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2014湖州二模高三数学(理)模拟卷答案


2014 年高三第二次教学质量检测
高三数学卷参考答案及评分标准(理)
一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 9 B 10 A

二、填空题(本大题共有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、

?
2

12、 2 16、 2 ? 6

13 、 80 17、

14、

9 25

15、 a ? 3

169 720

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.解: (1)在锐角△ ABC 中, A ? B ? C ? ? . 所以 cos

B ? ? ? ,所以 B ? . 2 6 3
由正弦定理

A?C ? ?B B 1 ? cos ? sin ? . 2 2 2 2

------------------3 分

a b 3 7 ,得 . ? ? sin A sin B sin A sin ? 3 3 21 . 14
------------------7 分

解得 sin A ?

(2) f ? A ? ? sin A( 3 cos A ? sin A)

?

3 1 ? cos 2 A sin 2 A ? 2 2
------------------9 分

?? 1 ? ? sin ? 2 A ? ? ? . 6? 2 ?
由(1)得 B ?

?
3

,所以 A ? C ?

2? , 3

因为锐角△ ABC ,所以 A ? ?

?? ? ? , ? ,------------------------------11 分 ?6 2?

高三(理科)数学试题参考答案(共六页)——第 1 页

则 2A ?

?

? ? 7? ?? , 6 ?2 6

? ?. ?

------------------12 分

所以 sin ? 2 A ?

? ?

?? ? 1 ?

? ? ? ? ,1? . 6? ? 2 ? 1? ?. 2? ? ? 1? ?. 2?
------------------14 分

所以 f ? A ? ? ? ?1,

? ?

所以 f ? A ? 的取值范围是 ? ?1,

19.解:(Ⅰ)设 ?a n ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,

?11 ? 2d ? q 2 ? 11, 则由 a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? 11 可得 ? ?11 ? d ? q ? 11.
可求得: d ? ?2 , q ? 2 . 从而 an ? ?2n ? 13 , bn ? 2

-----------------------3 分

------------------------------------------------5 分
n ?1

(n ? N ? ) .

------------------------------6 分

(Ⅱ) an ? bn ? 13 ? 2n ? 2

n ?1

?13 ? 2n ? 2n ?1 (n ? 3), ? ? ? n ?1 ? ?2 ? 2n ? 13(n ? 4). 2 ?1

-----------------8 分

所以当 n ? 3 时, S n ?

?11 ? 13 ? 2n ? ? n ? 2n ? 1 ?
2
3

?12 ? n ? n ? 2n ? 1 ,
?

---------9 分

当 n ? 4 时, S n ? ?12 ? 3? ? 3 ? 2 ? 1 ?
n 2

8 ?1 ? 2n ?3 ? 1? 2

? n ? 3?? ?5 ? 2n ? 13?
2

------12 分

= 2 ? 39 ? n ? 12n .---------------------------------------13 分
n ? ??12 ? n ? n ? 2 ? 1(n ? 3), 所以 S n ? ? n ? ?? ?12 ? n ? n ? 2 ? 39(n ? 4).

--------------------------14 分

高三(理科)数学试题参考答案(共六页)——第 2 页

20.解: (Ⅰ)连接 A1C ,因四边形 A1 ACC1 是菱形, 所以 AC1 ? A1C ,--------------------4 分 由已知 AC1 ? BC 且 BC ? A1C ? C , 所以 AC1 ? 面A1 BC ,-----------------6 分 所以 AC1 ? A1 B .----------------------7 分 (Ⅱ)取 BC 的中点 O ,连接 AO, C1O , 因为 ?ABC 是正三角形,所以 BC ? AO 又因为 AC1 ? BC ,所以 BC ? 面 AOC1 ,---------------8 分 所以 BC ? C1O , 又因为侧面 B1C1CB ? 底面 ABC ,侧面 B1C1CB ? 底面 ABC ? BC , 所以 C1O ? 面 ABC .---------------9 分 过点 B1 作 C1O 的平行线 B1G 交 CB 的延长线于 G , 过点 G 作 GH ? AB ,交 AB 的延长线于 H ,连 B1 H ,则 ?B1 HG 是所求二面角的平 面角的补角. --------------------------------11 分 在 RT ?C1OC 中, C1O ?

