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空间向量与立体几何知识点归纳总结


空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注: (1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图) 。
王新敞
奎屯 新疆

?

??? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R) ? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a
? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ?a ? ?b ⑶数乘分配律:

运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共
? ? 线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作

(2)共线向量定理:空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0 ) a // b 存在实数 λ,使 a =λ b 。 , (3)三点共线:A、B、C 三点共线<=> AB ? ? AC <=> OC ? xOA ? yOB(其中x ? y ? 1) (4)与

? ? a // b 。 ?
?

?

?

?

?

?

?

a 共线的单位向量为 ?

a a

? ? ? x, y 使 p ? xa ? yb 。

4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 ? ? ? ? ? (2)共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数

(3)四点共面:若 A、B、C、P 四点共面<=> AP ? x AB ? y AC

xOA ? yOB ? zOC(其中x ? y ? z ? 1) ? ? ? ? 5. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一 ? ? ? ? x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc 。 个唯一的有序实数组 ??? ? ? ? ? ? ? 若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,
1

<=> OP ?

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数

x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 。
6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) ,使

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

OA ? xi ? yi ? zk ,有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记 作 A( x, y, z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。

注:①点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在 y 轴上的点设为 (0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z) (2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单位正交基底,

?? ? 用 {i, j , k} 表示。空间中任一向量 a ? xi ? y j ? z k =(x,y,z)

(3)空间向量的直角坐标运算律: ? ? ? ? ①若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,则 a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

??? ? ②若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) 。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标。 ③ 定 比 分 点 公 式 : 若 A( x , y , z ) B( x2 , y2 , z2 ) , AP ? ? PB , 则 点 P 坐 标 为 1 1 1 , x ? ?x2 y1 ? ?y 2 z1 ? ?z 2 ( 1 , , )。 推导: P 设 (x,y,z) ( x ? x1, y ? y1 , z ? z1 ) ? ?( x2 ? x, y2 ? y, z2 ? z) , 则 1? ? 1? ? 1? ? 显然,当 P 为 AB 中点时, P(
x1 ? x2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 , , ) 2 2 2

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , ? ? a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 。

? ? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) ,

④ ?ABC中,A(x 1, y1, z1) , B( x2 , y2 , z2 ),C( x3 , y3 , z3 ) , 三 角 形 重 心 P 坐 标 为 x ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 z1 ? z2 ? z3 P( 1 , , ) 3 2 2
2

⑤Δ ABC 的五心: 内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点。 AP ? ? (

AB AB

?

AC AC

) (单位向量)

外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。 PA ? PB ? PC 垂心 P:高的交点: PA? PB ? PA? PC ? PB ? PC (移项,内积为 0,则垂直) 1 重心 P:中线的交点,三等分点(中位线比) AP ? ( AB ? AC ) 3 中心:正三角形的所有心的合一。 ? ? (4)模长公式:若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , ? ? ? ? ? ? 2 2 2 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b12 ? b2 2 ? b32 则 ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b (5)夹角公式: cos a ? b ? ? ? ? 。 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3 Δ ABC 中① AB ? AC ? 0 <=>A 为锐角② AB ? AC ? 0 <=>A 为钝角,钝角Δ (6)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 , 或 d A, B ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 7. 空间向量的数量积。
? ?
??? ? ??? 2 ?

2 ??? ? ? ??? ? ? ? (2)向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作:| a | 。 ? ? ? ? ? ? ? ? (3)向量的数量积:已知向量 a, b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 叫做 a, b 的数量积,记 ?? ? ? ? ? ? ? a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 。 作 a ? b ,即

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? OA ? a, OB? b, 则 ?A O B叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 , 记 作 ? a, b ? ; 且 规 定 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?? a, b ?? ? , ? a, b ??? b , a ? ; ? a , b ?? ? , 显然有 若 则称 a 与 b 互相垂直, 记作: ? b 。 a

(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作

(4)空间向量数量积的性质: (5)空间向量数量积运算律:

?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a ? e ?| a | cos ? a, e ? 。② a ? b ? a ? b ? 0 。③ | a | ? a ? a 。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) 。② a ? b ? b ? a (交换律) 。

? ? ? ? ? ? ? ③ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 。
④不满足乘法结合率: (a ? b)c ? a(b ? c) 二.空间向量与立体几何 1.线线平行 ? 两线的方向向量平行

3

1-1 线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直 1-2 面面平行 ? 两面的法向量平行 2 线线垂直(共面与异面) ? 两线的方向向量垂直 2-1 线面垂直 ? 线与面的法向量平行 2-2 面面垂直 ? 两面的法向量垂直 3 线线夹角 ? (共面与异面) [0 O ,90O ] ? 两线的方向向量 n1 , n 的夹角或夹角的补角,
2

cos? ? cos ? n1, n2 ?

3-1 线面夹角 ? [0 O ,90O ] :求线面夹角的步骤:先求线的方向向量 AP 与面的法向量 n 的 夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再求其余角,即是线面的夹 角. sin ? ? cos ? AP, n ? 3-2 面面夹角(二面角)? [0O ,180O ] :若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向 量 n1 , n 2 的 夹 角 ; 法 向 量 同 进 同 出 , 则 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角 的 补 角 .

cos? ? ? cos ? n1 , n2 ?
4. 点面距离 h : 求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 在平面 ? 上去一点 Q ? x, y ? , 得向量 PQ ;; 计算平面 ? 的法向量 n ;. h
? PQ ? n n

??? ?

