





12.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 3 , a2 ? 2 ,当 n ≥ 2 时, a n ?1 是 an ? an ?1 的个位数, 则 a2013 ? ▲ . , 1 ) 若 实 数 m, n 满 足 f ( m)? f ( n) 2 则 mn 的 最 小 值 是 ? ,

13 . 已 知 f ( x ) ? l o 2g x? ( ▲ .

14.设曲线 y ? ? ax ? 1? e x 在点 A ? x0 , y1 ? 处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x ? e ? x 在点 A ? x0 , y 2 ? 处
? 3? 的切线为 l2 .若存在 x0 ? ? 0, ? ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围是 ? 2?





二、解答题: 本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出 ........ 文字说明、求证过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
??? ??? 1 ? ? 设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .已知 a ? 1 , b ? 2 , CA?CB ? . 2

⑴求边 c 的长; ⑵求 cos? A ? C ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是平行四边形,且

AC ? CD , PA ? AD , M , Q 分别是 PD , BC 的中点.
(1)求证: MQ ? 平面 PAB ; (2)若 AN ? PC ,垂足为 N ,求证: MN ? PD .

P

N
A

M

D

B

C

17. (本小题满分 14 分) 某人 2002 年底花 100 万元买了一套住房,其中首付 30 万元, 70 万元采用商业贷款.贷 款的月利率为 5 ?,按复利计算,每月等额还贷一次,10 年还清,并从贷款后的次月开 始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条” ,要求卖房时按照差额的 20%缴税.如果这个人 现在将住房 150 万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据: (1 + 0.005)120 ? 1.8 )

18. (本小题满分 16 分) 1 x2 y2 已知椭圆 E : 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点为 F ,且椭圆 E 上的点到 a b 2 点 F 距离的最小值为 2. ⑴求椭圆 E 的方程; ⑵设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A, B ,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相交 于点 M , N . (ⅰ)当过 A, F , N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; (ⅱ)若 cos ?AMB ? ?
65 65

,求 △ ABM 的面积.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } ,其前 n 项和为 S n .

⑴若对任意的 n ? N ? , a2 n -1 ,a2 n +1 ,a2 n 组成公差为 4 的等差数列,且 a1 =1 , 求 n 的值; ⑵若数列 {
Sn an

S2n 2n

? 2013 ,

+a} 是公比为 q ( q ? ?1) 的等比数列, a 为常数,求证:数列 {an } 为等比数

列的充要条件为 q =1+

1 a



20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?
a x + ln x , g ( x ) ? 1 2 bx 2 ? 2 x + 2 , a, b ? R .

⑴求函数 f ( x ) 的单调区间; ⑵记函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 a ? 0 时, h( x ) 在 (0,1) 上有且只有一个极值点,求实 数 b 的取值范围; ⑶记函数 F ( x ) ? f ( x ) , 证明: 存在一条过原点的直线 l 与 y ? F ( x ) 的图象有两个切点.

徐州市 2013 年高考考前信息卷

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题)。本试卷满分 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用的 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题纸上的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答. .................... 若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,? O 的半径 OB 垂直于直径 AC ,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交 ? O 于点 N , B

C

M O A

P

过 N 点的切线交 CA 的延长线于点 P . (1)求证: PM 2 ? PA ? PC ; (2)若 ? O 的半径为 2 3 , OA ? 3OM , 求 MN 长.

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
?1 设M ?? ?0

?1 0? ? ?, N ? ?2 2? ?0

? 0? ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程. ? 1?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 点 P 为 圆 ? 2 ? 2 ? s i n? ? 7? 0 任 一 点 . 求 点 P 到 直 线 上

? cos ? ? ? sin ? ? 7 ? 0 的距离的最小值与最大值.

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a , b, c 为正数,且满足 a cos 2 ? ? b sin 2 ? ? c ,求证: a cos 2 ? ? b sin 2 ? ? c .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.过直线 y = - 1 上的动点 A(a, - 1) 作抛物线 y = x 2 的两切线 AP, AQ , P , Q 为切点. (1)若切线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k 2 为定值; (2)求证:直线 PQ 过定点.

23.已知 ( x + 1) n ? a0 + a1 ( x ? 1) + a2 ( x ? 1) 2 + ? + an ( x ? 1) n (n ? N * ) . ⑴求 a 0 及 S n ? ? ai ;
i ?1 n

⑵试比较 S n 与 ( n ? 2)2 n + 2 n 2 的大小,并说明理由.

