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2013年安徽省江南十校高三联考理数


2013 年安徽省“江南十校”髙三联考 数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题 50 分)和第 II 卷(非选择题 100 分)两部分.全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答通前,务必在试趙卷、答題卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2.选择超每小趙选出答案后,用 2B 铅笔把答題卡对应趙目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡 皮擦干净

后,再选涂其它答案;答在试卷上的无效。 3.非选择超必须用 O.5 毫米的黑色墨水签字笔在等琴卞士作答,要求字体工整、笔迹清 晰。 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答“答案无效.必须在題号所指示的答 通区域作答, 超出 答规区城书写的答案无效,在试 M 卷、草稿纸上答趙无效。 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么 P(A +B) = P(A)+P(B); 如果事件 A 与 B 相互独立,那么 P(AB) = P(A)P(B);

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大題共 10 小題,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一 项是符合题目要求的. (1) 若 a+ bi=

5 (i 是虚数单位,a,b ? R),则 ab= 1 ? 2i
(D) 2

(A) -2 (B) -i (C) i

(2) 一次数学测验后,从甲、乙两班各抽取 9 名同学的成绩进行 统计分析,绘成茎叶图如右图.据此估计两个班成绩的中位数的差的绝 对值为 (A) 8 (B) 5 (C) 4 (D) 2
2

(3)已知正项等差数列{an}满足: a n ?1 ? a n ?1 ? a n (n ? 2) 等比数列{bn}满足:

bn ?1bn ?1 ? 2bn (n ? 2) , 则 log2(a2+b2)=
(A) -1 或 2 (B) 0 或 2 (C) 2 (D) 1

(4) 己知正四棱柱 ABCd-A1B1C1D1 底面是边长为 1 的正方形,若平开始 面 ABCD 内有且仅有 1 个点到顶点 A1 的距离为 1,则异面直线 AA1 , BC1 所成的角为 (A)

?
6

(B)

?
4

(C)

?
3

(D)

5? 12

(5) 右图是寻找 “徽数” 的程序框图.其中 “S mod l0 表示自然 数 S 被 10 除所得的余数,“S \ 10”表示自然数 S 被 10 除所 得的商. 则根据上述程序框图,输出的“徽数 S”为 (A) 18 (B) 16 (C) 14 (D) 12

(6) 定义在 R 上的函数 f(x)、g(x)满足:对任意的实数 X 都有 f(x)=f(|x|), g(-x)-g(x)=0.当:C>0 时, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 则 当 x<0 时,有 (A) f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 (C) f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 (B) f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 (D) f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0

(7) 已知直线/过抛物线 y2=4x 的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,且点 A、B 到 y 轴 的距离 分别为 m,n 则 m+ n+ 2 的最小值为 (A) 4 2 (B) 6 2
9

(C) 4

(D) 6
2 9

(8) 若 ( x ? 2 ? m) ? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? ... ? a9 ( x ? 1) ,且 (a1+a3+...+a9)2-(a0+a2+...+a8=39,则实数 m 的值为

(A) 1 或-3

(B) -1 或 3
0

(C) 1

(D) -3

(9) 如图,Δ ABC 中, ?A = 60 , ?A 的平分线交 BC 于 D,若 AB = 4,且 )则 AD 的长为

(A) 2 2 (B) 3 2 (C) 4 2 (D) 5 2
(10) 已知函数, , ,若 ,

且当 (A) 2

时, (B) 3

恒成立,则的最大值为 (C) 4 (D) 5

第 II 卷(非选择題 共 100 分)
二、填空题 (11) 在极坐标系中,直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 与圆 ? ? 2 sin ? 的位置关系是______

?x ? 0 ? (12) 设动点 P(x,y)在区域Ω : ? y ? x 上(含边界),过点 P ?x ? y ? 4 ?
任作直线 l,设直线 l 与区域Ω 的公共部分为线段 Ab,则以 AB 为直 径的圆的面积的最大值为______. (13) 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示 (图中三个四边形都是边长为 2 的正方形),则该几何体外接球的体 积为_______. (14) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数, 那 么就称它们为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5,4,2 中, 3,2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2 为逆序,逆序数是 4.现有从 1?101 这 101 个自然数的排列:1,3,5, 7,?,99 ,101 ,100 ,98,?,6,4,2 ,则此排 列的逆序数是______. (15) 已知Δ 的内角 A、B, C 成等差数列,且 A,B、C 所对的边分别为 a、b、c, 则下列命题中 正确的有______(把所有正确的命题序号都填上). ①B=

