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导数压轴题-----题型解法归纳(无答案)


导数压轴题-----题型解法归纳
一、导数在高考中的地位: 常作为压轴题来考察,尤其是解答题,至少占到 14 分;当然在选择题或者是填空题里 也会出现 1~2 道,因此高考试卷中它占到了 20 分左右的比重 二、导数可以结合考察的知识点: 1、数列;2、不等式与方程;3、函数;4、解析几何 其中最常见的就是和函数、不等式的结合,解决这类题目的汉族到思想是构造新函数, 利用导数求解单调性,进而证明不等式或者最值又或者是参数的范围等等。 三、题型归纳: (新题、难题、考察知识点总结) (一)基础题目小试身手 1.(不等式、函数的性质)已知函数 f ( x) ? ln 1 ? 2x ? mx (Ⅰ) f ( x) 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅲ)当 m ? 1 时,且 0 ? b ? a ? 1 ,证明:

4 f (a) ? f (b) ? ?2 3 a ?b

2.(不等式恒成立问题)设函数 f ( x) ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值;

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) . 3

' (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 f ( x ) ? a 恒成立,求 a 的取值范围

3. (导数的简单应用)已知函数 f ( x) ? ln x (Ⅰ)若 F ( x) ?

f ( x) ? a (a ? R) ,求 F ( x) 的极大值; x

(Ⅱ)若 G( x) ? [ f ( x)]2 ? kx 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数 k 的取值范围

4.(不等式的证明)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x . (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间;(2)若 x ? ?1 ,求证: 1 ?

1 ≤ ln(x ? 1) ≤ x x ?1

5、 (不等式、存在性问题)已知 f ( x) ? ax ? ln(? x), x ?[?e,0) , g ( x ) ? ?

ln( ? x ) ,其中 x

e 是自然常数, a ? R
(1)讨论 a ? ?1 时, f ( x) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ?

1 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

f (? ) ? f (? ) ? ? ? ?

6. (方程、 不等式) 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx (a ? 0) 的图象关于原点对称,A(? , f (? )) 、

B(? , f (? )) 分别为函数 f ( x) 的极大值点和极小值点,且|AB|=2, f (? ) ? f (? ) ? ? ? ? .
(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的解析式;

(Ⅲ)若 x ? [?2,1], f ( x) ? m ?

6 恒成立,求实数 m 的取值范围. m

7. (导数几何意义、不等式恒成立问题)已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象为曲线 E. (Ⅰ) 若曲线 E 上存在点 P,使曲线 E 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a , b 的关系; (Ⅱ) 说明函数 f ( x) 可以在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值,并求此时 a , b 的值; (Ⅲ) 在满足(2)的条件下, f ( x) ? 2c 在 x ? [?2 , 6] 恒成立,求 c 的取值范围.

8.(导数的简单应用) 已知函数 f ( x) ?

( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] . x

⑴ 设 g ( x) ? x 2 ? f ' ( x) , ( x ? 0) .试证明 g ( x) 在区间 (0,??) 内是增函数; ⑵ 若存在唯一实数 a ? (m, m ? 1) 使得 g (a) ? 0 成立,求正整数 m 的值; ⑶ 若 x ? 0 时, f ( x) ? n 恒成立,求正整数 n 的最大值.

9.(抽象函数性质的证明、不等式)设 f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ( x) 的导函数为 f ' ( x) , 且对任意正数 x 均有 f ( x) ?
'

f ( x) , x

(1)判断函数 F ( x) ?

f ( x) 在 (0,??) 上的单调性; x

(2)设 x1 , x2 ? (0,??) ,比较 f ( x1 ) ? f ( x2 )与f ( x1 ? x2 ) 的大小,并证明你的结论; (3)设 x1 , x2 ,...,xn ? (0,??) , 若 n ? 2 比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn )与f ( x1 ? x2 ? ... ? xn ) 的大小,并证明你的结论.

(二)典型题目讲解剖析 例 1、 (不等式、方程)已知二次函数 f ( x) 满足:①在 x ? 1 时有极值;②图像过点 (0,?3) , 且在该点处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行。 (1)求 f ( x) 的解析式;(2)求函数 g ( x) (3)若曲线

? f ( xe x ), x ? ?0,1?的值域;
a

y ? f (e x ) 上任意两点的连线的斜率恒大于 a ? 1 ,求 a 的取值范围。

例 2、 (解析几何、导数的几何意义)设 x1 、 x2 是函数 f ( x) ? 两个极值点,且 | x1 | ? | x2 |? 2 . (1)证明: 0 ? a ? 1 ; (2)证明: | b |?

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x(a ? 0) 的 3 2

4 3 ; 9

(3)若函数 h( x) ? f ?( x) ? 2a( x ? x1 ) ,证明:当 x1 ? x ? 2 且 x1 ? 0 时, | h( x) |? 4a

例 3、 (导数的几何意义、解析几何、方程与函数)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 x ? a(a 2

为常数) ,直线 l 与函数 f ( x) 、 g ( x) 的图象都相切,且 l 与函数 f ( x) 图象的切点的横坐标 为 1. (1)求直线 l 的方程及 a 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ' ( x) ,求 h( x) 的递增区间; (3)当 k ? R 时,试讨论方程 f (1 ? x 2 ) ? g ( x) ? k 的解的个数.

