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1.3.2


1.3.2 命题的四种形式

把下列命题改写成“若 p 则 q ”的形式并指出条件 和结论: (l)全等的两个三角形面积相等; (2)面积相等的两个三角形全等; (3)不全等的两个三角形面积不相等; (4)面积不相等的两个三角形不全等。 l)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等; 条件 结论 2)若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等; 条件 结论 3)若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等; 条件 结论 4)若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等 条件 结论

原命题:
l)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等; 条件 结论

逆命题: (交换原命题的条件和结论)
2)若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等; 结论 条件

否命题: (同时否定原命题的条件和结论)
3)若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等; 条件 结论

逆否命题:(交换原命题的条件和结论,并且同时否定)
4)若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等 条件 结论

一、命题的四种形式
(1)原命题:如果p,则q. (2)条件和结论“换位”得 如果q,则p,这称为原命题的逆命题; (3)条件和结论“换质”(分别否定)得 如果非p,则非q,这称为原命题的否命 题; (4)条件和结论“换位”又“换质”得 如果非q,则非p,这称为原命题的逆否 命题;

下面我们将上述四种情况概括一下 .
若p为原命题条件,q为原命题结论,则: 原命题: 若 p ,则 q

逆命题:
否命题:

若 q,则 p
若 ?p, 则 ?q

逆否命题:若 ?q ,则 ?p

四种命题之间的关系:

原命题
若p,则q 互 否

互逆

逆命题
若q,则p 互 否

否命题
若﹁p,则﹁q

互逆

逆否命题
若﹁q,则﹁p

例题精讲

例1. 把下列命题改写成“若p则q”的 形式,并写出它的逆命题、否命题

及逆否命题.
(1)负数的平方是正数;

(2)正方形的四条边相等.

(1) 负数的平方是正数
原命题可以写成:

若一个数是负数,则它的平方是正数;

逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数;

否命题:
若一个数不是负数,则它的平方不是正数;

逆否命题:
若一个数的平方不是正数,则它不是负数;

(2) 正方形的四条边相等
原命题可以写成: 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等;

逆命题:
若一个四边形的四条边相等,则它是正方形;

否命题: 逆否命题:

若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;

若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;

例2.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命 题、否命题、逆否命题,并判断各命 题的真假。
原命题:若a=0,则ab=0是真命题; 逆命题:若ab=0,则a=0是假命题;

否命题:若a ≠ 0,则ab ≠ 0”是假命题;
逆否命题:若ab≠0,则a≠0”是真命题; 原命题为真,它的否命题不一定为真; 原命题为真,它的逆否命题一定为真.

观察与思考



1)若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数。(真)
2)若f ( x)是周期函数,则f ( x)是正弦函数。 (假)

(假) 3)若f ( x)不是正弦函数,则f ( x)不是周期函数。
4)若f ( x)不是周期函数,则f ( x)不是正弦函数。(真)

你能判断它们 的真假性吗?

四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢?
例子: 1)原命题:若x=2或x=3,
则x2-5x+6=0。 (真) (真) 逆命题:若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真) 否命题:若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3。 (真) 2)原命题:若a=0, 则ab=0。 (真) (假) 逆命题:若ab=0, 则a=0。 否命题:若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) 逆否命题:若ab≠0,则a≠0。 (真) 3) 原命题:若a > b, 则 ac2>bc2。 (假) (真) 逆命题:若ac2>bc2,则a>b。 (真) 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2。 (假) 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。

想一想: 由以上三例我们能发现什么?

互为逆否 关系的两 (1) 原命题与逆否命题同真假。 命题等价
逆命题与否命题同真假。

结 论:

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真

假性没有关系。

四种命题的关系
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p

例3.设原命题是“当c>0时,若a>b,则 ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否 命题,并分别判断它们的真假.
解: 逆命题:当c >0 时,若ac >bc ,则a >b. 逆命题为真. 2=0,则x , y全为 练习.写出命题:“若x2+y 否命题:当c >0 时,若a ≤b ,则ac ≤ bc . 零”的逆命题、否命题、逆否命题,并判 断真假. 否命题为真. 逆否命题:当c >0 时,若ac ≤ bc ,则a ≤b . 逆否命题为真.

命题的否定与否命题
区别: 1)概念:命题的否定是直接对命题的 结论进行否定;
而否命题则是对原命题的条件和结论 分别否定后组成 的命题。
2)结构:任何一个命题都有否定,其形式是不改变条

件,而否定结论;(全盘否定) 而只有若p,则q形式的命题才有否命题,其否命题形式 为“若 非p ,则 非q ”。
3)真值性:命题的否定的真值与原命题

相反; 而否命题的真值与原命题 无关 。

例4、写出下列命题的否定形式及否命题。 1)全等三角形的面积相等 命题的否定:全等三角形的面积不相等 否命题:不全等的三角形面积不相等 2)若 m2 ? n2 ? a 2 ? b2 ?, 0 则实数m、n、a、b全为零 命题的否定:若 2 m

? n2 ? a 2 ? b2 ? 0 , 则实数m、n、a、b不

全为零 否命题:若 m2 ? n2 ? a 2 不全为零 3) 若xy=0,则x=0 命题的否定:若xy=0,则x≠0 否命题:若xy≠0,则x≠0

? b ? 0,则实数m、n、 a、b
2

练习:
写出下列命题的否定形式和否命题 1)若abc=0,则a、b、c中至少有一个为零 命题的否定:若abc=0,则a、b、c全不为零 否命题: 若abc≠0,则a、b、c全不为零

2)若

x ? 1, 则x 2 ? 1

命题的否定:若 否命题: 若

x ? 1, 则x 2 ? 1
x ? 1, 则x ? 1
2

2、 命题“ ?x ? R, 使得 x 2 A、 B、 C、

? 1 ? 3x”的否定为( c )

?x ? R,使得x 2 ? 1 ? 3x
?x ? R,使得x 2 ? 1 ? 3x

?x ? R,使得x ? 1 ? 3x
2

D、

?x ? R,使得x ? 1 ? 3x
2

小结
1)命题的四种形式;
2)四种形式间的真假关系;

3)四种形式间的等价关系;
4)命题的否定与否命题的区别。


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