徐州市 2013 年高考考前信息卷

数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题:1. {1} 2.3 3. 2 4. 0.2 5. 2 x 2 ? 2 y 2 ? 1 6. ( ?? , 0) ? {1} 7. ? 8. 2 3 9. x ? y ? 2 ? 0 10.
5 2 79 81

11. [2 ? 2,1]

12. 6

13.9

? 3? 14. ?1, ? ? 2?

二、解答题: ??? ??? 1 ? ? 1 15.⑴由 CA?CB ? ,得 ab cos C ? .??????????????????2 分 2 2 1 因为 a ? 1 , b ? 2 ,所以 cos C ? ,???????????????????4 分 4 2 2 2 所以 c ? a + b ? 2ab cos C ? 1 + 4 ? 1 ? 4 , 所以 c ? 2 .????????????????????????????? 7 分 1 ⑵因为 cos C ? , C ? (0, ? ) , 4 15 所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? ,?????????????9 分 4
15 15 所以 sin A ? ,????????????????????11 分 ? 4 ? c 2 8 7 因为 a ? c ,所以 A ? C ,故 A 为锐角,所以 cos A ? 1 ? sin 2 A ? , 8 7 1 15 15 11 所以 cos( A ? C ) ? cos A cos C + sin A sin C ? ? + . ????14 分 ? ? 8 4 8 4 16 16. (1)取 PA 的中点 E ,连结 ME , BE , 1 因为 M 是 PD 的中点,所以 ME ? AD , ME ? AD , 2 P 1 又因为 Q 是 BC 中点,所以 BQ ? BC , 2 因为四边形 ABCD 是平行四边形; a sin C

所以 BC ∥AD ,所以 BQ ∥ME , 所以四边形 MQBE 是平行四边形,????4 分 所以 MQ ? BE .因为 BE ? 平面 PAB , MQ ? 平面 PAB , 所以 MQ ? 平面 PAB .????????6 分 (2)因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,

E N

M

A

D

B

Q (第 16 题图)

C

所以 PA ? CD ,又因为 AC ? CD , PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 CD ? 平面 PAC ,又 AN ? 平面 PAC , 所以 AN ? CD . ???????????9 分 又 AN ? PC , PC ? CD ? C , PC ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AN ? 平面 PCD ,又 PD ? 平面 PCD ,所以 AN ? PD ,????????12 分 又 PA ? AD , M 是 PD 中点,所以 AM ? PD ,??????????????13 分 又 AM ? AN ? A , AM ? 平面 AMN , AN ? 平面 AMN ,所以 PD ? 平面 AMN , 又 MN ? 平面 AMN ,所以 MN ? PD .????????????????????14 分 17.⑴设每月应还贷 x 元,共付款 12 ? 10 ? 120 次,则有 x[1 + (1 + 0.005) + (1 + 0.005) 2 + ? + (1 + 0.005)119 ] ? 700000(1 + 0.005)120 ,????4 分 所以 x ?
700000 ? 0.005 ? (1 + 0.005)120 (1 + 0.005)120 ? 1

.????????????6 分 ? 7875 (元)

答:每月应还贷 7875 元.????????????????????????7 分 ⑵卖房人共付给银行 7875 ? 120 ? 945000 元, 利息 945000 ? 700000 ? 245000 (元) ,??????????????????10 分 缴纳差额税 (1500000 ? 1000000) ? 0.2 ? 100000 (元) ,????????????12 分 . 500000 ? (245000 + 100000) ? 155000 (元) 答:卖房人将获利约 155000 元.?????????????????????14 分 c 1 18.⑴由已知, ? ,且 a ? c ? 2 ,所以 a ? 4 , c ? 2 ,所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 , a 2 所以椭圆 E 的方程为
x2 16 + y2 12 ? 1 .?????????????????????3 分

⑵(ⅰ)由⑴, A(?4,0) , F (2, 0) ,设 N (8, t ) . 设圆的方程为 x 2 + y 2 + dx + ey + f ? 0 ,将点 A, F , N 的坐标代入,得
? d ? 2, ?16 ? 4 d + f ? 0, ? 72 ? ? 解得 ? e ? ? t ? , ?????????????????6 分 ? 4 + 2 d + f ? 0, t ? ? 2 ? 64 + t + 8 d + et + f ? 0, ? ? f ? ?8,

所以圆的方程为 x 2 + y 2 + 2 x ? (t +

72 t

)y ?8 ? 0,

1 72 1 72 即 ( x + 1) 2 + [ y ? (t + )]2 ? 9 + (t + ) 2 , 2 t 4 t 72 72 因为 (t + ) 2 ≥ (2 72) 2 ,当且仅当 t + ? ?12 2 时,圆的半径最小, t t

