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数列试卷


必修五第二章数列单元测试卷
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分) 1.数列 2,5, 的一个通项公式是( 2 2,11?, A. an ? 3n ? 3 B. an ? 3n ?1 ) D. an ? 3n ? 3

C. an ? 3n ? 1

2. 已知数列 ?an ? ,

a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an?2 ? an?1 ? an ,则数列的第五项为( ) A. 6 B. ?3 C. ?12 )项. D. 335 ) D. ?6

3. 2011 是数列 7,13,19, 25,31,?, 中的第( A. 332 B. 333 C. 334

4. 在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450,则 a2 ? a8 ? (

A.45 B.75 C. 180 D.300 5. 一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它 的公差是( ) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 ? 6. 在等差数列{an}中,设公差为 d,若 S10=4S5,则 A.

a1 等于( d
D.4 ?

)?

1 2

B.2

C.

1 4

7. 设数列{an}和{bn}都是等差数列,其中 a1=25,b1=75,且 a100+b100=100,则数列 {an+bn}的前 100 项之和是( )? A.1000 B.10000 C.1100 D.11000 ? 8.已知等差数列{an}的公差 d=1,且 a1+a2+a3+…+a98=137,那么 a2+a4+a6+…+a98 的值等于( ) A.97 B.95 C.93 D.91 ? 9.在等比数列 {an}中,a1=1,q∈R 且|q|≠1,若 am=a1a2a 3a4a5,则 m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 ? 10. 公差不为 0 的等差数列{an}中,a2、a3、a6 依次成等比数列,则公比等于( )? A.

1 2

B.

1 3

C.2

D.3 ? )?

11. 若数列{an}的前 n 项和为 Sn=an-1(a≠0),则这个数列的特征是( A.等比数列 B.等差数列 C.等比或等差数列 D.非等差数列

12. 等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与Tn,对一切自然数 n,都有

Sn 2n = , Tn 3n ? 1
D.



a5 等于( b5

)? A.

2 3

B.

9 14

C.

20 31

11 17

1

二、填空题(每小题 4 分,共计 16 分) 13. 数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2 +3n+1,则它的通项公式为 14. 已知{

. .

1 }是等差数列,且 a2= 2 -1,a4= 2 +1,则 a10= an
. .

15. 在等比数列中,若 S10=10,S20=30,则 S30= 16. 数列 1

1 1 1 1 ,2 ,3 ,4 ,…的前 n 项和为 2 4 16 4

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,Sn=m,Sm=n(m≠n),求 Sm+n.

18.(本题满分 12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0.求公差 d 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a1=29,S10=S 20,问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.

20.(本题满分 12 分)
2

设 a1=5,an+1=2an+3(n≥1),求{an}的通项公式.

21.(本题满分 12 分) 求和:1+

4 7 3n ? 2 + 2 +…+ n ?1 5 5 5

22.(本题满分 14 分) 已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,并且 Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.(1)设 bn= an+1-2an(n=1,2,…)求证{bn}是等 比数列;(2)设 cn= 差数列;(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式.?

an (n=1,2…)求证{cn}是等 2n

3

数列单元质量检测题参考答案 一、选择题 1.B 2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D 11.C 12.B 二、填空题 13. an ? ?

? 5 n ?1 n2 ? n ? 2 1 2 ?7 ? n 14. - 15. 70 16. 2 47 2 ?2n ? 2 n ? 2
Sn=pn2+qn=m; ① 则

三、解答题 17. 解析:设 Sn=pn2+qn

S m=pm2+qm=n ② 2 2 ①-②得:p(n -m )+q(n-m)=m-n 即p(m+n)+q=-1 (m≠n) ∴Sm+n=p(m+n)2+q(m+n)=(m+n)[p(m+n)+q]=-(m+n).

12 ? 11 ? 12a1 ? d ?0 ? ? 2 18. 解析:由 S12>0 及 S13<0 可得 ? ?13a ? 13 ? 12 d ? 0 1 ? 2 ?
2a1+11d>0 即? a1+6d<0 ∴- 又∵a3=12,∴a1=12-2d ∴ 3 +d<0 24 +7d>0

24 <d<-3. 7
10 ? 9 20 ? 19 d=20×29+ d ?解得 d=-2 ? 2 2

19. 解析:设数列{an}的公差为 d ∵S10=S20,∴10×29+

∴an=-2n+31 ?设这个数列的前 n 项和最大,? an≥0 -2n+31≥0 则需: 即 an+1≤0 -2(n+1)+31≤0 ∴14.5≤n≤15.5 ?∵n∈N,∴n=15 ? ∴当 n=15 时,Sn 最大,最大值为? S15=15×29+

15 ? 14 (-2)=225. 2

20. 解析:令 an=bn+k,则 an+1=bn+1+k ∴bn+1+k=2(bn+k)+3 即 bn+1-2bn=k+3 ?令k+3=0,即k=-3 ? 则 an=bn-3,bn+1=2b n 这说明{bn}为等比数列,q=2 ? - + + b1=a1-k=8,∴bn=8·2n 1=2n 2 ∴an=2n 2-3.

4 7 3n ? 2 3n ? 2 + 2 +…+ n ? 2 + n ?1 ①? 5 5 5 5 1 1 4 7 3n ? 5 3n ? 2 则 Sn= + 2 + 3 +…+ n ?1 + ②? 5 5 5 5 5n 5
21. 解析:设 Sn=1+ ①-②得:?

4

1 1 (1 ? n ?1 ) 4 3 3 3 3n ? 2 3n ? 2 5 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? 1 ? 3 ? 5 ? n 1 5 5 5 5 5 5 1? 5 7 ? 5n ? 12n ? 7 7 ? 5n ? 12n ? 7 ? ? Sn ? . 4 ? 5n 16 ? 5n ?1
22. 解析:(1)∵Sn+1=4an+2 ①?∴Sn+2=4an+1+2 ②? ②-①得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…)?即 an+2=4an+1-4an,? 变形,得 an+2-2an+1=2(an+1-2an)?∵bn=an+1-2an(n=1,2,…)?∴bn+1=2bn.? 由此可知,数列{bn}是公比为 2 的等比数列; - 由 S2=a1+a2=4a1+2,又 a1=1,得 a2=5 故 b1=a2-2a1=3∴bn=3·2n 1.?

(2)?cn ?

an a ?1 an an?1 ? 2an b (n ? 1,2,?),?cn?1 ? cn ? n ? n? ? nn , n n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 ?1
-1

将 bn=3·2n

代入,得 cn+1-cn=

3 (n=1,2,…)? 4

由此可知,数列{cn}是公差为

a 3 1 的等差数列,它的首项 c1= 1 ? , ? 4 2 2

1 3 3 1 故cn ? ? (n ? 1) ? n ? . 2 4 4 4 3 1 1 - (3)?cn ? n ? ? (3n ? 1) ∴ an=2n·cn=(3n-1)·2n 2(n=1,2,…); 4 4 4
当 n≥2 时,Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n 1+2,?由于 S1=a1=1 也适合于此公式, - 所以所求{an}的前 n 项和公式是:Sn=(3n-4)·2n 1+2.


5


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