例 4、 (不等式、导数的几何意义、存在性问题)已知 b> ?1 ,c>0,函数 f ( x) ? x ? b 的 图像与函数 g ( x) ? x ? bx ? c 的图像相切.
2

(Ⅰ)设 b ? ? (c) ,求 ? (c) ;

(Ⅱ)设 D( x) ?

g ( x) (其中 x> ?b )在 [?1, ??) 上是增函数,求 c 的最小值; f ( x)

(Ⅲ)是否存在常数 c,使得函数 H ( x) ? f ( x) g ( x) 在 (??, ??) 内有极值点?若存在,求 出 c 的取值范围;若不存在,请说明理由.

例 5、 (导数的几何意义、不等式)设函数 y ? f ( x) ? x( x ? a)(x ? b)(a 、 b ? R). (Ⅰ)若 a ? b, ab ? 0 ,过两点(0,0) 、 ( a ,0)的中点作与 x 轴垂直的直线,此直线与

y ? f ( x) 的图象交于点 P( x0 , f ( x0 )) ,求证: y ? f ( x) 在点 P 处的切线过点( b ,0)
(Ⅱ)若 a ? b(a ? 0 ) ,且当 x ? [0, | a | ?1] 时 f ( x) ? 2a 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

例 6、 (不等式恒成立问题、方程与函数)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x 在(1,2 ] 是增函数,
2

g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (1)求 f ( x) 、 g ( x) 的表达式; (2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; 1 (3)当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? 2bx ? 2 在 x ∈(0,1 ] 内恒成立,求 b 的取值范围 x

例 7、 (数列、数学归纳法、不等式)已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax 在(0,1)上是增函数. (1)求实数 a 的取值集合 A ; (2)当 a 取 A 中最小值时,定义数列 {an } 满足: ,试比较 an?1与an 的大小; 2an?1 ? f (an ) ,且 a1 ? b(0,1)(b 为常数) (3)在(2)的条件下,问是否存在正实数 C,使 0 ?

an ? c ? 2 对一切 n ? N 恒成立? an ? c

例 8、 (方程、存在性问题、不等式恒成立问题)已知 f ( x) ? 1]上是增函数.(1)求实数 a 的值所组成的集合 A. ( 2)设关于 x 的方程 f ( x) ?

2x ? a ( x ? R) 在区间[-1, x2 ? 2

1 的两根为 x1 、 x2 ,试问:是否存在实数 m,使得不等式 x

m2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意 a ? A及t ? [?1,1] 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若
不存在,请说明理由。

例 9、 (方程、不等式、解析几何)已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? b(a, b ? R). (1)若 a ? 1 ,函数 f ( x) 的图象能否总在直线 y ? b 的下方?说明理由; (2) 若函数 f ( x) 在[0, 2]上是增函数,x ? 2 是方程 f ( x) =0 的一个根, 求证: f (1) ? ?2 ; (3)若函数 f ( x) 图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.

例 10、 (方程、函数、解析几何)函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0) (Ⅰ)在区间(0,1)内,求实数 a 使得函数 f ( x) 的图象在 x ? a 处的切线平行于直线 AB; (Ⅱ)设 m>0,记 M(m, f ( m) ) ,求证在区间(0,m)内至少有一实数 b,使得函数图象 在 x ? b 处的切线平行于直线 AM.

例 11、 (绝对值不等式、方程)设 f (x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) , f ( x ) 的导数为 f ?( x ) . 若 | f (0) |? 1, f ?(0) ? 0, f (1) ? 0 . (1) 求 f ( x ) 的解析式;(2) 对于任意的 x1 , x 2 ? [0, 1] , 且 x1 ? x 2 , 求证: ① | f (x 2 ) ? f (x1 ) | ? 2 | x1 ? x 2 | ; ② | f (x 2 ) ? f (x1 ) | ? 1 .

例 12、 (函数的性质、不等式)已知定义在实数集 R 上的奇函数 f ( x ) 与偶函数 g( x ) 满足:

f (x) ? g(x) ? a x ( a ? 0 , 且 a ? 1 ).
(1)求证: f (2x) ? 2f (x) ? g(x) ; (2)若 a ? 1 , n 为正偶数, 试比较 f (n ) 与 nf (1) 的大小, 并证明你的结论.

例 13、 (函数的图像与性质、不等式)已知函数 f ( x) ? ln

x?2 x ? . x?4 4

(1)求 f ( x) 的极值. (2)求证 f ( x) 的图象是中心对称图形. (3)设 f ( x) 的定义域为 D ,是否存在 ? a, b? ? D .当 x ? ? a, b? 时, f ( x) 的取值范围是

?a b? , ?若存在,求实数 a 、 b 的值;若不存在,说明理由 ? ?4 4? ?

例 14、 (函数的几何意义、 函数的性质、 方程与不等式) 已知 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 是定义在 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A、B、C 三点.若点 B 的坐标为 (2,0),且 f (x) 在 [-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. (1)求 c 的值; (2)在函数 f (x)的图象上是否存在一点 M(x0,y0),使得 f (x)在点 M 的切线斜率为 3b?若 存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)求| AC |的取值范围.


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