? 3

②若 a,b、c 成等比数列,则Δ ABC 为等边三角形; ③若 a= 2c,则Δ ABC 为锐角三角形; ④若 AB ? AB. AC ? BA.BC ? CA.CB ,则 3A = C; ⑤若 tanA tanC +
2

3 >0,则ΔABC 为钝角三角形;

三、解答题:本大颶共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分 12 分)将函数:y= sin:C 的图像向右平移

? 个单位,再将所得的图像上各 3

点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 4 倍,这样就得到函数/(X)的图像,若

g ( x) ? f ( x) cos x ? 3
(I)将函数 g(x)化成. A sin(?x ? ? ) ? B (其中 A, ? ? 0, ? ? [?

? ?

, ] )的形式; 2 2

(II)若函数 g(x)在区间

上的最大值为 2,试求θ 0 的最小值.

(17)(本小題满分 12 分) 某校校庆, 各届校友纷至沓来, 某班共来了 m 位校友(m>8 且 n ? N * ), 其中女校友 6 位, 组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单, 现随机 从中选出 2 位校友代表, 若选出的 2 位校友是一男一女,则称为“最佳组合 (I )若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于

1 ,求 n 的最大值; 2

(II)当 n =12 时,设选出的 2 位校友中女校友人数为 ? ,求 ? 的分布列和 E?

(18) (本小題满分 12 分)如图,直角梯形 ABCD 中, ?A ? ?B ? 90 0 ,AD = AB = 2, BC = 3, E,F 分别是 AD,BC 上的两点,且 AE =BF=1,G 为 AB 中点,将四边形 ABFE 五沿 EF 折起到(如图

2)所示的位置,使得 EG 丄 GC, 连接 AD、BC、AC 得(图 2)所示六面体.
(I )求证:EG 丄平面 CFG;

(II)求二面角 A —CD-E 的余弦值.

(19) (本小超满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ?

2 ? 3 ln x ,其中 a 为常数. x 3 2

(I )当函数 f(x)图象在点 ( , f ( )) 处的切线的斜率为 1 时, 求函数 f(x)在 [ ,3] 上的最小值; (II)若函数 f(x)在区间(0, ? )上既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围; (III)在(I)的条件下,过点 P(1,-4)作函数 F(x)=x2[f(x)+3lnx-3]图象的切线,试问这样的 切线有几条?并求出这些切线方程.

2 3

2 3

(20) (本小 《满分 13 分) 己知数列{an}满足: 1=1,且 a 满足 b1=e,且
n-1

成等差数列. 又正项数列{bn}

是 bn 与 bn+1 的等比中项.

(1)求证:{2 an}为等差数列,并求出数列{an}的通项 (II)求证: 都有 .

(21) (本小题满分 13 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 a2 b2

x2 y2 过椭圆 E 的右顶点及任意作直线 l,设直线 l 交抛物 ? ? 1(0 ? m 2 ? 3) 有公共的焦点, 2 2 m 3?n
线:y2=2x 于 M、N 两点,且 OM 丄 ON. (I) 求双曲线的焦点坐标和椭圆 E 的方程; (II)设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点,点 P 关于原点 0 的对称点为 A、关于 x 轴的对 称点为 Q,线段 PQ 与 x 轴相交于点 C,点 D 为 CQ 的中点,若直线 AD 与椭圆 E 的另一个交点为 B,试判断直 线 PA、PB 是否相互垂直?并证明你的结论.

2013 年安徽省“江南十校”高三联考

数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. (1)A. (6)A. (2)D. (7)C. (3)C. (8)A. (4)B. (9)B. (5)D. (10)D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
(11)相交. (12) 4? . (13) 4

3? .

(14) 2500 .

(15)①②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题可得 f ( x ) ? 4 sin( x ?

?
3

)

…………………………………………………2 分 ……………………………………………………3 分

? g ( x) ? 4 sin( x ?

