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双曲线的定义及其基本性质
双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义： （1）到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（＜
F1 F2
）的点的轨迹。两定点叫双曲线的焦点。
PF1 ? PF2 ? 2a ＜ F1 F2
（2）动点 P 到定点 F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数 e（e＞1）时，这个动
点的轨迹是双曲线。 这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的方程： 双曲线标准方程的两种形式：
①
x2 y2 ? 2 ? 1 ， c ? a 2 ? b2 2 a b
，焦点是
?
y2 x2 ? 2 ? 1 , c ? a 2 ? b2 2 a b
y
，
F1(-c,0),F2(c,0)
y
焦点是 F1(0, -c),F2(0, c)
F1 O
x
K2 F1 O F2 x
F2
三、双曲线的性质： （1）焦距 F1F2=2c,实轴长 A1A2=2a,虚轴长 2b,且 a2+b2=c2 （2）双曲线的离心率为 e=
c ，e>1 恒成立。 a
2b 2 a
（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长 b，通径长 EF＝
（4）有两条准线， l1 : x 四、双曲线的渐近线：
??
a2 a2 l2 : x ? c c
（1）若双曲线为
x2 y2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程为 y ? ? x ， 2 a b a x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线，则可设此双曲线为 2 ? 2 ? ? ， a2 b a b
e ? 2 ? 两渐近线互相垂直，分别为 y=±x，此时双曲线为等轴双曲线
（2）若已知某双曲线与
（3）特别地当 a=b 时 ? 五、共轭双曲线：
双曲线 A 的实轴为双曲线 B 的虚轴，双曲线 A 的虚轴为双曲线 B 的实轴，即
1 1 ? 2 ? 1。 2 e A eB
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