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非常好立体几何高考题


立体几何 (06 广东理科)如图 5 所示, AF 、 DE 分别世 ⊙ O 、 ⊙O1 的直径, AD 与两圆所在的平面 均垂直, AD = 8 . BC 是 ⊙ O 的直径, AB = AC = 6 , OE // AD . (I)求二面角 B ? AD ? F 的大小; (II)求直线 BD 与 EF 所成的角.

D

O1

/>
E

C A O B 图5
(07 广东理科)如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

F

CA = CB = CD = BD = 2, AB = AD = 2.
(I)求证: AO ⊥ 平面 BCD ; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。
B

A

D O C

E

(08 广东理科)如图 5 所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四 边形 ,其 中 BD 是圆 的直 径, ∠ABD = 60? , ∠BDC = 45? ,

PD 垂直 底面 ABCD ,

PD = 2 2 R , E,F 分别是 PB,CD 上的点,且
PC 于 G .

PE DF P ,过点 E 作 BC 的平行线交 = EB FC
E G D F C 图5

(1)求 BD 与平面 ABP 所成角 θ 的正弦值; (2)证明: △ EFG 是直角三角形; (3)当

PE 1 = 时,求 △EFG 的面积. EB 2

A B

(09 广东理科) 如图6, 已知正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 的棱长为2, 点E是正方形 BCC1 B1 的中心, 点F、 G分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点. 设点 E1 , G1 分别是点E, G在平面 DCC1 D1 内 的正投影. (1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1 D1 内的 正投影为底面边界的棱锥的体积;
1

(2)证明:直线 FG1 ⊥ 平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值

(10 广东理科)如图 5, ? AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直 径,点 E 为 ? AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点。 平面外一点 F 满足 FB = FD = (1)证明 EB ⊥ FD ; (2)已知点 Q 、R 分别为线段 FE、FB 上的点, 使得 FQ =

5a, FE = 6 a .

2 2 FE, FR = FB ,求平面 BED 与 3 3

平面 RQD 所成二面角的正弦值。 资料来源:数学驿站 www.maths168.com

(07 广东文科)已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一 个底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的 等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S . 6

8 图5 (08 广东文科) 如图 5 所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形, 其中 BD 是圆的直径, ∠ABD = 60? , ∠ BDC = 45? , ? ADP ~ ? BAD 。 (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC = 11R ,求三棱锥 P-ABC 的体积。

2

(09 广东文科)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四 棱锥 P ? EFGH , 下半部分是长方体 ABCD ? EFGH 。 图 5、 图 6 分别是该标识墩的正 (主) 视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD ⊥ 平面 PEG .
w. w. w. k . s . 5 . u . c . o . m

(10 广东文科)如图 4, ? AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为 ? AC 的中点,点 B 和 点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ⊥ 平面 BED ,

FB = 5a .
(1)证明: EB ⊥ FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

3

2、 如图, 在四棱锥 O-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠ABC=

π , OA ⊥底面 ABCD, 4

OA =2,M 为 OA 的中点. (Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离.

1 、 如 图 , 矩 形 ABCD 和 梯 形 BEFC 所 在 平 面 互 相 垂 直 , BE//CF ,

∠ BCF= ∠ CEF= 90° ,AD= 3 ,EF=2。
(Ⅰ)求证:AE//平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时, 二面角 A-EF-C 的大小为 60° ?

D A B F E
4

C

3、如图,在三棱锥 P -ABC 中,AC=BC=2,∠ACB =90°, AP=BP=AB,PC⊥AC. (Ⅰ)求证:PC⊥AC; (Ⅱ)求二面角 B-AP-C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离.

4、如图,在四棱锥 P— ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC= 2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证: PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 A 到平面 PCD 的距离.

5、如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,平面 A1 BC ⊥ 侧面 A1 ABB1 . (Ⅰ)求证: AB ⊥ BC; (Ⅱ) 若 AA1 = AC = a , 直线 AC 与平面 A1 BC 所成的角为 θ , 二面角

A1 ? BC ? A的大小为? , 求证:θ + ? =

π . 2

6、 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面积 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面积 ABCD,PA= (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求二面角 A-BE-P 的大小.

3.

5

7、四棱锥 A -BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ⊥底面 BCDE , BC =2,CD= 2 ,AB=AC. (1) 证明:AD⊥CE; (2) 设侧面 ABC 为等边三角形,求二面角 C-AD-E 的大小.

8、如图,正四棱柱 ABCD- A 1 B1 C1 D 1 中 AA 1 = 2 AB = 4 ,点 E 在 CC1 上 且 C1 E = 3EC ①证明: A1 C ⊥ 平面BED
1

求二面角 A 1 - DE ? B 的大小

9、如图,面 ABEF⊥面 ABCD,四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角
1 梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥ AD,BE∥ 1 AF,G、H 分别是 FA、 2 2

F G E A D C H

FD 的中点。 (Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ)C、D、E、F 四点是否共面?为什么? (Ⅲ)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE.

B

10、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形. 已知 AB = 3 , AD = 2 , PA = 2 , ? P PD = 2 2 ,∠PAB = 60 . (Ⅰ)证明 AD ⊥ 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

A B C

D

6

11.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD ,AB=4, D1 BC=CD=2, AA 1 =2, E 、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 A1 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 E1 E A F B D C C1 B1

12.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)

.

如图,直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中,AB ⊥AC,D、E 分别为 AA1 、B 1C 的中点,DE ⊥平 A1 面 BCC 1 B1 (Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60°, 求 B 1C 与平面 BCD 所成的角的大小 D A E

C1

C B

(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) .............

7

如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , SD ⊥ 底 面 ABCD ,

AD = 2 DC = SD = 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ∠ABM =60°
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。

15.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥ 平面 ABCD , PA = AD = 4 ,

AB = 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M ,交 PC 于点 N .
(1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离. 解:
A D N M P

O B C

16.(2009 湖北卷理)(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ⊥ 平面 ABCD ,SD=2a, AD = E 是 SD 上的点,且 DE = λa (0 < λ ≤ 2) (Ⅰ)求证:对任意的 λ ∈ (0, 2] ,都有 AC ⊥ BE (Ⅱ) 设二面角 C—AE —D 的大小为 θ , 直线 BE 与平面 ABCD

2a 点

所成的角为 ? ,若 tanθ gtan? = 1,求 λ 的值

8

9


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