4-1 线面距离(线面平行) :转化为点面距离 4-2 面面距离(面面平行) :转化为点面距离 【典型例题】 1.基本运算与基本知识() 例 1. 已知平行六面体 ABCD- A ?B ?C ?D ? , 化简下列向量表达式, 标出化简结果的向量。 ??? ??? ? ? ??? ???? ???? ? ⑴ AB ? BC ; ⑵ AB ? AD ? AA? ; ⑶ AB ? AD ? CC ? ; ⑷ ( AB ? AD ? AA?) 。
??? ???? ? ? 1 ???? 2 ? 1 ??? ???? ???? 3

M G

4

例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ,问满足向量式: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?

例 3 已知空间三点 A(0,2,3) ,B(-2,1,6) ,C(1,-1,5) 。 ??? ??? ? ? ⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S; ??? ??? ? ? ? ? ? ⑵若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且| a |= 3 ,求向量 a 的坐标。

2.基底法(如何找,转化为基底运算)

3.坐标法(如何建立空间直角坐标系,找坐标)

4.几何法 例 4. 如图,在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 , AB ? 6 , AC ? 4 , BC ? 5 , ?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。
O

A

C

B ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 说明:由图形知向量的夹角易出错,如 ? OA, AC ?? 135? 易错写成 ? OA, AC ?? 45? ,切记!

例 5. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 4 , E 为 AC1 与 B1D1 的交点, F 为 BC1 与 B1C 的 1 交点,又 AF ? BE ,求长方体的高 BB1 。

5

【模拟试题】 1. 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC, BD ,设 M , G 分别是 BC, CD 的中点,化简下列各表达 ??? ??? ??? ? ? ? 式,并标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ; (2) AB ? ( BD ? BC ) ; (3) AG ? ( AB ? AC ) 。
??? ? ? ? 1 ??? ??? 2 ???? 1 ??? ???? ? 2

2. 已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O 引向量。 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ???? ???? ? OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC, OH ? kOD 。 (1)求证:四点 E, F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG 。

3. 如图正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, B1E1 ? D1F1 ? A1B1 ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦。

1 4

5. 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, AB ? 4, AD ? 3, AA? ? 5, ?BAD ? 90? , ?BAA? ? ?DAA? ? 60? ,求 AC ? 的长。

6

[参考答案] 1. 解:如图, (1) AB ? BC ? CD ? AC ? CD ? AD ;
? ? ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? 1 ??? ??? 2 2 2 ??? ???? ???? ???? ? ? ? ? AB ? BM ? MG ? AG ; ???? 1 ??? ???? ???? ???? ???? ? ? ? (3) AG ? ( AB ? AC ) ? AG ? AM ? MG 。 2 ??? ??? ???? ? ? 2. 解: (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ??? ???? ??? ? ? ∵ EG ? OG ? OE , ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ???? ? ? EF ? EH ∴ E, F , G, H 共面; ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? (2)解:∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC ,

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

????

(2) AB ? ( BD ? BC ) ? AB ? BC ? BD 。

??? ?

∴ EF // AB, EG // AC 。 所以,平面 AC // 平面 EG 。 3. 解:不妨设正方体棱长为1 ,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 B(1,1, 0) , E1 (1, ,1) , D(0,0,0) , F1 (0, ,1) ,
???? ? 1 1 4 4 ???? ???? ? ? 17 ∴ BE1 ? DF1 ? , 4 ???? ???? ? ? 1 1 15 BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? (? ? ) ? 1?1 ? 。 4 4 16 15 ???? ???? ? ? 15 16 cos BE1 , DF1 ? ? 。 17 17 17 4 4 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? AB ? AC 1 ? 4. 分析:⑴? AB ? (?2, ?1,3), AC ? (1, ?3, 2),?cos ?BAC ? ??? ???? ? | AB || AC | 2 ??? ??? ? ? ? ∴∠BAC=60°,? S ?| AB || AC | sin 60 ? 7 3 ? ? ? ??? ⑵设 a =(x,y,z) ,则 a ? AB ? ?2x ? y ? 3z ? 0, ? ? ??? ? a ? AC ? x ? 3y ? 2z ? 0,| a |? 3 ? x2 ? y2 ? z 2 ? 3 ? ? 解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1,∴ a =(1,1,1)或 a =(-1,-1,-1) 。 ???? 2 ??? ???? ???? 2 ? ? 5. 解: | AC? | ? ( AB ? AD ? AA?) ??? ? ???? ???? ??? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ?| AB |2 ? | AD |2 ? | AA? |2 ?2 AB ? AD ? 2 AB ? AA? ? 2 AD ? AA? ???? ? 3 4 1 4

∴ BE1 ? (0, ? ,1) , DF1 ? (0, ,1) ,

? 42 ? 32 ? 52 ? 2 ? 4 ? 3 ? cos90? ? 2 ? 4 ? 5 ? cos60? ? 2 ? 3 ? 5 ? cos60? ? 16 ? 9 ? 25 ? 0 ? 20 ? 15 ? 85 ???? ? 所以, | AC? |? 85 。
7


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