故所求圆的方程为 x 2 + y 2 + 2 x ? 12 2 y ? 8 ? 0 .???????????????9 分 (ⅱ)由对称性不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x + 4)(k ? 0) .
? y ? k ( x + 4), 12 ? 16 k 2 24 k ? 由 ? x2 y2 得M( , ) ,?????????????????11 分 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ? 1, ? + ? 16 12

???? ???? ?24 ?24 k 32 k 2 ?24 k 所以 MA ? ( , ), , ) , MB ? ( 2 2 2 3 + 4k 3 + 4k 2 3 + 4k 3 + 4k ???? ???? MA?MB ? 8 ? 24 k 65 ?? 所以 cos ? AMB ? ???? ???? ? , 2 2 2 65 MA MB 24 1 + k ? (32 k ) + 24

化简,得 16k 4 ? 40k 2 ? 9 ? 0 ,??????????????????????14 分 1 9 1 3 解得 k 2 ? ,或 k 2 ? ,即 k ? ,或 k ? , 4 4 2 2 1 此时总有 y M ? 3 ,所以 △ ABM 的面积为 ? 8 ? 3 ? 12 .??????????16 分 2 19.⑴因为 a2 n ?1 , a2 n ?1 , a2 n 成公差为 4 的等差数列, 所以 a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 4, a2 n ? a2 n ?1 ? (n ? N ? ) ,?????????????????2 分 8 所以 a1 , a3 , a5 ,? , a2 n ?1 , a2 n ?1 是公差为 4 的等差数列,且 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? 8n , ???????????4 分 又因为 a1 ? 1 ,所以 S 2 n ? 2 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? ? 8n
? 2[ n + n ( n ? 1) 2 ? 4] + 8n ? 4 n 2 + 6 n ? 2 n(2 n + 3) ,

? 2 n + 3 ? 2013 ,所以 n ? 1005 .?????????????????6 分 2n S ⑵因为 n ? a ? ( a ? 1) q n ?1 ,所以 S n ? ( a ? 1) q n ?1an ? aan , ① an

所以

S2n

所以 S n ?1 ? ( a ? 1) q n an ?1 ? aan ?1 ,
n



②-①,得 ( a ? 1)(1 ? q ) an ?1 ? [ a ? ( a ? 1) q n ?1 ]an , ③ ???????????8 分 (ⅰ)充分性:因为 q ? 1 ?
q (1 ? q n ) an ?1

,所以 a ? 0, q ? 1, a ? 1 ? aq ,代入③式,得 a ? (1 ? q n ) an ,因为 q ? ?1 ,又 q ? 1 , , n ? N* ,所以 ? an ? 为等比数列,??????????????12 分

1

所以

an ?1 an

?

1 q

(ⅱ)必要性:设 ? an ? 的公比为 q 0 ,则由③得 ( a ? 1)(1 ? q n ) q0 ? a ? ( a ? 1) q n ?1 ,
1 整理得 ? a ? 1? q0 ? a ? ? a ? 1? ( q0 ? ) q n ,?????????????????14 分 q 此式为关于 n 的恒等式,若 q ? 1 ,则左边 ? 0 ,右边 ? ?1 ,矛盾;

? ( a ? 1) q0 ? a , 1 ? 若q ? ?1 ,当且仅当 ? 1 时成立,所以 q ? 1 ? . ( a ? 1) q0 ? ( a ? 1) a ? q ? 1 由(ⅰ)(ⅱ)可知,数列 {an } 为等比数列的充要条件为 q =1+ .???????16 分 、 a a 1 x?a 20. (1)因为 f ?( x ) ? ? 2 ? ? 2 , x x x ①若 a ≤ 0 ,则 f ?( x ) ≥ 0 , f ( x ) 在 (0, ?? ) 上为增函数,??????????2 分

②若 a ? 0 ,令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? a , 当 0 ? x ? a 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x ) ? 0 . 所以 (0, a ) 为单调减区间, ( a , ?? ) 为单调增区间. 综上可得,当 a ≤ 0 时, (0, ?? ) 为单调增区间,

当 a ? 0 时, (0, a ) 为单调减区间, ( a , ?? ) 为单调增区间. ?????4 分 (2) a ? 0 时, h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?
h?( x ) ? bx ? 2 ? 1 ? bx 2 ? 2 x ? 1
1 2 bx 2 ? 2 x ? 2 ? ln x ,