A1 C1 B1 A
O C

B H
G

3 3 a ,所以 B1G ? a, 2 2 3 a , -----------------------12 分 4

在 RT ?GBH 中,可求得 GH ?

在 RT ?GB1 H 中 B1 H ?

15 a ,-----------------------13 分 4

所以 cos ?B1 HG ?

5 5 ,二面角 B1 ? AB ? C 的余弦值是 ? .-------14 分 5 5
高三(理科)数学试题参考答案(共六页)——第 3 页

解法二:取 BC 的中点 O ,连接 AO, C1O , 因为 ?ABC 是正三角形,所以 BC ? AO . 又因为 AC1 ? BC 所以 BC ? 面 AOC1 , 所以 BC ? C1O , 又因为侧面 B1C1CB ? 底面 ABC , 侧面 B1C1CB ? 底面 ABC ? BC , 所以 C1O ? 面 ABC .---------------3 分 以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,

A1

z

C1

y A

B1 x
C O

B

3 1 1 a, 0), B (? a, 0, 0), C ( a, 0, 0) , 2 2 2

1 3 3 3 3 A1 (? a, a, a ), B1 (? a, 0, a ), C1 (0, 0, a ) ,-----------5 分 2 2 2 2 2
所以 AC1 ? (0, ?

???? ?

???? 3 3 3 3 a, a ), A1 B ? (0, ? a, ? a) , 2 2 2 2

因为 AC1 ? A1 B ? 0 ,所以 AC1 ? A1 B .----------------------7 分

???? ? ????

??? ? ???? 1 3 1 3 ???? 1 3 AB ? (? a, ? a, 0), BB1 ? (? a, 0, a ), AC ? ( a, ? a, 0) ------10 分 2 2 2 2 2 2 ?? ? 设面 B1 AB ,面 ABC 的一个法向量分别是 m, n ,
易得 m ? ( 3, ?1,1), n ? (0, 0,1) .----------------------12 分

??

?

?? ? m? n 5 设所求二面角的平面角为 ? ,则 cos ? ? ? ?? ? ? ? .-------14 分 5 m n
21.解:(Ⅰ)因为 O, M , N 三点共线, | ON |? a , | OM | 的最小值为 1 ,所以 | MN | 的最 大值为 a ? 1 ,又因为 | MN | 的最大值为 1 ,所以 a ? 2 ;---------4 分
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(Ⅱ) 假设存在点 Q ( x0 , y0 ) ,使得过点 Q 斜率分别为 k1 , k2 的两直线与椭圆相切,且满足

k1 ? 2k2 ? 0 .现设过点 Q 的直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , --------------5 分
把直线方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 代入曲线 C : 得 x ? 4[ k ( x ? x0 ) ? y0 ] ? 4 ? 0 ,
2 2

x2 ? y2 ? 1 , 4

化简得 (1 ? 4k ) x ? (8ky0 ?8k x0 ) x ? 4k x0 ? 8kx0 y0 ? 4 y0 ? 4 ? 0 ------7 分
2 2 2 2 2 2

因为直线与曲线相切,故有△=0,即
2 (8ky0 ? 8k 2 x0 ) 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4k 2 x0 2 ? 8kx0 y0 ? 4 y0 ? 4) ? 0 ,

化简得 k x0 ? 2kx0 y0 ? y0 ? 1 ? 4k ? 0 ,---------------8 分
2 2 2 2

整理为关于 k 的二次函数得, ( x0 ? 4) k ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 1 ? 0 ,
2 2 2

由韦达定理可得 k1 ? k2 ?