?
3

) cos x ? 3

1 3 ? 4( sin x ? cos x) cos x ? 3 2 2 ? 2(sin x cos x ? 3 cos2 x) ? 3
? 2 sin( 2 x ?
(Ⅱ)方法 1:? x ? ??

?
3

)

………………………………………………………………6 分

? ? ? ?? ? ? ? ,? 0 ? ,? 2 x ? ? ?? ,2?0 ? ? 3 ? 2 3? ? 12 ?

………………………8 分

要使函数 g (x) 在 ?? 解得 ? 0 ?

? ? ? ? ? ,? 0 ? 上的最大值为 2,当且仅当 2? 0 ? ? , 3 2 ? 12 ?
………………………………………………………………………11 分

5? 12

故 ?0 的最小值为 方法 2:设 2k? ?

?
2

5? 12

…………………………………………………………………12 分

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,解得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

得函数 g (x) 的增区间为 [k? ?

?
12

, k? ?

5? ]( k ? Z ) 12

5? (k ? Z ) 12

………………………………8 分

取 k ? 0 得 f (x ) 的一个增区间 [ ? 由题可得 ?0 的最小值为

, ] ,此时 f (x) 的从 ? 2 增加到 2 12 12

? 5?

………10 分

5? 12

…………………………………………………………12 分

(17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率 ?
1 1 Cn ? 6C6 12(n ? 6) ? 2 Cn n(n ? 1)

………3 分



12(n ? 6) 1 ? n(n ? 1) 2

…………………………………………………………………4 分 …………… 6 分

化简得 n2 ? 25n ? 144 ? 0 ,解得 9 ? n ? 16 ,故 n 的最大值为 16 (Ⅱ)由题意得, ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 则 P(? ? 0) ?

…………………………………………7 分

2 C6 C2 5 5 C1C1 6 ? , P(? ? 1) ? 6 2 6 ? , P(? ? 2) ? 6 ? 2 2 C12 11 C12 22 C12 22

?
P

0

1

2

5 22

6 11

5 22

………………………………………………………10 分

? E? ? 0 ?

5 6 5 ? 1? ? 2 ? ? 1 …………………………………………………12 分 22 11 22

(18) (本小题满分 12 分)
z

证明: (Ⅰ)? E、F 分别是 AD, BC 上的两点, AE ? BF ? 1

E A G F B x

D

? 四边形 ABFE 为矩形

? 折叠后 EF ? FC, EF ? BF ,即 EF ? 平面 BFC
连接 GF ? AE ? 1, BF ? 1, AB ? 2 ? ?EGF ? 90? 由已知得 EG ? GC

C

y

? EG ? 平面 CFG …………………………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 FC ? EG ? FC ? EF

? FC ? 平面 ABFE ? FC ? BF ………………………………………7 分

方法一:如图建系 F ? xyz 则 A(1,0,2)C(0,2,0)D(0,1,2) 设 n1 = ?x, y, z ? 为平面 ACD 的法向量,? AD ? (?1,1,0),CD ? (0,?1,2)

?? x ? y ? 0 ?y ? x 得? .则令 z ? 1 得 n1 ? (2,2,1) …………………9 分 ?? ?? y ? 2 z ? 0 ? y ? 2 z
又 n2 ? (1,0,0) 为平面 CDEF 的法向量, 设二面角 A ? CD ? E 为 ? ,则 cos n1 , n2 ?

2 2 2 ? ,即 cos ? ? 3 4 ? 4 ?1 3
P

…12 分

方法二:延长 CD 与 FE 的延长线交于 P 点,过 E 作 EH ? DP 垂足为 H 点, 连结 EH 、 AH ,则 ? EHA 为二面角 A ? CD ? E 的平面角, 设二面角 A ? CD ? E 为 ? , 由 DE =1,得 EP =2,则 EH =

3 2 ,? AE ? 1,? AH ? 5 5

H E A G F B D

2 2 ? cos ?AHE ? 即 cos ? ? ……………12 分 3 3
(19) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题可知 f ?( ) ? 1 ,解得 a ? 1 ………1 分 故 f ( x) ? x ?

C

2 3

2 ( x ? 1)( x ? 2) ? 3 ln x ,? f ?( x) ? ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 x x2

………2 分

于是可得下表:

x
f ?(x)
f (x)

3 2

3 ( ,2) 2
-

2 0

(2,3)
+

3

?