, ????????????????????5 分 x x h( x ) 在 (0,1) 上有且只有一个极值点,即 h?( x ) ? 0 在 (0,1) 上有且只有一个根且不为重根, 由 h ?( x ) ? 0 得 bx 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , ?????????????????????6 分 (i) b ? 0 , x ? ,满足题意;??????????????????????7 分 2 (ii) b ? 0 时, b ? 12 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,即 0 ? b ? 1 ;???????????????8 分 (iii) b ? 0 时, b ? 12 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,得 b ? 1 ,故 b ? 0 ; 综上得: h( x ) 在 (0,1) 上有且只有一个极值点时, b ? 1 . ???????????9 分 注:本题也可分离变量求得. (3)证明:由(1)可知: (i)若 a ≤ 0 ,则 f ?( x ) ≥ 0 , f ( x ) 在 (0, ?? ) 上为单调增函数, 所以直线 l 与 y ? F ( x ) 的图象不可能有两个切点,不合题意.????????10 分 (ⅱ)若 a ? 0 , f ( x ) 在 x ? a 处取得极值 f ( a ) ? 1 ? ln a . 若 1 ? ln a ≥ 0 , a ≥ 故0 ? a ?
1

1 e

时,由图象知不可能有两个切点.??????????11 分

1 e

,设 f ( x ) 图象与 x 轴的两个交点的横坐标为 s, t (不妨设 s ? t ) ,

则 直 线 l 与 y ? F ( x ) 的 图 象 有 两 个 切 点 即 为 直 线 l 与 y1 ? ?

a x

? ln x, x ? ( s , t ) 和

y2 ? ? y1 ?

a x a

? ln x , x ? (t , ?? ) 的切点.

1 a?x a 1 x?a ? ? ? 2 , y2 ? ? 2 ? ? 2 , x x x x x x
2

设切点分别为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 0 ? x1 ? x2 ,且
a ? x1 x1
2

?

y1 x1

??

a x1
2

?

ln x1 x1



x2 ? a x2
2

?

y2 x2

?

a x2
2

?

ln x2 x2



a ? x1 x1
2

?

x2 ? a x2 2





2a x1

? 1 ? ln x1 ,



2a x2 a?

? 1 ? ln x2 , ② x1 x2 ( x1 ? x2 ) x12 ? x2 2 2a x1 ?

,③
2a x2 ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? ln x1 x2

①-②得:



由③中的 a 代入上式可得: ( 即 令
2( x1 ? x2 )
2 2

2 x1

?

x 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) ) ? ? ln 1 , 2 2 x2 x1 ? x2 x2

x1 ? x2
2

2

? ln

x1 x2

, ???????????????????????14 分

x1 x2

? k (0 ? k ? 1) ,则 ( k 2 ? 1) ln k ? 2 k 2 ? 2 ,令 G ( k ) ? ( k 2 ? 1) ln k ? 2k 2 ? 2(0 ? k ? 1) ,

1 3 1 4 因为 G ( ) ? 1 ? 2 ? 0 , G ( 2 ) ? ? 4 ? 0 , e e e e 故存在 k0 ? (0,1) ,使得 G ? k0 ? ? 0 ,

即存在一条过原点的直线 l 与 y ? F ( x ) 的图象有两个切点.????????16 分

徐州市 2013 年高考考前信息卷

数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21. A. (1)连结 ON.因为 PN 切⊙O 于 N,所以 ?ONP ? 90? , 所以 ?ONB ? ?BNP ? 90? . 因为 OB ? ON ,所以 ?OBN ? ?ONB . C 因为 BO ? AC 于O,所以 ?OBN ? ?BMO ? 90? , 所以 ?BNP ? ?BMO ? ?PMN ,所以 PM ? PN . 所以 PM 2 ? PN 2 ? PA ? PC .????????5分 (2) OM ? 2 , BO ? 2 3 , BM ? 4 . 因为 BM ? MN ? CM ? MA ? (2 3 ? 2)(2 3 ? 2) ? 8 , 所以 MN ? 2 .????????????????????????????10分 ?1 ? ?1 ? 0? ? 0? ?1 0 ? ? B. MN ? ? ,???????????????????4 分 ? 2 ? 2 ?0 2 ? ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? ? ? ? 设 ? x , y ? 是曲线 y ? sin x 上的任意一点,在矩阵 MN 变换下对应的点为 ? x?, y ? ? .
1 ? ? ? x ? 2 x ?, 0 ? ? x ? ? x? ? ? x? ? x, ? ,所以 ? ??????????????8 分 ? 2 即? 1 ? ? y ? ? y ?? ? ? ? ? ? y? ? 2 y, ? y ? 2 y ?, 2? ? ? 1 代入 y ? sin x ,得 y ? ? sin 2 x ? ,即 y ? ? 2sin 2 x? . 2 即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y ? 2sin 2 x .????????10 分 ?1 则?2 ? ?0

