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[原创精品]温州市平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试(理科) 专题四 平面向量、复数


高三一轮复习全能测试专题四 平面向量、复数
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求) 1、已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i

3?i = 1? i
C.2+i D.1+2i





B.2-i

2、设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

b 为纯虚数”的( i

)[

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x 等于 ( 3、已知向量 a ? (1,2)和b ? ( x,1),若向量a ? 2b与2a ? b平行, 则实数
1 A. 2 1 C. 3

B.1

D.2 )

a 4、已知向量 a =(x ,y), b =( -1,2 ),且 a + b =(1,3),则 等于(
A 2 B 3 C 5 D 10

5、△ABC 中,∠C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 BM ? 2 AM ,则 CM · CA = A.18 B.3 C.15 D.12

6、如图所示,已知 AB ? 2BC, OA ? a, OB ? b, OC ? c, 则下列等式中成立的是 (A) c ? 3 b ? 1 a
2 2

(B) c ? 2b ? a (C) c ? 2a ? b

(D) c ? 3 a ? 1 b
2 2

7、设非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b , ,则 a 与 a ? b 的夹角为(



( A) 30°

( B ) 60°

(C ) 90°

( D ) 120°


8、已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得 AB ? AC ? mAM 成立,则 m =( A.2 B.3 C .4 D.5

9、已知向量 a ? (2 , 3) , b ? (?5 , ? 1) ,若 ma ? nb (m ? 0) 与 a 垂直,则 A. ?1 B.0 C .1 D.2

n 等于( m



10 、如 图 ,在 ?ABC 中 AN ? 值为( )

2 1 AC ,则 实 数 m 的 NC , P 是 BN 上 的 一 点 ,若 AP ? m AB ? 11 3
A

A.

9 11

B.

5 11

C.

3 11

D.

2 11
P B

N

C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、已知复数 z ? (3 ? i)2 (i 为虚数单位),则|z|=_____. 12、已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ 13、若向量 e1 与 e2 满足:|e1|=2|e2|=2,(e1+2e2) =4,则 e1 与 e2 所夹的角为
2

A B

?

D


C

14、已知向量 a 的模为 1,且 a, b 满足 | a ? b |? 4, | a ? b |? 2 ,则 b 在 a 方向上的投影等于___________

D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD , ?BAC ? 120° ,AB ? 2,AC ? 1, 15、 如图, 在 △ ABC 中, 则A DB · C
16、在△ABC 中, ?A ?

?

π ,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合),且 | AB |2 ?| AD |2 ?BD ? DC ,则 6

?B 等于



17、 已知三点 A(1, y1 ), B(2, y2 ),C(3, y3 ) 不共线, 其中 yi ? ?4,5,6,7,8,9? (i ? 1,2,3) . 若对 ?ABC 的内心 I , 存在实数 ? ,使得 IA ? IC ? ? ? IB ,则这样的三角形共有 个.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、(本小题满分 14 分)已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

19、(本小题满分 14 分)已知向量 a ? ?sin ? ,?2?, b ? ?cos? ,1? . (1)若 a ‖ b ,求 tan ? ; (2)当 ? ? ?? 时,求 f (? ) ? a ? b ? 2 a ? b 的最值。 , ? 12 3 ? ?

? ? ??

2

20、(本小题满分 14 分)已知向量 OA ? (? cos ? , ? sin ? ) (? ? 0) , OB ? (? sin ? ,cos ? ) ,其中 O 为 坐标原点。 (1)若 ? ? ? ?

?
6

且 ? ? 1 求向量 OA 与 OB 的夹角;

(2)若 AB ? 2 OB 对任意实数 ? , ? 都成立,求实数 ? 的取值范围。

2 21、(本小题满分 15 分)已知 m ? R , a ? (?1, x ? m) ,

b ? (m ? 1,

1 x ) c ? (? m, ) x , x?m .

(Ⅰ)当 m ? ?1 时,求使不等式

a ?c ?1

成立的 x 的取值范围;

(Ⅱ)求使不等式 a ? b ? 0 成立的 x 的取值范围.

