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算法与概率统计教材分析与教学策略(王荣芹)


算法与概率统计 教材分析与教学策略
富锦市第一中学 王荣芹

算法教材分析
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地位与作用 课程目标 学习目标 课程内容

地位与作用
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算法是高中数学课程中的新增内容,是数 学及其应用的重要组成部分,是计算科学 的重要基础,是

连接解决的问题方法与计 算机能够理解的程序语言之间的桥梁,是 现代人必须具有的数学修养。

课程目标
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数学课程与信息技术课程对算法要求的区别 信息技术课程对算法的要求是实现上机的需 要,是把算法通过计算机来完成结果。 数学课程对算法的要求并不需要计算机上实 现,不具备上机条件也能达到要求。因为数学中 的算法语言不是真实计算机程序设计语言,是伪 代码(是用介于自然语言和计算机程序设计语言 之间的人工语言来描述算法的工具)。是学习纸 笔运算,要求代码编写合理、精确即可。

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数学课程对算法要求 关注算法的过程,看重算法的分析, 通过学生对算则、算理的研究培养学生理 性价值;通过算法学习发展有条理的思考 与数学表达的能力,培养学生机械化运算 的习惯和品质,程序化、条理化表达思想; 通过算法抽象性、精确性、概括性培养严 谨的逻辑思维能力。

学习目标
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通过分析解决具体问题的过程与步骤,体 会算法的思想,了解算法的含义,能用自 然语言描述解决具体问题的算法 通过模仿、操作、探索、经历通过设计程 序框图表达解决问题的算法的过程,学习 程序框图的画法 在具体问题的解决过程中,理解程序框图 的三种基本逻辑结构——顺序结构、条件 结构和循环结构

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结合具体问题,理解几种基本算法语句— —输入语句、输出语句、赋值语句、条件 语句和循环语句,理解它们与三种基本逻 辑结构之间的关系 经历将具体问题的程序框图转化为程序语 句的过程 了解中国古代及西方数学中几个典型的算 法案例,理解其中所包含的算法思想,体 会中国古代数学对世界数学发展的贡献

课程内容
1.1 算法与程序框图 约4课时 1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 1.2 基本算法语句 约3课时 1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句 1.2.2 条件语句 1.2.3 循环语句 1.3 算法案例 约4课时 小结 约1课时

教材中算法内容设计体现以下三方面:
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算法的概念 算法的描述、表示 算法案例

算法的概念
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信息技术教科书中是这样描述算法的概念: 必修3教材中是这样描述算法的概念: 在数学中,算法通常是指按照一定 规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 现在,算法通常可以编成计算机程序,让 计算机执行并解决问题。

算法是什么
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算法可以理解为由基本运算及规定的运算 顺序构成的完整的解题步骤,或看成按要 求设计好的有限的、确切的计算序列,并 且这样的步骤或序列能解决一类问题。

算法的基本思想
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对需解决的问题,通过确定解决问题的算 法,并利用确定的算法解决问题的数学思 想就是算法的基本思想

写算法的要求
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写出的算法,必须能解决一类问题并且能 重复使用。 算法过程要能一步一步执行,每一步执行 的操作,必须确切,不能含混不清,而且 在有限步能得出结果。 算法要简洁,要清晰可读。

算法的描述、表示
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自然语言:就是人们平时交流使用的语言,用自 然语言描述算法,通俗易懂。 教材中例1(P3): 设计一个算法,判断7是否为质数. 第一步,用2除7得到余数为1,所以2不整除7. 第二步,用3除7得到余数为1,所以3不整除7. 第三步,用4除7得到余数为3,所以4不整除7. 第四步,用5除7得到余数为2,所以5不整除7. 第五步,用6除7得到余数为1,所以6不整除7, 所以7是质数.

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程序框图:是用一组规定了功能的图形符 号表示算法。用流程图表示算法,流程的 表达清晰简洁,算法结构的表达明确,便 于程序设计,但不能直接被计算机使用。

图形符号









终端框 (起止框) 输入、 输出框
处理框 (执行框) 判断框 流程线 连接点

表示一个算法的 起始和结束
表示一个算法输 入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标明 “是”或“Y”,不成立时 标明“否”或“N”. 连接程序框

