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函数复习(定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性)


函数复习
内容:函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一.常见函数(基本初等函数) : 1. y ? C (C为常数) 3. y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 2. y ? kx ? b(k ? 0) 4. y ?

1 x

5.幂函数: y ? x a (a ? Q) (包括前四个函

数) 6.指数函数: y ? a x (a ? 0且a ? 1) 7.对数函数: y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 8.三角函数: y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x , y ? cot x , y ? sec x , y ? csc x 由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如: y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,

y ? sin x ?

1 1 ? 5 x ,试着分析以上函数的构成。 ,y? 3 log2 x x

二.定义域: 1. “定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。 2.求定义域: 例 1 求下列函数定义域: (1) f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1)

(2) f ( x ) ?

sin x ? log 1 ( 25 ? x 2 )
2

例 2 设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为__________ 2? x 2 x

变式练习: f (2 ? x) ?

4 ? x 2 ,求 f ( x ) 的定义域。

三.值域: 1.① y ?

3x 2 x ?4

②y ?

x2 ?1 x2 ?1

2. ① y ?

x x ?1

②y?

x ?1 x ?1

x 2 ? 5x ? 4 , x ? (1,5] ③y? x2 ?1

sin 2 x ? 7 sin x ? 10 ④y? sin x ? 1

3. ① y ?

1 ; 2 x ? 2x ? 3

②y?

4x 2 x 2 ? 2x ? 2

4. ① y ? ? x ? 2x ? 1 ;

② y ? x ? 1 ? 2x

5. ① y ? (sin x ? 3)(cosx ? 3)

②已知直角三角形的三边之和为 2,求此三角形面积 S 的最大值。

③y?

cos x ? 2 cos x ? 1

④y?

cos x ? 1 sin x ? 2

6.函数 f ( x ) ?

1 2 3 x ? x ? 的定义域和值域都是 [1, b] (b>1),求 b 的值。 2 2

练习:已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足 f (2) ? 0 且方程 f ( x) ? x 有等根。 (1)求 f (x) 的解析式; (2)问是否存在实数 m, n (m ? n) 使 f (x) 的定义域为 [m, n] ,值域为

[2m,2n] 。如存在,求出 m, n 的值,若不存在说明理由。
答案:(1) f ( x ) ? ?

1 2 x ? x, (2)m=-2,n=0 2

7.已知函数 f ( x) ?

2 x 2 ? bx ? c (b<0)的值域为[1,3],求实数 b,c 的值。 x2 ?1

? x 2, ≥1, ? x g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 ?0,∞? ,则 g ( x) 的 8. (07 浙江理) f ( x) ? ? 设 ? ? x, ? 1, ? x
值域是( )C B. ? ?∞,1? ? ?0,∞? ? ? C. ?0,∞? ? D. ?1 ? ? ,∞ A. ? ?∞,1? ? ?1 ? ? ? ,∞

9.已知 f ( x) ? 2 ? log3 x (

1 ? x ? 9) ,求函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x2 ) 的最值。 81

小结:函数值域的计算能力要求高、考查频率高,应该分类归纳,各个击破。难度的的变化会随着 参数的引入而改变如 T6、T7。 四.单调性: 1.单调性的证明: (1)定义法: 例 判断函数 f ( x) ? ? x 3 ( x ? R) 的单调性,并用定义证明。

练习:已知函数 f ( x) ? 1 ? ax2 ? 25(?5 ? x ? 0) ,点 (?2,?4) 在 f (x) 的反函数图像上。 (1)求 f (x) 的反函数 f 答案: (1) f
?1
?1

(2)证明 f ( x) ;

?1

( x) 在定义域内是减函数。

( x) ? ? 24 ? 2 x ? x 2 , x ? [?4,1]

2.单调性的简单应用: 例 (1)函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调增区间是________ (2)已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 是减函数,则 a 的取值范围是_________ 练习:若函数 f ( x) ? logk ( x 2 ? kx ? 3) 在区间 ? ? ?, ? 上是减函数,则实数 k 的取值范围是__ 2

? ?

k? ?