2 2 x0 ? y0 y0 ?1 , , ---------10 分 k ? k ? 1 2 2 2 x0 ? 4 x0 ? 4

2 x0 ? y0 ? ?? k2 ? x 2 ? 4 , ? 0 因为 k1 , k2 是两切线的斜率且满足 k1 ? ?2k2 ,所以有 ? 2 ??2k 2 ? y0 ? 1 , 2 2 ? x0 ?4 ?
2 2 x0 ? y0 2 1 y0 ?1 消去参数 k2 得 ( 2 )+ ? 2 =0 , x0 ? 4 2 x0 ? 4

化简得 9 x0 ? y0 ? 4 y0 ? x0 ? 4 ? 0( x0 ? 4) ,------------------------12 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?9 x0 ? y0 ? 4 y0 ? x0 ? 4 ? 0( x0 ? 4), ? 联立方程 ? 得 2 2 x ? y ? 4, ? 0 ? 0

? 2 1 x ? , 2 ? ? ? 0 3 ? x0 ? 4, ,? (舍去),--------------------------14 分 ? 2 y0 ? 0, ? y 2 ? 11 , ? ? 0 ? 3 ?
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所以存在满足要求的点 Q ,且 Q 的坐标为(

3 33 3 33 , )或( ,) 3 3 3 3

或(-

3 33 3 33 , )或(,)--------------------------------------15 分 3 3 3 3

22.解: (Ⅰ)当 a ? 0, x ? 1 时, f ( x) ? ? ? ln x ? x ??e ,-----------------------1 分

? 1? f ?( x) ? ?1 ? ? e , f ? ? e ? ? e ? 1 , f ? e ? ? e 2 ? e ,----------------------4 分 ? x?
所以切线方程是: y ? e ? e ? ? e ? 1?? x ? e ? ,
2

?

?

所求切线方程即为: y ? ? e ? 1? x ;-----------------------------------5 分 (Ⅱ)假设存在 a ,使 f ( x) 在区间 ? a, ? a ? 上为减函数, 则当 a ? x ? 1 时, f ( x) 单调递减,--------------------- -① 当 1 ? x ? ? a 时, f ( x) 单调递减,------------------------② 且 f (1) ? ?4a ? 3a ? 2 e ? ?15a ? a ? 1? e ,---------③
2

?

?

-----------------------6 分
2

由①知当 a ? x ? 1 时,须 f ?( x) ? ?2 x ? ? 3a ? 6 ? x ? 12ax ? 4a ?e ? 0 , ----7 分
3 2 x

?

?

即 g ( x) ? ?2 x ? ? 3a ? 6 ? x ? 12ax ? 4a ? 0 恒成立,
3 2 2

当 a ? x ? 1 时, 因为 g ?( x) ? ?6 x ? 6 ? 2 ? a ? x ? 12a ? ?6 ? x ? 2 ?? x ? a ?
2

所以当 ?2 ? a ? ?1 时, g ?( x) ? 0 恒成立,即 g ? x ? 在区间 ? a,1? 上单调递减, 故只需 g ? a ? ? 0 ,即 a ? ?2 ,所以 a ? ?2 . -----------------------8 分

当 a ? ?2 时, g ? x ? 在 ? a, ?2 ? 上单调递增,在 ? ?2,1? 上单调递减, 故只需 g ? ?2 ? ? 0 ,即 a ? ?2或a ? ?1 ,所以 a ? ?2 ,-----------------------9 分 由上可知, a ? ?2 ; -----------------------10 分
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由②知当 x ? ?1, ? a ? 时,须 f ? ? x ? ? ?
2

a ? ? 6a ? 1 ? 1 ? 2 ? e ? 0 , -------------------11 分 x ? ? x

即当 x ? ?1, ? a ? 时, h ? x ? ? x ? ? 6a ? 1? x ? a ? 0 恒成立, 所以只需 ?
2

? ?h ?1? ? 0, 解得 a ? 0 ,即 a ? ?1 . ? ?h ? ? a ? ? 0. 1 . 4

--------------------13 分

由③知: 4a ? 13a ? 3 ? 0 ,解得: ?3 ? a ? ?

-----------------------14 分

综合①、②、③可得:存在 a 符合题意,即 a 的范围是 ?3 ? a ? ?2 . -----------15 分

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