1 ? 3 ln 2

?

………………………………………………………3 分 于是可得: f ( x)小 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 ……………………………………………………4 分 解(Ⅱ)? f ?( x) ? a ?

2 3 ax2 ? 3x ? 2 ? ? ( x ? 0) ………5 分 x2 x x2

2 由题可得方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 有两个不等的正实根,不妨设这两个根为 x1、x2 ,并令

h( x) ? ax2 ? 3x ? 2

? ?? ? 9 ? 8a ? 0 ?? ? 9 ? 8a ? 0 ? ? ?3 3 ? ? 则 ? x1 ? x 2 ? ? 0 (也可以 ?? ?0? a ?0) 2a a ? ? 2 ? ?h(0) ? 0 ? ? x1 x 2 ? a ? 0 ?
解得 0 ? a ?

………………………………7 分

9 ………8 分 8 2 ? 3 ln x , 故 F ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x( x ? 0) , x

解 ( Ⅲ ) 由 ( Ⅰ ) f ( x) ? x ?

F ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 2( x ? 0) …………9 分
设切点为 T ( x0 , y0 ) ,由于点 P 在函数 F (x) 的图像上, (1)当切点 T 不与点 P(1,?4) 重合,即当 x0 ? 1 时. 由于切线过点 P(1,?4) ,则

y0 ? 4 2 ? 3x0 ? 6 x0 ? 2 x0 ? 1

3 2 2 所以 x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 4 ? ( x0 ? 1)(3x0 ? 6x0 ? 2) ,
3 2 化简得 x0 ? 3x0 ? 3x0 ? 1 ? 0 ,即 ( x0 ? 1) 3 ? 0 ,解得 x0 ? 1 (舍去)……12 分

(2)当切点 T 与点 P(1,?4) 重合,即 x0 ? 1 时. 则切线的斜率 k ? F ?(1) ? ?5 ,于是切线方程为 5x ? y ? 1 ? 0 综上所述,满足条件的切线只有一条,其方程为 5x ? y ? 1 ? 0 ……………13 分

(注:若没有分“点 T 是否与点 P 重合”讨论,只要过程合理结论正确,本小题只扣 1 分)

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)证明:由题可知 2a n ?1 ? a n ? 则 a n ?1 ?

1 2 n ?1

1 1 an ? n ………………………………………………………………2 分 2 2

? 2 n an?1 ? 2 n?1 an ? 1
故数列 2n ?1 an 是首项和公差都为 1 的等差数列 ………………………………4 分

?

?

? 2n?1 an ? n ? a n ?

n 2 n ?1

………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)由 an ?

n 2
n ?1

可知,只需证: ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 2 n ? 1

………………7 分

证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ?

2 ? 1 ? 1 ,右边 ? ln e ? 1 ,则左边 ? 右边; a2

2 (2)当 n ? 2 时,由题可知 bn?1 ? bn ? bn 和 bn ? 0 , 2 则 bn ?1 ? bn ,?ln bn ?1 ? 2 ln bn

……………………………………………………………10 分 …………………………………11 分

则 ln bn ? 2 ln bn ?1 ? 22 ln bn ? 2 ? ? ? 2n ?1 ln b1 ? 2n ?1

? ln b1 ? ln b2 ? ? ? ln bn ? 1 ? 2 ? ? ? 2
综上所述,当 n ? N ? 时,原不等式成立

n ?1

1(1 ? 2n ) ? ? 2n ? 1 1? 2
………………………………………………13 分

(21) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) (1)由题可知 c双 ?

m 2 ? 3 ? m 2 ? 3 ,故双曲线的焦点为
……………………………2 分
y P x O D A C B Q

F1 (? 3,0)、F2 ( 3,0)

(2)设点 M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y 2 ) ,
2 设直线 l : ty ? x ? a ,代入 y ? 2 x 并整理得

y ? 2ty ? 2a ? 0 ,
2

所以 ?

? y1 ? y 2 ? 2t ? y1 y 2 ? ?2a

……………………………………3 分

故OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? a)(ty2 ? a) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? at( y1 ? y2 ) ? a 2 ? (t 2 ? 1)(?2a) ? 2at2 ? a 2 ? a 2 ? 2a ? 0
解得 a ? 2 ……………………………………………………………………………5 分

由(1)得 c ?