__________________ 高考真题: 已知 f ( x) ? ? (A) (0,1)

?(3a ?1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数, 那么 a 的取值范围是 ( ? loga x, x ? 1
1 3
(C) [ , )



1 1 1 (D) [ ,1) 7 3 7 1 解:依题意,有 0?a?1 且 3a-1?0,解得 0?a? ,又当 x?1 时, (3a-1)x+4a?7a-1,当 x?1 时, 3
(B) (0, ) logax?0,所以 7a-1?0 解得 x?

1 故选 C 7

x 例 已知函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线 y ? x 对称,记

1 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ? 1] .若 y ? g (x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 2
( )D A. [2,??) B. (0,1) ? (1,2) C. [ ,1)

1 2

D. (0, ]

1 2

例 设函数 f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? a ? 1) ,给出下述命题: ① f (x) 有最小值; ②当 a ? 0 时, f (x) 的值域为 R ; ③当 a ? 0 时, f (x) 在区间 [2,??) 上有反函数; ④若 f (x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a ? ?4 则其中正确的命题是_____________(要求:把正确命题的序号都填上) 例 函数 f (x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , ⑴求证: f (x) 在 R 上是增函数; ⑵若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a ? a ? 5) ? 2
2

五.函数的奇偶性: 常用性质:1. f ( x) ? 0 是既奇又偶函数; 2.奇函数若在 x ? 0 处有定义,则必有 f (0) ? 0 ; 3.偶函数满足 f ( x) ? f (?x) ? f ( x ) ; 4.奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称; 5. f ( x) ? 0 除外的所有函数奇偶性满足: 奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×偶函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 偶函数×偶函数=偶函数

6.任何函数 f (x) 可以写成一个奇函数 ? ( x ) ? 的和。

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) 和一个偶函数? ( x ) ? 2 2

例 设 f ( x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (B) f ( x) f (? x) 是奇函数

(C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数

(D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数

【解析】A 中 F ( x) ? f ( x) f (? x) 则 F (? x) ? f (? x) f ( x) ? F ( x) , 即函数 F ( x) ? f ( x) f (? x) 为偶函数, 中 F ( x) ? f ( x) f (?x) ,F (? x) ? f (? x) f ( x) 此时 F ( x ) B 与 F (? x) 的关系不能确定,即函数 F ( x) ? f ( x) f (?x) 的奇偶性不确定, C 中 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? ? F ( x) ,即函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为奇函数, D 中 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? F ( x) ,即函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为偶函 数,故选择答案 D。 例 已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则



x ? ( 0, ? ? ) 时, f (x) ?

.

解:当 x∈(0,+∞) 时,有-x∈(-∞,0),注意到函数 f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数,于是,有 f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 .从而应填-x-x4.

例 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

解析: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 1?
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1

为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

2 2 2 等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,因 f ( x ) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1 1 1 1 . 若 f ( x) 为奇函数,则 f (0) ? 0 ,即 a ? 0 ? 0 ,a= . 解析:函数 f ( x ) ? a ? x 2 2 ?1 2 ?1
练习:已知函数 f ( x ) ? a ?
x

例 已知 f (x) 在(-1,1)上有定义,且满足 x, y ? (?1,1)有f ( x) ? f ( y ) ? f ( 证明: f (x) 在(-1,1)上为奇函数;

x? y ), 1 ? xy

例 若奇函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______ 六.函数的周期性: (一)要点: 1. (定义)若 f ( x ? T ) ? f ( x)(T ? 0) ? f (x) 是周期函数,T 是它的一个周期。 说明:nT 也是 f (x) 的周期 (推广)若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f (x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期 2.若定义在 R 上的函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a 和 x ? b ( a ? b) 对称,则 f (x) 是周期函数,

2(b ? a) 是它的一个周期
(推论)若定义在 R 上的偶函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a ( a ? 0) 对称,则 f (x) 是周期函数,

