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三角函数第三讲


第三讲
一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络

2、三角函数变换的方法总结 (1)变换函数名 对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公 式,通过“切割化弦”,“切割互化”,“正余互化”等途径来减少或统一所需 变换的式子中函数的种类,这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想,通 过同一和化归以有利于

问题的解决或发现解题途径。 【例 1】已知θ 同时满足 均不为 0,求 a、b 的关系。 和 ,且 a、b

练习:已知 sin(α +β )=

,cos(α -β )= ,求

的值。

2)变换角的形式 对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系,将它们互相 表示,改变原角的形式,从而运用有关的公式进行变形,这种方法主要是角的拆 变.它应用广泛,方式灵活,如α 可变为(α +β )-β ;2α 可变为(α +β ) + (α -β ) ; 2α -β 可变为 (α -β ) +α ; α /2 可看作α /4 的倍角; (45° +α )可看成(90°+2α )的半角等等。 【例 2】求 sin(θ +75°)+cos(θ +45°)- cos(θ +15°)的值。

练习已知

,求

的值

【例 3】已知 sinα =Asin(α +β ) (其中 cosβ ≠A),试证明:tan(α

+β )= 提示:sin[(α +β )-β ]=Asin (α +β )

(3)以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有 1 的三角公式,将原式中的 1 或其他特殊 值用式子代换,往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常 见且最灵活。 “1” 可以看作是 sin2x+cos2x, secxcosx, sec2x-tan2x, csc2x -cot2x, tanxcotx,

tan45°等,根据解题的需要,适时地将“1”作某种变形,常能获得

较理想的解题方法。

【例 4】化简:

(4)和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决,升幂和降次实际上就是和积互化 的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例 5】解三角方程:sin2x+sin22x=sin23x 解析:原方程变形为:

(1-cos2x)+ 即:

(1-cos4x)=

(1-cos6x)

1+cos6x =cos2x+cos4x

2cos23x =2cos3x cosx 得: cos3x sin2x sinx =0 x= + 或 x= 或 x= ( )

解得:

∴原方程的解集为{x| x=



,



(5)添补法 与代数恒等变换一样, 在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂 项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子,同时除以这个式 子也是添补法的一种特殊情形。

【例 6】求证:



证明:左边=







= ∴原式成立。

=右边

点评:本例中采用“加一项再减去一项”,“乘一项再除以一项”的方法, 其技巧性较强,目的都是为了便于分解因式进行约分化简。

(6)代数方法

三角问题有时稍作置换,用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置 换等的变形,从而将三角问题转换成代数问题来解,而且更加简捷。这其中有设 元转化、利用不等式等方法。

【例 7】锐角α 、β 满足条件 ( )

,则下列结论中正确的是

A.α +β ≠ C. α +β >

B. α +β < D. α +β =

解析:令 sin 整理得: 即: ∴ (a-b)2=0 sin2α =cos2β sinα =cosβ

,则有 即 a=b (α ,β 同为锐角)

∴ α +β =

,故应选 D。

点评:本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想 应用十分广泛,往往能收到简捷解题的效果.

(7)数形结合 有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观,此时若能以数思形,数形渗透, 两者交融,则可开辟解题捷径。利用单位圆,构造三角形,利用直线、曲线的方 程等方法都是数形结合的思想。

【例 9】已知: 解析:∵点A ,B



,求 均在单位圆上。

的值。

由已知条件知:AB 的中点坐标为C(1/6,1/8),即直线AB过 定点 C 如下图所示

∠xOC= ∴据万能公式得:



5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究 非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型,对于此类求值 问题, 由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样,因而如何利用三角公式迅速准 确的求值应是解决这类问题的重点,现在我们通过一个题目的解法探寻,体会非 特殊角三角函数的求法。 【题目】求 的值。

1若 A. C. 2 函数

,则

的值为( B. D. 的值域是( )



A.

B.

C.

D. , 则这个三角形底角的正弦值为 ( )

3. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于

A. 4. A. -1

B.

C. 等于( )

D.

B. 1

C. 2

D. -2

二、辅助角公式及其应用 辅助角公式
对于形如 y=asinx+bcosx 的三角式,可变形如下: y=asinx=bcosx ?

a 2 ? b2 (sin x·

a a ?b
2 2

? cos x·

b a ? b2
2

)。

1 求周期 例 1 求函数 y ? 2 cos( x ?

?

) cos( x ? ) ? 3 sin 2 x 的最小正周期。 4 4

?

2. 求最值 例 2. 已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若 x ?[ 0,

?
2

] ,求 f(x)的最大值和最小值。

3 求值域

例 4. 求函数 f ( x ) ? cos(

6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x ) ? cos( ? ? 2 x ) ? 2 3 sin( ? 2 x ) 3 3 3

( x ? R, k ? Z ) 的值域。
4 图象对称问题 例 6. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= ? (A) 2 (B) ? 2 5. 图象变换 例 7 已知函数 y ?

?
8

对称,那么 a=()

(C)1 (D)-1

1 3 cos 2 ? sin x cos x ? 1, x ? R。 该函数的图象可由 y ? sin x( x ? R) 的图 2 2

象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 6. 求值 例 8. 已知函数 f(x)= ? 3 sin 2 x +sinxcosx。设α ∈(0,π ) ,f( 7. 求系数 例 9. 若函数 f(x)=

3 ? 1 )= ? ,求 sinα 的值。 2 4 2

1 ? cos 2x x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2,试确定常数 a 的值。 ? 2 2 4 sin( ? x ) 2

8. 解三角不等式 例 10. 已知函数 f(x)=sin2x+sin2x,x ? [0,2?] ,求使 f(x)为正值的 x 的集合。


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