连接程序框图的两部分

算法的三种基本逻辑结构
顺序结构

算法结 构

条件结构

循环结构

(1)顺序结构
顺序结构的程序框图

步骤n 步骤n+1

开始

例3: 已知一个三角形的三边 长分别为a,b,c,利用海 伦-秦九韶公式设计一个计 算三角形面积的算法。

输入a,b,c

P=(a+b+c)/ 2

输出S 结束

(2)条件结构
条件结构可用程序框图表示为下面两种形式: (图 1)
否 满足条件? 是 步骤 A 步骤 B

(2)条件结构
条件结构可用程序框图表示为下面两种形式: (图 2)
否 满足条件? 是 步骤 A

例4: 任意给定3个正实数, 设计一个算法,判断以 这3个数为边长的三角 形是否存在并画出这个 算法的程序框图 。

开始 输入a,b,c

a +b>c,a+c>b, b+c>a是否 同时成立? 是 存在这样的 三角形



不存在这样 的三角形

结束

例5: 设计一个求解一 元二次方程ax2+bx+c=0 的算法,并画出程序框 图表示。

开始 输入a,b,c

△=b24ac
△≥0? 是 p= -b/2a 否



△=0? 否
x1=p+q, x2=p-q

输出p

输出x1,x2 结束

输出“方程没有实根”

(3)循环结构
直到型 当 型

循环体

循环体
否 满足 条件? 是 是 满足 条件? 否

例6: 设计一个 计算1+2+…+100 的值的算法并画

开始 i=1

出程序框图。

S=0
i=i+1 i小于等于100? S=S+i


输出S 结束 是

输入语句
INPUT “提示内容”;变量 输出语句 PRINT “提示内容”;表达式 赋值语句 变量=表达式

条件语句

IF 条件 THEN

语句体
END IF



IF 条件 THEN 语句体1 ELSE 语句体2 END IF

循环语句
直到型循环语句 DO 循环体 LOOP UNTIL条件 当型循环语句 WHILE 条件 循环体 WEND

算法案例
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辗转相除法与更相减损术:求两个正整 数的最大公约数 秦九韶算法:求一元多项式的值,把求 一个 n 次多项式的值转化为求 n个一次 多项式的值。 进位制

例1.(2009年上海卷理) 某算法的程序框如图所 示,则输出量y与输入 量x满足的关系式是 ____

开始 输入实数x

x>1 是 y x-2



y

2x

输出 y

结束

例2.2007 (山东理,文10) 阅读右边的程序框图,若 输入的n是100,则输出的 变量S和T的值依次是 ( D ) A 2500,2500 B 2550,2550 C 2500,2550 D 2550,2500

开始 输入n S=0,T=0 是

n < 2 ? 否 S=S+n n =n-1 T=T+n n =n-1

输出S,T
结束

例3(2007海南文、理5) 如果执行右面的程序框 图,那么输出的S=(C) A 2450 B 2500 C 2550 D 2652

开始 k=1

S=0

k小于等于50?
是 S=S+2k



输出S

k=k+1

结束

例4.(2008广东卷9) 阅读图的程序框图, 若输入m=4,n=6,则 输出a= 12 ,i= 3

开始 输入m,n

i=1
a =m i i=i+1 n整除a? 是 输出a,i 结束 否

例5.(2008山东卷13) 执行右边的程序框图, 若p=0.8,则输出的n = 4 .

开始 输入p S=0,n=1 S < p ? 是 S=S + 1 2
n



输出n
结束

n =n+1

例6.(2009浙江卷理) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k 的值是 ( A ) A.4 B. 5 C.6 D. 7

开始 k=0

S=0

S <100 ?
是 S=S+2 k=k+1
S



输出 k

结束

例7.(2009天津卷理) 阅读右图的程序框 图,则输出S= (C) A 26 B 35 C 40 D 57

开始 S=0, i=1

T=3i-1
S=S+T i=i+1

i>S ?
是 输出S 结束



开始 例8. (2009广东卷理) 随机抽取某产品n件, 输入a1 ,a2,…,an 测得其长度分别为a1, a2,?,an,则图3所 示的程序框图输出的 S=0,i=1 S= ,S表示的样 本的数字特征 是 . i<n?

i=i+1 S=(i-1)s+ai
i




输出S 结束

例9.(2009山东卷 理) 执行右边的程序 框图,输出的 T= _30_

开始 S=0,T=0,n=0

是 T> S 否 S=S+5 n=n+2 输出T

结束

T=T+n

例10.(2009江苏卷) 右图是一个算法的流 程图,最后输出的 W= ____.
S

开始
S T 0 1 T T-S

T
S>

T+2

10 是



W

S+T

输出W 结束

例11.(2009安徽卷理) 程序框图如图所示,其 输出结果是_ 127 _.

开始 a=1

a=2a+1


a>100 ?