2 a 是它的一个周期
3. 若定义在 R 上的函数 f (x) 的图象关于点 (a,0) 和点 (b,0) ( a ? b) 对称,则 f (x) 是周期函数,

2(b ? a) 是它的一个周期
2 (推论) 若定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图象关于点 (a,0) ( a ? 0) 对称, f (x) 是周期函数, a 则 是它的一个周期
4.若定义在 R 上的函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a 和点 (b,0) ( a ? b) 对称,则 f (x) 是周期函数,

4(b ? a) 是它的一个周期
(推论)若定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a ( a ? 0) 对称,则 f (x) 是周期函数,

4 a 是它的一个周期
5.若 f ( x ? a) ? ? f ( x) ; f ( x ? a) ? 的一个周期 (二)例题讲解:

1 1 ; f ( x ? a) ? ? ;则 f (x) 是周期函数,2 a 是它 f ( x) f ( x)

例 1 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? _______________。 解:由 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5?? ? f ? x?

1 1 得 f ? x ? 4? ? ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 f ? x? f ? x ? 2? 1 1 f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ? ?? 。 f (?1 ? 2) 5
1 2

例 2 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x ? 1 对称,对任意 x1 , x 2 ? [0, ] ,有 f ( x1 ? x2 )

? f ( x1 ) f ( x2 ) ,且 f (1) ? a ? 0
⑴求 f ( ) ; f ( ) ⑵证明: f (x) 是周期函数;

1 2

1 4

例 3 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且对一切 x ? R ,恒有 f ( ? x) ? ? f ( ? x) ⑴求证: f (x) 是周期函数; ⑵若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值。

3 2

3 2

例 4 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,又 f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ,故函 数,f(x)的周期为 4,所以 f(6)=f(2)=-f(0)=0,选 B 例 5 若存在常数 p ? 0 ,使得函数 f (x) 满足 f ( px ) ? f ( px ? 为________

p ) ( x ? R ),则 f (x) 的一个正周期 2

0 例 6 已知定义在 R 上,最小正周期为 5 的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,且 f (3) ? ,则在区间

? 0,10 ? 内,方程

f ( x ) ? 0 的解的个数至少为_________个

例 7 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f ( 2 ? x ) ? f ( 2? x ),在区间[-2,0]上单调递减,设 ,则 a , b, c 的大小顺序为_____________ a ? f ( ?1.5),b ? f ( 2 ), ? f (5) c
2 例 8 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x)当x ? [0,2]时f ( x) ? x ? 2x , 则 当

x ? [?4,?2]时, f ( x) 的最小值是_____________
例 9 已知函数 y ? f (x) 是一个以 4 为最小正周期的奇函数,则 f (2) ? ( A.0 B.-4 C.4 )

D.不能确定

例 10 已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ? f (2005)= .

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 1 ? f ( x)

例 已 知 f (x) 是 (- ?, ? ) 上 的 奇 函 数 , f (2 ? x) ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时 , f(x)=x , 则 ? f(7.5)=________ 例 11 设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当 x ? [0,2] 时

f ( x) ? 2x ? x 2
⑴求证: f (x) 是周期函数; ⑵当 x ? [2,4] 时,求 f (x) 的解析式;

) ⑶计算: f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2005

2] 例 12 设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,它的图象关于直线 x ? 2 对称,已知 x ? [?2, 时,函数

? f ( x) ? ? x 2 ? 1 ,则 x ? [?6, 2] 时, f (x) ? ________
例 13 定义在 R 上的函数 y ? f (x) 为周期函数,最小正周期为 T,若函数 y ? f (x) , x ? (0, T ) 时 有反函数 y ? f A. y ? f C. y ? f
?1

( x), x ? D ,则函数 y ? f (x) , x ? (2T ,3T ) 的反函数为(
B. y ? f D. y ? f
?1



?1

( x), x ? D ( x ? 2T ), x ? D

( x ? 2T ), x ? D ( x) ? 2T , x ? D
6 5 3 2 5 2

?1

?1

例 14 已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数, 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 当 则 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b

