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双曲线的定义及其基本性质


双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义: (1)到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长(<

F1 F2

)的点的轨迹。两定点叫双曲线的焦点。

PF1 ? PF2 ? 2a < F1 F2
(2)动点 P 到定点 F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点的轨迹是双曲线。 这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的方程: 双曲线标准方程的两种形式:



x2 y2 ? 2 ? 1 , c ? a 2 ? b2 2 a b

,焦点是

?

y2 x2 ? 2 ? 1 , c ? a 2 ? b2 2 a b
y



F1(-c,0),F2(c,0)
y

焦点是 F1(0, -c),F2(0, c)
F1 O
x

K2 F1 O F2 x

F2

三、双曲线的性质: (1)焦距 F1F2=2c,实轴长 A1A2=2a,虚轴长 2b,且 a2+b2=c2 (2)双曲线的离心率为 e=

c ,e>1 恒成立。 a
2b 2 a

(3)焦点到渐近线的距离:虚半轴长 b,通径长 EF=

(4)有两条准线, l1 : x 四、双曲线的渐近线:

??

a2 a2 l2 : x ? c c

(1)若双曲线为

x2 y2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程为 y ? ? x , 2 a b a x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,则可设此双曲线为 2 ? 2 ? ? , a2 b a b
e ? 2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y=±x,此时双曲线为等轴双曲线

(2)若已知某双曲线与

(3)特别地当 a=b 时 ? 五、共轭双曲线:

双曲线 A 的实轴为双曲线 B 的虚轴,双曲线 A 的虚轴为双曲线 B 的实轴,即

1 1 ? 2 ? 1。 2 e A eB


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