22、 (本小题满分 15 分) 设 x , y ∈R,i 、 j 为直角坐标系内 x、 y 轴正方向上的单位向量, 若 a =x i + (y+2)

j , b =x i +(y-2) j 且 a 2+ b 2=16.
(1)求点 M(x, y )的轨迹 C 的方程; (2)过定点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在直线 l 使四边 形 OAPB 为正方形?若存在,求出 l 的方程,若不存在说明理由.

高三一轮复习全能测试参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A A D B C C 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 11、10 12、 3 2 13、

2 ? 3

?3
14、

15、 ?

8 5π 16、 12 3

17、

30

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、(本小题满分14分)解:(1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) 当c=5时, AC ? (2, ?4)
cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ?6 ? 16 5? 2 5 ? 1 5 进而

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?

2 5 5

25 2 (2)若A为钝角,则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0 解得c> 3 25 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )
19、(本小题满分 14 分)解析:(1)由 a ‖ b 得 sin ? ? ?2 cos ? ,所以 tan ? ? ?2 (2) f (? ) ? sin ? ? cos? ? 2 ? 2 (sin? ? cos? ) 2 ? 1 = ?

?

?

3 sin 2? ? 6 2

21 15 ? ? ?? ? ? 2? ? ,最小值 ? ? ? ? ?? , ? ? 2? ? ?? , ? ? f (? ) 的最大值 ? 4 2 ? 12 3 ? ? 6 3 ?
? 20、(本小题满分 14 分)解: (1)当 ? ? 1 时,向量 OA 与 OB 的夹角 3 ;
2 2 ?,? | AB |? 2 | OB | 对任意的 ? , ? 恒成立, (2) 即 (? cos ? ? sin ? ) ? (? sin ? ? cos ? ) ? 4 对任意的 恒成立,

? ?0 或 ? 2? 0 2 2 ?,? ? ? 1 ? 2? sin( ? ? ? ) ? 4 ? ? 2 ? ? 1 ? 4 ? ? 2? ? 1 ? 4 ,解得 ? ? 3或? ? ?3 , 即 对任意的 恒成立,所以

?

?

所求的实数的取值范围是 ? ? 3或? ? ?3 . 21、(本小题满分 15 分)解:(Ⅰ)当 m ? ?1 时, a ? (?1, x ?1) , x( x 2 ? 1) a ? c ? ?1 ? a ? c ? x2 ? x ?1 ? 1 x ? 1 ? x2 ? x ?1 . ∵ ,
2

c ? (1,

x ) x ?1 .



? x 2 ? x ? 1 ? ?1, ? ? 2 ? ? x ? x ? 1 ? 1.

解得 ?2 ? x ? ?1 或 0 ? x ? 1 .
a ?c ?1

∴ 当 m ? ?1 时,使不等式 (Ⅱ)∵

成立的 x 的取值范围是

? x ?2 ? x ? ?1或0 ? x ? 1? .

a ? b ? ?(m ? 1) ?

x 2 ? m x 2 ? (m ? 1) x ? m ( x ? 1)( x ? m) ? ? ?0 x x x ,

∴ 当 m<0 时, x ? (m, 0)

(1, ? ?) ;

当 m=0 时, x ? (1, ? ?) ; 当 0 ? m ? 1 时, x ? (0, m ) 当 m=1 时, x ? (0, 1 ) 当 m>1 时, x ? (0, 1 )

(1, ? ?) ;

(1, ? ?) ; (m, ? ?) .

22、(本小题满分 15 分)解:(1)由 a 2+ b 2=16 得 x2+y2=4 (2)假设直线 l 存在,显然 l 的斜率存在 设 A(x1,y1) B(x2, y2) 由?

? y ? kx ? 3
2 2

得(1 ? k 2 ) x 2 ? 6kx ? 5 ? 0 ?x ? y ? 4
? 6k 1? k 2 x1 x 2 ? 5 1? k 2

x1 ? x 2 ?

? | OA |?| OB |

∴若 OAPB 为正方形 只有 OA ? OB | 即 x1x2+y1y2=0 y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9

?

5 5 6k ? k2 ? 3k (? )?9 ? 0 2 2 1? k 1? k 1? k 2
14 x+3 2

k ??

7 14 ?? 2 2

∴存在 l 且 l 的方程为 y= ?


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