输出a
结束

例1.(2008海南卷5) 右面的程序框图,如 果输入三个实数a、b、 c,要求输出这三个数 中最大的数,那么在 空白的判断框中,应 该填入下面四个选项 中的( A ) A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c

开始 输入a,b,c x=a b>x 否 是

x=b
是 x=c

否 输出x 结束

例2(2007广东理) 图1是某县参加2007年高考学生身高条形统计 图,从左到右的各条形图表示的学生人数依次为 A1 , A2 ,…A10(如A2表示身高在150cm~ 155cm内的学生人数)图2是统计图1中身高在一 定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身 高160~180(含160cm,不含180cm)的学生人数, 那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 ( C ) Ai< 6 Bi< 7 Ci< 8 Di< 9

开始
人数/人 图 1
600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

图 2

输入A1,A2,…,A10 S=0,i=4 i=i+1 是 S=S+Ai

输出S


身高/cm
145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195

结束

例3.(2009年广东卷文) 某篮球队6名主力队员 在最近三场比赛中投 进的三分球个数如下 表所示:
队员 i 三分球 个数 1 2 3 4 5 6

开始 输入a1 ,a2,…,a6

S=0,i=1 i=i+1 是 S=S+ai

a1 a2

a3

a4

a5

a6

下图(右)是统计该6 名队员在最近三场比 赛中投进的三分球总 数的程序框图,则图 中判断框应填 , 输出的s=____


输出S 结束

例4(2009辽宁卷理) 某店一个月的收入和 支出总共记录了N个数 据 a1,a2,…,aN其 中收入记为正数,支 出记为负数该店用下 边的程序框图计算月 总收入S和月净盈利V, 则在图中空白的 判断框和处理框中, 应分别填入下列四个 选项中的( ) (A) A>0,V=S-T (B) A<0,V=S-T (C) A>0,V=S+T (D) A<0,V=S+T

开始
输入N ,

a1,a2,…,aN

k=1,S=0,T=0 A=a1 否 T=T+A 是 S=S+A k=k+1

k<N 否



输出S,V 结束

算法教学策略
尊重课标、尊重教材 按照数学课程标准对算法的要求,在数学中学习 算法。教材中的例题有一定的普遍性,不应轻易 舍弃。 ? 通过熟悉的问题背景体会算法的思想与含义 如教材用我们熟悉的二元一次方程组的求解过程 分析与步骤引入算法。用二分法求方程的近似解, 求二次方程的根,数列求和等都是我们熟悉的问 题
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遵寻循序渐进的原则 从学习的角度: 先体会、再模仿、到操作。 从实践的角度: 先简单、后复杂。 从解决问题的角度: 一构思、二语述、三框图、四程序。

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关注重点、突破难点 将算法的思想贯穿于数学学习的始终 有条件的情况下,借助信息技术实现理论 与实践的结合 发挥团队作用

概率与统计

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旧教材:必修二(下)第十一章:概率 选修Ⅱ第一章:概率与统计 新教材:必修三第二章:统计 第三章:概率 选修2-3: 第二章:随机变量及其分布 第三章:统计案例

概率与统计学习顺序对调
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符合人们认识规律, 有利于对概率应用意义的理解 有利于教学 从科学发展史角度

统计部分课程内容
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必修三第二章:统计 约16课时, 2.1 随机抽样 约5课时 2.2 用样本估计总体 约5课时 2.3变量间的相关关系 约4课 实习作业 约1课时 小结 约1课时

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选修2-3: 统计案例

10课时

3.1 回归分析的基本思想及其初用 约4课时 3.2 独立性检验的基本思想及其初用 约3课时 实习作业 约2课时 小结 约1课时

内容变化
必修三第二章统计内容与旧教材是基本相 同的 新增茎叶图 ? 新增部分是选修2-3: 统计案例 ? 必修三第二章统计与选修2-3统计案例中都 涉及到回归分析
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知识结构
必修三第二章:统计

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选修2-3: 统计案例 回归分析模型 统计案例 独立性检验模型

学习目标
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随机抽样 能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的 统计问题。 结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要 性和重要性。 在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机 抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析, 了解分层抽样和系统抽样方法。 能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收 集数据。

变化
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分层抽样和系统抽样方法由会用变为了解

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用样本估计总体 通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数 据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直 方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特 点。 通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学 会计算数据标准差。 能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本 数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准 差),并作出合理的解释。

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在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估 计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分 布,用样本的基本数字特征估计总体的基本数字 特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机 性。 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想, 解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析 为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用, 体会统计思维与确定性思维的差异。 形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

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变量的相关性 通过收集现实问题中两个有关联变量的数 据作出散点图,并利用散点图直观认识变 量间的相关关系。 经历用不同估算方法描述两个变量线性相 关的过程。知道最小二乘法的思想,能根 据给出的线性回归方程的系数公式建立线 性回归方程。

