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2012年全国高中数学联赛(江苏)赛区初赛试卷


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2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ? [ ? 3, 3] 时,函数 f ( x ) ? | x 3 ? 3 x | 的最大值为__18___. 2、在 ? A B C 中,已知 A C ? B C ? 1 2, A C ? B A ? ? 4, 则 A C ? ___4____. 3、从集合 ? 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8 ? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为 _____
3 10

???? ????

???? ??? ?

_______.

4、已知 a 是实数,方程 x 2 ? ( 4 ? i ) x ? 4 ? a i ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? b i | 的值 为_____ 2 2 ___.

5、在平面直角坐标系 xO y 中,双曲线 C :

x

2

?

y

2

? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜

12

4

角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A , B 两点.若 ? F A B 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为

___

1 2

____. 的取值范围是___ [1, ? ? ) _____.

6、已知 a 是正实数, k ? a

lg a

7、在四面体 A B C D 中, A B ? A C ? A D ? D B ? 5 , B C ? 3 , C D ? 4 该四面体的体积为 _____ 5 3 _______. 8 、 已 知 等 差 数 列

?an?











?bn ?


n ?1





a 1 ? b1 ? 3, a 2 ? b 2 ? 7 , a 3 ? b 3 ? 1 5, a 4 ? b 4 ? 3 5, 则 a n ? b n ? ___ 3
(n ? N )
*

? 2 n ___.

7 7 9、将 2 7 , 3 7 , 4 7 , 4 8, 5 5 ,1 ,5 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这
样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为 3 1 ,三边 a , b , c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 ( a , b , c ) 的个数为__24___. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分)

11、在 ? A B C 中,角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c ,证明: (1) b co s C ? c co s B ? a

(2)

cos A ? cos B a ?b

2 s in ? c

2

C 2

12 、 已 知 a , b 为 实 数 , a ? 2

, 函 数

f ( x) ?

a | l xn ? x

? b |

x (. 若 0 ) ?

f (1) ? e ? 1, f ( 2 ) ?
(1)求实数 a , b ;

e 2

? ln 2 ? 1 .

(2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd ? 1 ,求证: f ( c ) ? f ( d )

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线

O M 上有一动点 B , A B ? 1, O B ? 1 .线段 A B 交圆 O 于另一点
C , D 为线段的 O B 中点.求线段 C D 长的取值范围.

14、设是 a , b , c , d 正整数, a , b 是方程 x ? ( d ? c ) x ? c d ? 0 的两个根.证明:存在边长是
2

整数且面积为 a b 的直角三角形.


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