解:已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) ,

6 5

4 5

4 5

5 1 3 1 1 b ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) , c ? f ( ) ? f ( ) <0,∴ c ? a ? b ,选 D. 2 2 2 2 2
七.反函数: 例 已知函数 y ? e x 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称,则 A. f ? 2x ? ? e ( x ? R)
2x

B. f (2 x) ? ln 2 ? ln x( x ? 0) D. f ? 2x ? ? ln x ? ln 2( x ? 0)

C. f ? 2x ? ? 2e ( x ? R)
x

解: 函数 y ? e x 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称, 所以 即

f ( x) 是 y ? ex 的反函数,

f ( x) = ln x ,∴ f ? 2x ? ? ln 2x ? ln x ? ln 2( x ? 0) ,选 D.
1 2

例 设函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) ,且 y ? f (2 x ?1) 的图像过点 ( ,1) ,则 y ? f ?1 ( x) 的 图像必过 (A) ( ,1) 解:当 x= 故选 C。 例 函数 y ? ?

1 2

(B) (1, )

1 2

(C) (1, 0)

(D) (0,1)

1 ?1 时,2x-1=0,即 y=f(x)的图象过点(0,1) ,所以 y ? f ( x) 的图像必过(1,0) 2

? 2 x, x ? 0 2 ?? x , x ? 0

的反函数是

? x ? x ? 2 x, x ? 0 ? 2 x, x ? 0 ,x ? 0 ? ,x ? 0 ? A. y ? ? 2 B. y ? ? C. y ? ? 2 D. y ? ? ?? ? x , x ? 0 ? ? x, x ? 0 ? ? x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ?
解:有关分段函数的反函数的求法,选 C。也可用特殊点排除法,原函数上有(1,2)和(-1,-1) 两点,反函数上有(2,1)和(-1,-1) ,检验知 C。 例 函数 y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是

(A)

(B)

(C)

(D)

解:函数 y=1+ax(0<a<1)的反函数为 y ? log a ( x ? 1) ,它的图象是函数 y ? log a x 向右移动 1 个单位 得到,选 A 八.函数的综合应用: 1.二次函数: 例 1 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2ax ? 3 在区间 [?1,1] 上有最小值记为 g (a ) ,求 g (a ) 的函数表达式。
2

例 2 若不等式 x +ax+1?0 对于一切 x?(0, A.0 有- B. –2

2

1 〕成立,则 a 的取值范围是( 2 5 C.D.-3 2



5 ?a 故选 C 2

例 3 若关于 x 的方程 a 2 x ? (1 ? lg m)a x ? 1 ? 0 (a>0 且 a≠1)有解,则 m 的取值范围是____ 例 4 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? x 的两根 x1 , x 2 ,满足 0 ? x1 ? x 2 ? (1)当 x ? (0, x1 ) 时,求证: x ? f ( x) ? x1 ; (2)设函数 f (x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,证明: x0 ? 分析:作差,韦达定理 例 6 设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2)设集合 A ? x f ( x) ? 5 , 系,并给出证明; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的上方. 解: (1)

1 , a

x1 。 2

?

?

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关

(2)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 ,由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此

A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? .
由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A . (3)[解法一] 当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

?

?

?

?

g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5) ? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5)
4?k? k 2 ? 20k ? 36 ? , ??x ? ? ? 2 ? 4 ?
? k ? 2, ?
2

4?k ?1. 又 ? 1 ? x ? 5 , 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2 k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . g (x) min ? ? 4 4

?

?

? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 ,
则 g ( x) min ? 0 . ② 当

4?k ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , 2

g (x) m i = 2k ? 0 . n

由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ? [ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方. [解法二] 当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

? y ? k ( x ? 3), 由? 得 x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 , y ? ? x 2 ? 4 x ? 5, ?
令 ? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? 18 , 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k ? 2 时, y ? 2( x ? 3) 的图像与函数 f (x) 的图像只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当
k ? 18 时, y ? 18( x ? 3) 的图像与函数 f (x) 的图像没有交点.