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统计案例 通过典型案例的探究,进一步了解回归分 析的基本思想、方法及其初步应用。 通过典型案例的探究,了解独立性检验 (只要求列联表)的基本思想、方法及其 初步应用

小结
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通过典型案例,体会统计思想 统计思想:抽样思想;样本估计总体; 回归思想——最小二乘思想; 回归分析的基本思想; 独立性检验的基本思想 系统经历数据收集处理的全过程 通过统计案例研究培养学生学习能力

回归分析知识框图

回归分析比较
必修三
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画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 用回归直线方程解决实际问题

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选修2-3:在必修三的基础上 引入线性回归模型 介绍模型中随机误差项产生的原因 介绍相关指数的概念 介绍残差图的作用 用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解统计分析方法与结果

回归分析教学策略
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借助计算器简化运算过程 做好与必修三的衔接 重统计方法的了解淡化繁杂式子的推导 关注对统计结果的解释 注意体会教材中特殊性与一般性的关系

独立性检验
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独立性检验就是检验两个分类变量是否有 关系的一种统计方法

独立性检验知识框图

内容分析
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介绍相关概念 分类变量:变量的不同“值”表示个体所 属的不同类别,像这类变量称为分类变量 列联表:列出两个分类变量频数表的表格 称为列联表

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定性分析的方法 频率分析:通常利用列联表来比较样本的每 个分类变量的不同类别的事件发生的频率 大小,从而粗略地判断变量之间是否有关 系 图形分析: 三维柱形图 二维条形图 等高条形图

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独立性检验 利用随机变量

n(ad-bc)2 K ? (a+d)(c+d)(a+c)(b+d)
2

(其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量)来确定在多大程 度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称 为独立性检验

独立性检验的基本思想
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要确认:“两个分类变量有关系”这一结论的可 信度, 首先假设该结论不成立,即假设结论:“两个分 类变量没有关系”成立; 在该假设下,随机变量应非常小;如果由观测数 据计算得到的的观测值很大,则在一定程度上说 明假设不合理,根据随机变量的含义,可以通过 概率的大小来评价该假设不合理的程度有多大, 从而说明“两个分类变量有关系”这一结论成立 的可信度有多大

教学策略
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体验由感性到理性分析方法的过程 类比反证法原理理解假设检验原理 强调独立性检验的必要性 关注对给出推断结果的解释

概率部分课程内容
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必修三 第三章:概率 约8课时 3.1 随机事件的概率 约3课时 3.2 古典概型 约2课时 3.3 几何概型 约2课时 小 结 约1课时

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选修2-3: 第二章:随机变量及其分布 约12课时 2.1 离散型随机变量及其分布列 约3课时 2.2 二项分布及其应用 约4课时 2.3 离散型随机变量的均值与方差 3课时 2.4 正态分布 约1课时 小结 约1课时

内容变化
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明确提出极大似然法术语 离散型随机变量分布列定义中随机变量取值 为有限值 正态分布取消了标准正态分布表,给出三个 概率值 3? 原则

新增
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随机数与随机模拟
几何概型 条件概率

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知识结构
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必修三 第三章:概率

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选修2-3: 第二章:随机变量及其分布

学习目标
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必修三 第三章:概率 在具体情境中,了解随机事件发生的不确 定性和频率的稳定性,进一步了解概率的 意义以及频率与概率的区别。 通过实例,了解两个互斥事件的概率加法 公式。

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通过实例,理解古典概型及其概率计算公 式,会用列举法计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率。 了解随机数的意义,能运用模拟方法(包 括计算器产生随机数来进行模拟)估计概 率,初步体会几何概型的意义。 通过阅读与思考栏目,了解人类认识随机 现象的过程。

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选修2-3: 第二章:随机变量及其分布 在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型 随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻 画随机现象的重要性。 通过实例,理解超几何分布及其导出过程,并能 进行简单的应用。 在具体情景中,了解条件概率和两个事件相互独 立的概念,理 解次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决 一些简单的实际问 题。

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通过实例,理解取有限值的离散型随机变 量均值、方差的概念,能计算简单离散型 随机变量的均值、方差,并能解决一些实 际问题。 通过实际问题,借助直观,认识正态分布 曲线的特点及曲线所表示的意义。

教学策略
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注重概率意义的解释 必修三中古典概型的计算只限于基本事件 的总数能用列举法列出的情况,随着选修 2-3:第一章计数原理学习强化计数问题 通过对比方式加强古典概型的理解。 几何概型只限于初步体会几何概型的意义, 不要研究很复杂的问题 信息技术的使用


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