B

M O A N

P

C.圆 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 7 ? 0 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 7 ? 0 ,????????? 2 分 直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 7 ? 0 的普通方程为 x ? y ? 7 ? 0 ,??????????? 4 分 设点 P (2 2 cos ? , 2 2 sin ? ? 1) , 则点 P 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离 d ?
? , 2 2 ??????????????????????????????????8 分 4 12 ? 2 2 ; d max ? ? 6 2 .??????????????????10 分 所以 d min ? 2 2 2 2 cos ? ? 2 2 sin ? ? 8 ? 4sin(? ? ) ? 8 4

D.由柯西不等式,得

a cos 2 ? ? b sin 2 ?
1 1

≤ [( a cos? ) 2 ? ( b sin ? ) 2 ] 2 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) 2
1

? (a cos 2 ? ? b sin 2 ? ) 2 ? c .??????????????????????10 分
22. (1)设过 A 作抛物线 y ? x 的切线的斜率为 k ,则切线的方程为 y ? 1 ? k ( x ? a ) ,
2

与方程 y ? x 联立,消去 y ,得 x 2 ? kx ? ak ? 1 ? 0 .
2

因为直线与抛物线相切,所以 ? ? k ? 4( ak ? 1) ? 0 ,
2

即 k 2 ? 4ak ? 4 ? 0 . 由题意知,此方程两根为 k 1 , k 2 , 所以 k1k 2 ? ?4 (定值). ??????????????????????????4 分 (2)设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,由 y ? x ,得 y ? 2 x .
2

'

所以在 P 点处的切线斜率为: y | x ? x1 ? 2 x1 ,因此,切线方程为: y ? y1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) .
'

由 y1 ? x12 ,化简可得, 2 x1 x ? y ? y1 ? 0 . 同理,得在点 Q 处的切线方程为 2 x2 x ? y ? y2 ? 0 . 因为两切线的交点为 A( a , ?1) ,故 2 x1a ? y1 ? 1 ? 0 , 2 x2 a ? y2 ? 1 ? 0 . 所以 P, Q 两点在直线 2ax ? y ? 1 ? 0 上,即直线 PQ 的方程为: 2ax ? y ? 1 ? 0 . 当 x ? 0 时, y ? 1 ,所以直线 PQ 经过定点 (0,1) .??????????????10 分 23.⑴令 x ? 1 ,则 a0 ? 2 n ,令 x ? 2 ,则 ? ai ? 3n ,所以 S n ? ? ai ? 3n ? 2 n .??2 分
i?0 i ?1 n n

⑵要比较 S n 与 ( n ? 2)2 n + 2 n 2 的大小,只要比较 3 n 与 ( n ? 1)2 n + 2 n 2 的大小. 当 n ? 1 时, 3n ? ( n ? 1)2 n + 2 n 2 ;当 n ? 2 或 3 时, 3n ? ( n ? 1)2 n + 2 n 2 , 当 n ? 4 或 5 时, 3n ? ( n ? 1)2 n + 2 n 2 , 猜想:当 n ≥ 4 时, 3n ? ( n ? 1)2 n + 2 n 2 .下面用数学归纳法证明:???????4 分 ①由上述过程可知,当 n ? 4 时,结论成立.????????????????5 分 ②假设当 n ? k ( k ≥ 4, k ? N * ) 时结论成立,即 3k ? ( k ? 1)2 k + 2 k 2 , 两边同乘以 3 ,得 3k +1 ? 3[( k ? 1)2 k + 2k 2 ] ? k 2 k +1 + 2( k + 1) 2 + [( k ? 3)2 k + 4 k 2 ? 4 k ? 2] , 而 ( k ? 3)2 k + 4k 2 ? 4k ? 2 ? ( k ? 3)2 k + 4( k 2 ? k ? 2) + 6
? ( k ? 3)2 k + 4( k ? 2)( k + 1) + 6 ? 0 ,

所以 3k +1 ? [( k + 1) ? 1]2 k +1 + 2( k + 1) 2 , 即 n ? k + 1 时结论也成立. 由①②可知,当 n ≥ 4 时, 3n ? ( n ? 1)2 n + 2 n 2 成立.??????????????9 分 综上所述,当 n ? 1 时, 3n ? ( n ? 1)2 n + 2 n 2 ;当 n ? 2 或 3 时, 3n ? ( n ? 1)2 n + 2 n 2 ; 当 n ≥ 4 时, 3n ? ( n ? 1)2 n + 2 n 2 .?????????????????????10 分

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