如图可知,由于直线 y ? k ( x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k ? 2 时,直线 y ? k ( x ? 3) 是由直线

y ? 2( x ? 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于
函数 f (x) 图像的上方.

例 7 设 f(x)=3ax ?2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证:
2

(Ⅰ)a>0 且-2<

a <-1; b

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根.

解析:本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分 14 分。 证明: (错误!未找到引用源。 )因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 . 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 . 故 ?2 ?

b ? ?1 . a

(错误!未找到引用源。 )抛物线 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (? 在 ?2 ?

b 3ac ? b 2 , ), 3a 3a

b 1 1 b 2 ? ?1 的两边乘以 ? ,得 ? ? ? . 3 a 3 3a 3

又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0, 而 f (? 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ?

b a 2 ? c 2 ? ac )?? ? 0, 3a 3a

b b ) 与 ( ? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a

故方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根.

例 8 若 ? ? [0,

?
2

] , cos2 ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,求 m 的取值范围。

练习:方程 4 cos x ? (a ? 5) cos x ? 1 ? 0( x ? (0,
2

?
2

)) 有两个不等实数解,求实数 a 的取值范围。

例 9 (04 上海理)已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象 与直线 y=x 的两个交点间距离为 8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (1) 求函数 f(x)的表达式; (2) 证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a) 有三个实数解. 【解】(1)由已知,设 f1(x)=ax2,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x2. 设 f2(x)=

k (k>0),它的图象与直线 y=x 的交点分别为 x

A( k , k )B(- k ,- k )

8 8 .故 f(x)=x2+ . x x 8 8 (2) 【证法一】f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ , x a 8 8 即 =-x2+a2+ . x a 8 在同一坐标系内作出 f2(x)= 和 x
由 AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)=

8 的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲 a 8 线, f3(x)的图象是以(0, a2+ )为顶点,开口向下的抛物线. a
f3(x)= -x2+a2+ 因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即 f(x)=f(a)有一个负数解. 当 a>3 时,. f3(2)-f2(2)= a2+ 又∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a2+

8 a

8 -8>0, a

∴当 a>3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在 f2(x)图象的上方. ∴f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. 【证法二】由 f(x)=f(a),得 x2+ 即(x-a)(x+a- 方程 x+a-

8 2 8 =a + , x a

8 )=0,得方程的一个解 x1=a. ax
由 a>3,△=a4+32a>0,得

8 =0 化为 ax2+a2x-8=0, ax

x2=

? a 2 ? a 4 ? 32a ? a 2 ? a 4 ? 32a , x3= , 2a 2a

∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且 x2≠ x3.

? a 2 ? a 4 ? 32a 若 x1= x3,即 a= ,则 3a2= a 4 ? 32a , a4=4a, 2a
得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾, ∴x1≠ x3. 故原方程有三个实数解.
2 设 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R, a ? 0) 满 足 条 件 : ① x ? R 时



10

f ( x ? 4) ? f (2 ? x) ,且 f ( x) ? x ;②当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? (
值是 0。求 f (x) 的解析式 答案: f ( x) ?

x ?1 2 ) ;③ f (x) 在 R 上的最小 2

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4

2 例 11 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx 。 (1)当 b>0 时,若对任意 x ? R 都有 f ( x) ? 1 ,证明:

(2)当 b>1 时,证明:对任意的 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b ; a?2 b; (3)当 0 ? b ? 1 时,讨论:对任意的 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件。

2.函数方程 例 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f

? f ( x) ? x

2

? x ? ? f ( x) ? x 2 ? x.