3 ,所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

…………………………6 分

(Ⅱ)判断结果: PA ? PB 恒成立.................7 分 证明:设 P ( x0 , y0 ) ,则 A (? x0 ,? y0 ) ,D ( x0 ,?

1 2 2 y 0 ) , x0 ? 4 y0 ? 4 2

…………8 分

将直线 AD 的方程 y ?

y0 ( x ? x0 ) ? y0 代入椭圆方程并整理得 4 x0

2 2 2 2 2 2 (4x0 ? y0 ) x2 ? 6x0 y0 x ? 9x0 y0 ? 16x0 ? 0 ,. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9 分

由题可知此方程必有一根为 ? x0 .于是解得 xB ? 所以 yB ?

2 6 x0 y0 ? x0 , 2 2 4 x0 ? y0

2 y0 6 x0 y0 y3 ? 2x2 y ( 2 ? 2 x0 ) ? y0 ? 0 2 0 2 0 2 4 x0 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0

………………………11 分

所以 k PB

3 2 y0 ? 2 x0 y0 ? y0 2 2 2 ? 6 x0 y0 x 4 x0 ? y0 ? ? ?? 0 2 2 6 x0 y0 6 x0 y0 y0 2 2 4 x0 ? y0

………………………………12 分

故 k PAk PB ? ?

x0 y0 ? ? ?1 ,即 PA ? PB y0 x0

………………………………………13 分

解法 2:判断结果: PA ? PB 恒成立

………………………………………………7 分

证明:过点 P 作直线 AP 的垂线,得与椭圆的另一个交点为 B? ,所以,要证 PA ? PB ,只要 证 A、D、 B? 三点共线. 设 P ( x0 , y0 ) ,则 A (? x0 ,? y0 ) , D ( x0 ,? 将直线 PB? 的方程 y ? ?

1 2 2 y 0 ) , x0 ? 4 y0 ? 4 ..................8 分 2

x0 ( x ? x0 ) ? y0 代入椭圆方程并整理得 y0

2 2 2 2 2 2 2 (4x0 ? y0 ) x2 ? 8x0 ( x0 ? y0 ) x ? 4( x0 ? y0 )2 ? 4 y0 ? 0 ............ ...... ................10 分

由题可知此方程的一根为 x0 ,解得 xB? ? 所以 yB? ? y0 ? 则 k AB? ? (

2 2 8x0 ( x0 ? y0 ) 4 x3 ? 7 x y 2 ? x0 ? 0 2 02 0 , 2 2 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0

3 2 x0 4 x0 ? 7 x0 y0 y3 ? 2x2 y ?( ? x0 ) ? 0 2 0 2 0 2 2 y0 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0

…………………………11 分

3 2 y0 ? 2 x0 y0 8x ( x 2 ? y 2 ) 2 y3 ? 2x2 y y ? y0 ) ? ( 0 2 0 2 0 ? x0 ? x0 ) ? 0 2 0 20 ? 0 ……12 分 2 2 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0 8x0 ( x0 ? y0 ) 4 x0

又 k AD ?

?

1 y0 ? y0 y 2 ? 0 ,所以 k AD ? k AB? ,故 A、D、B? 三点共线. x0 ? x0 4 x0
……………………………………………………………………………13 分

∴ PA ? PB

解法 3:判断结果: PA ? PB 恒成立................7 分

证 明 : 设 B( x1 , y1 )、P( x0 , y0 ) , 则 A(? x0 ,? y0 ) ,

x12 x2 2 ? y12 ? 1, 0 ? y0 ? 1 , 两 式 相 减 得 4 4
……………………10 分

2 2 y12 ? y0 1 y ? y0 y1 ? y0 y12 ? y0 1 ? ? ,故 kBA ? kBP ? 1 ? ? 2 ?? 2 2 2 x1 ? x0 x1 ? x0 x1 ? x0 4 x1 ? x0 4

又 k AB ? k AD ? 所以 k PAk PB ?

?

1 y0 ? y0 y 1 y x 2 ? 0 ,代入上式可得 k PB ? ? ? 0 ? ? 0 x0 ? x0 4 x0 4 4 x0 y0

…12 分

y0 x0 (? ) ? ?1,即 PA? PB ………………………………………13 分 x0 y0


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