(I)若 f (2) ? 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) ? a ,求 f ( a ) ; (II)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x ) 的解析表达式

解:(I)因为对任意x ? R,有f(f(x)-x2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x 所以f(f(2)-22 ? 2) ? f (2) ? 22 ? 2 又由f(2)=3,得f(3-22 ? 2) 3 ? 22 ? 2, 即f (1) ? 1 ? 若f(0)=a,则f(a ? 02 ? 0) ? a ? 02 ? 0, 即f ( a) ? a

(II)因为对任意x ? R,有f ( f ( x) ? x 2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f ( x0 ) ? x0 所以对任意x ? R, 有f ( x) ? x 2 ? x ? x0
2 在上式中令x ? x0,有f ( x0 ) ? x0 ? x0 ? x0 2 又因为f ( x0 ) ? x0,所以x0 ? x0 ? 0,故x0 =0或x0 =1

若x0 =0,则f ( x) ? x 2 ? x ? 0,即f ( x) ? x 2 ? x 但方程x 2 ? x ? x有两个不相同实根,与题设条件矛盾。故x0 ? 0 若x0 =1,则有f ( x) ? x 2 ? x ? 1, 即f ( x) ? x 2 ? x ? 1.易验证该函数满足题设条件。 综上,所求函数为f ( x) ? x 2 ? x ? 1 (x ? R)
例 对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点” ,若 f ( f ( x)) ? x ,则称 x 为 f(x)的“稳 定点” ,函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B,即 A ? {x | f ( x) ? x },

B ? {x | f [ f ( x)] ? x} .(1). 求证:A ? B;(2).若 f ( x) ? ax2 ? 1 (a ? R, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,
求实数 a 的取值范围. 证明(1).若 A=φ ,则 A ? B 显然成立; 若 A≠φ ,设 t∈A,则 f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即 t∈B,从而 A ? B. 解 (2):A 中元素是方程 f(x)=x 即 ax ?1 ? x 的实根.
2

由 A≠φ ,知 a=0 或 ?
2 2

a?0 ? ?? ? 1 ? 4a ? 0



a??

1 4

B 中元素是方程 a(ax ? 1) ? 1 ? x 即
2

a 3 x 4 ? 2a 2 x 2 ? x ? a ? 1 ? 0 的实根

由 A ? B,知上方程左边含有一个因式 ax ? x ? 1 ,即方程可化为

(ax2 ? x ? 1)(a 2 x 2 ? ax ? a ? 1) ? 0
因此,要 A=B,即要方程 要么没有实根,要么实根是方程

a 2 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 ax2 ? x ? 1 ? 0
a? 3 4

① ②的根.

若①没有实根,则 ? 2 ? a 2 ? 4a 2 (1 ? a) ? 0 ,由此解得
2 2

若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有 a x ? ax ? a ,代入①有 2ax+1=0.

1 1 1 ? ? 1 ? 0, 由此解得 ,再代入②得 2a 4a 2a 1 3 [? , ] 故 a 的取值范围是 4 4
由此解得 x ? ? 例 定义在集合 A 上的函数 f(x)满足:对任意的 x1, x2∈A 都有 f (

a?

3 . 4

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ,则我们 2 2

称函数 f (x) 是 A 上的凹函数. 试判断 f (x) =3x2+x 是否是 R 上的凹函数? 若函数 f (x) =ax2+x (1) (2) 是 R 上的凹函数,求实数 a 的取值范围.
2 解: (1)? f ( x1 ) ? 3x12 ? x1 , f ( x 2 ) ? 3x 2 ? x 2 , f (

x1 ? x2 x ? x2 2 x1 ? x2 ?2 分 ) ? 3( 1 ) ? 2 2 2

?f(

x1 ? x 2 x ? x 2 2 x1 ? x 2 1 1 2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 3( 1 ) ? ? (3 x12 ? x1 ? 3 x 2 ? x 2 ). 2 2 2 2 2 x ? x2 1 x ? x2 2 1 ? ( 1 ) ? 0? f ( 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 4 2 2 2

∴f(x)=3x2+x 是 R 上的凹函数??????6 分. (2) (文科)∵f(x)=ax2+x 是 R 上的凹函数,? f ( 即 a(

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] . 2 2

x1 ? x 2 2 x1 ? x 2 1 2 ) ? ? (ax12 ? x1 ? ax2 ? x 2 )对x1 , x 2 ? R 恒成立??8 分. 2 2 2 x1 ? x 2 2 a( ) ? 0对x1 , x 2 ? R 恒成立. ∴a≥0.??????????12 分. 2


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